精品解析：河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二年级春期开学数学试题 出题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2. 设两个正态分布和密度函数图像如图所示．则有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 3. 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 4. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平行六面体中，根据空间向量加法合成法则，对向量进行线性表示即可 【详解】解：因为，所以， 在平行六面体中， ， 故选：C 【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题. 5. 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【详解】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞． 三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，然后三组进行全排列， 不同的安排方案总数有=2×2×2×6=48种． 故选A 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解. 【详解】过在平面内作，垂足为点， 因为侧面是正三角形，所以是的中点， 又因为平面底面，平面平面，平面， 所以底面， 以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 则，， 所以，， 故选：C. 8. 已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和点到直线的公式可得目标代数式的几何意义，故可求其最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以． 表示点到轴的距离与 到直线距离之和的倍， 点到轴的距离等于点到准线的距离减1， 设抛物线的焦点为，则点到轴的距离等于， 故， 设点到直线的距离为， 如图，由图知， 所以的最小值为， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（ ） A. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B. 若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C. 若表示取出白球的个数，则 D. 若表示取出黑球的个数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，根据超几何分布的定义判断；CD选项，根据超几何分布的概率公式计算. 【详解】A，B均根据超几何分布的定义可得，故A错，B正确； C中，，故C错误； D中，，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ） A. 若，斜率分别为，，则 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项． 【详解】由题意双曲线的渐近线为，即， 设，不妨设在第一象限，在渐近线上， 则，，，A正确； 在双曲线上，则，， ，，∴，B正确； ，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误； 渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ） A. 最大时， B. 的最小值为 C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形的面积，可知其最大值，再根据内切圆半径公式可判断A选项，根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项，根据内切圆的性质可得，即可判断C选项，再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项. 【详解】由，得，，， A选项：设，则，，，所以当点在短轴端点时，面积最大值为， 此时由内切圆性质可知， 则，A选项错误； 设，，则， B选项：如图所示，设中点为，则，所以， 又， 同理， 所以，当且仅当时，等号成立，B选项正确； C选项：设与交于点，由角分线定理可知，即，即， 所以，所以，C选项正确； D选项：设，由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 则，且，即，当且仅当时取等号， 所以， ， 所以， 则，D选项正确； 故选：BCD. 【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项： ①，；②；③；④. 其中正确的是________．(填上所有正确项的序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解. 【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布． ∴E(X)＝＝，E(η)＝＝. 又X的分布列 X 0 1 2 P ∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝， D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝. η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝， D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝. ∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确． 故答案为：①②④. 13. 某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______． 【答案】0.81## 【解析】 【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，根据全概率公式计算可得答案. 【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”， 事件“小明与第二代传播者接触”， 事件“小明与第三代传播者接触”， 事件“小明被感染”， 则，，， ，，， 所以， 所以所求概率为0.81． 故答案为：0.81. 14. 已知点是抛物线上一点，点是抛物线的焦点，为上异于的两动点，且，则的最小值为__________. 【答案】11 【解析】 【分析】将点带入抛物线方程求出，然后根据设，根据，解得，根据抛物线定义表示出，最后结合二次函数的性质求解出最小值. 【详解】 因为在抛物线上， 所以，得，因此抛物线 令，则 因为，所以， 化简得，令，则, ， 结合二次函数性质，当时，取得最小值， 即最小值为， 故答案为：11. 【点睛】关键点点睛：设，通过解得的关系是本题的关键点，最后根据抛物线定义表示出，结合二次函数的性质求解出最小值.通过设坐标结合向量表示出坐标关系的联立思维是圆锥曲线常用方法，对于学生来说务必掌握该方法和技巧.. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； （2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； （3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】（1）16 （2）384 （3）96 【解析】 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【小问1详解】 先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. 【小问2详解】 先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. 【小问3详解】 先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 16. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心，则，结合弦长公式求出的值即可求出圆的方程； （2）由题意结合圆的标准方程可知圆心到直线的距离，按斜率是否存在分情况讨论圆心到的距离，即可解出切线方程； （3）由题意可得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列式求解即可. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心， 因为圆与轴的负半轴相切，所以，半径， 又圆截轴所得弦的长为，所以，解得， 所以圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知圆的圆心，半径， 因为与圆相切，所以圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离符合题意， 当直线斜率存在时，设斜率为，则，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 此时方程为， 综上切线的方程为或. 【小问3详解】 因为圆上恰好有3个点到直线的距离为1， 所以直线分割圆为一段优弧和一段劣弧， 在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为1，且该点为劣弧的中点， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得或. 17. 已知直线，圆，直线被圆截得的弦长与双曲线的实轴长相等，双曲线的离心率 （1）求双曲线的方程； （2）设为双曲线上任意一点、直线分别与直线和直线相交于、两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式的应用和几何法求弦长可得，求出b即可求解； （2）分别求出点的坐标，设与轴的交点为，则，结合即可求解. 【小问1详解】 圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为， 由题意得，，故，则， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由和得点A的坐标为， 由和得点的坐标为， 记直线与轴的交点为， 则的面积 又为轨迹上任意一点， ， 的面积. 18. 如图，三棱锥中，，，，为 中点，点满足. （1）证明：OP⊥平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上取一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，， 再利用线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论； （3）求直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值的表达式，再求其范围. 【小问1详解】 证明：连接，∵，， ∴△是正三角形，∴， 同理可得，∴， ∵是的中点，∴， ∵，∴，∵，∴. ∵，∴， ∴，则, ∵在平面内，∴平面 【小问2详解】 由（1）得，，， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ∵，∴，而， 显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则 ，∴ . 取，则，，∴， ∴= ∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为； 【小问3详解】 设（），则， ∴， ∵直线与平面所成角的正弦值为 ∵当时，关于λ的函数单调递减 ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值 ∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足． （1）求点的轨迹方程． （2）记点的轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点． 【答案】（1） （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）利用，确定，，坐标之间的关系，由，即可求点P的轨迹方程； （2）当的斜率不存在时，直线与曲线C相切，不合题意；当斜率存在时，设直线的方程与椭圆方程联立，确定、的方程，联立，结合韦达定理，即可证得结论． 【小问1详解】 设，由得，即， 又由，整理得． 【小问2详解】 当的斜率不存在时，直线与曲线相切，不合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为，即，与椭圆方程联立， 消去可得， 设，则， 又的方程为， 与曲线的方程联立可得：， ，，， 直线的方程为， 易得，联立可得，则， ， 又 ， ，从而，则， 所以直线与直线交于定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级春期开学数学试题 出题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设椭圆离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A. B. C. D. 3. 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ） A B. C. D. 5. 来自中国、英国、瑞典乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在抛物线上，若抛物线焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（ ） A. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B. 若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C. 若表示取出白球的个数，则 D. 若表示取出黑球的个数，则 10. 已知为双曲线上动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ） A. 若，的斜率分别为，，则 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ） A. 最大时， B. 的最小值为 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项： ①，；②；③；④. 其中正确的是________．(填上所有正确项的序号) 13. 某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______． 14. 已知点是抛物线上一点，点是抛物线的焦点，为上异于的两动点，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； （2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； （3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 16. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 17. 已知直线，圆，直线被圆截得的弦长与双曲线的实轴长相等，双曲线的离心率 （1）求双曲线的方程； （2）设为双曲线上任意一点、直线分别与直线和直线相交于、两点，求的面积． 18. 如图，三棱锥中，，，，为 中点，点满足. （1）证明：OP⊥平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上取一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足． （1）求点的轨迹方程． （2）记点的轨迹为曲线，过点任作直线交曲线于两点，过作斜率为的直线交曲线于另一点．求证：直线与直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$