第七章 复数重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算性质求解即可. 【详解】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念及充分条件、必要条件的判断方法求解判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若复数为纯虚数，则，解得， 所以“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2023·海南·模拟预测）下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 【答案】C 【分析】 根据复数相关概念一一判定即可. 【详解】虚数不能比大小，故A错误； 对于复数，但凡满足，其模均为1，显然不仅四个，比如时，，故B错误； 由共轭复数的定义可知C正确； 原点也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 故选：C 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】设， 则 则，整理得，故，得的虚部为1． 故选：C． 6．（24-25高三上·河南·期末）若复数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合复数的乘方运算和加法运算，根据复数模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 7．（24-25高三上·湖北武汉·期末）若复数z满足，则（   ） A．2 B． C．2i D． 【答案】B 【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以 所以 故选： 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C. 【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误； 对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确； 对于C，的平方根为，C错误； 对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确. 故选：BD 10．（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设复数在复平面内对应的点为，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合复数的几何意义求的取值范围即可判断. 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足：，即点到点的距离为2， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则，即，可知的取值范围为， 且，可知的取值范围为， 结合选项可知：ABC正确，D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】在复数范围内求解一元二次方程，利用模的运算即可判断A，结合复数的运算代入计算，即可判断BC，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，当时，，，此时， 当时，，，此时，故C正确； 对于D，由已知得，即，故D不正确. 故选：AC. m第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题4分，共12分） 12．（24-25高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 13．（24-25高二上·云南昭通·期末）若，则 . 【答案】 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，再求其共轭复数. 【详解】解：因为， 所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 【答案】1 【分析】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模. 【详解】由题意得 ， 所以. 故答案为：1 四、解答题（5小题，共66分） 15．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【分析】先计算共轭复数，再根据复数相等求解即可. 【详解】由题意，, 因为， 所以， 解得. 16．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 17．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加减法运算计算即可； （2）根据复数的乘法运算计算即可； （3）根据复数的除法运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 18．（22-23高一·全国·随堂练习）已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 【答案】. 【分析】将化简后，令实部与虚部相等求解即可. 【详解】∵， ∴ ∵的实部与虚部相等， ∴， 解得. 19．（21-22高一下·浙江金华·期中）已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，由其对应点的坐标列不等式求解； （2）也是方程的根，根据韦达定理先求得，再求得． 【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以， 解得，所以 （2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以， 所以， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·海南·模拟预测）下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高三上·河南·期末）若复数，则（    ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高三上·湖北武汉·期末）若复数z满足，则（   ） A．2 B． C．2i D． 8．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 10．（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 11．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． m第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题4分，共12分） 12．（24-25高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 13．（24-25高二上·云南昭通·期末）若，则 . 14．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 四、解答题（5小题，共66分） 15．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 16．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 17．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 18．（22-23高一·全国·随堂练习）已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 19．（21-22高一下·浙江金华·期中）已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 学科网（北京）股份有限公司 $$