精品解析：广东省汕头市潮南区陈店公办八校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年度第一学期 八年级数学科练习题（五） （内容：15.1~15.3） 一、选择题． 1. 分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分式的分母不为零的计算出x的范围即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故选：． 2. 肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：700纳米米米， 故选：B． 3. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 0或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，若，则表示的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数与数轴，先根据题意得到，再把所求式子的分子和分母都分解因式后化简得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 是分式方程的解，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解和解分式方程，熟知使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．先化简得，再把代入分式方程，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， 是分式方程的解， ， 解得． 经检验，则，是原分式方程的解， 故选：B． 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值化简．熟练掌握绝对值的代数意义，是解题的关键．正数的绝对值是它本身；负数地绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 根据化简绝对值，化简分式，即可． 详解】∵， ∴． 故选：D． 8. 如果，那么的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴ 故选：D． 9. 已知，则代数式的值为（） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值知识点，解题的关键是对已知条件进行变形，然后将变形后的式子整体代入所求分式． 先对进行通分变形得到与的关系，再将其代入化简求值． 【详解】因为，通分可得，即， 所以，那么． 将代入可得： 故选B． 10. 如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，正确的掌握这两个知识点是解题的关键．解分式方程可得，求出a为1、3、6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的取值范围，则满足条件的整数a有两个． 【详解】解： 当时， 解得：， ∵方程有正整数解，且即， ∴、3、6， 解不等式组， 解得， 关于y的不等式组至少有两个偶数解， ∴， ∴， ∴满足条件得整数a有两个， 故选：C． 二、填空题． 11. ______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，根据负整数指数幂计算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 已知，则代数式的值是______； 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值．先将代数式通分，再将已知代入即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：4． 13. 若，则是______； 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算．根据题意得到，再利用同分母分式的加法法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 14. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有______． 【答案】2，3，5 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解． 【详解】解： ， ∵x为整数，且分式即的值为正整数， ∴x可取的值有2，3，5， 故答案为：2，3，5． 15. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及整体代入的数学思想，解题的关键是通过对已知条件进行变形，找到与的关系． 先对已知的三个等式进行通分变形，然后将变形后的式子相加，求出与的关系，最后代入要求的式子求值． 【详解】已知，通分可得，即①； ，通分可得，即②； ，通分可得，即③； ， ， ， 故答案：． 三、解答题（一） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案． 详解】解：原式 ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解题关键是注意解分式方程步骤．把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解为． 18. 先化简，再求值：，且值满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简． 先对原式中分子分母进行因式分解，再根据分式运算法则化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 四、解答题（二） 19. 某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 【答案】（1）购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元 （2）甲种农机具最多能购买8件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用； （）设甲种农机具购买件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过48万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元 根据题意得： ； 解得： ； 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴一台甲种农机具需万元． 答：购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元； 【小问2详解】 解：设甲种农机具购买件，则乙种农机具购买件， 由题意得； 解得； 答：甲种农机具最多能购买8件． 20. 请认真观察下列等式：； 并解决下列问题： （1）填空：①______；②已知，则______； （2）计算：已知，求的值． 【答案】（1）①4；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案． 【小问1详解】 解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2）整数的值为0，1，3 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 五、解答题（三） 22. 已知． （1）求c的值（用含a，b的代数式表示）． （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，然后求出即可； （2）把代入化简求值即可． 【小问1详解】 解：由，得， ， ． 【小问2详解】 解：把代入，得 ． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，准确计算． 23. 阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差，今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：，． （1）由此可推测______；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）______； （2）请用简便方法计算：； （3）请用观察到的规律解方程． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给式子，对照可得结果； （2）首先把分数裂项，然后进行抵消即可算出结果； （3）首先提取，再把分数裂项，然后进行抵消即可得到最简分式方程，解之即可． 本题考查了裂项法解规律计算的问题，涉及了解分式方程，掌握裂项法是解决本类问题的前提． 【小问1详解】 根据已知条件可得：， 则一般规律为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期 八年级数学科练习题（五） （内容：15.1~15.3） 一、选择题． 1. 分式有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 0或3 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，则表示的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 6. 是分式方程的解，则（ ） A 2 B. C. 4 D. 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 如果，那么值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 9. 已知，则代数式的值为（） A. 3 B. C. 2 D. 10. 如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题． 11. ______ 12. 已知，则代数式的值是______； 13. 若，则是______； 14. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有______． 15. 已知，则的值为______． 三、解答题（一） 16. 计算： 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，且的值满足． 四、解答题（二） 19. 某粮食生产基地为了落实习近平总书记重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 20. 请认真观察下列等式：； 并解决下列问题： （1）填空：①______；②已知，则______； （2）计算：已知，求的值． 21. 已知当时，分式无意义；当时，此分式值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 五、解答题（三） 22. 已知． （1）求c的值（用含a，b的代数式表示）． （2）若，求k的值． 23. 阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差，今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：，． （1）由此可推测______；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）______； （2）请用简便方法计算：； （3）请用观察到的规律解方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$