精品解析：湖南省永州市零陵区2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

湖南省永州市零陵区2024-2025学年八年级上学期12月月考 数学测试卷 时量：120分钟满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上． 2．请将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只需将答题卡交回；本试卷自己保管好，老师将进行讲解． 4．测试范围：第1章分式~第2章三角形． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面各式中，，分式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 若两个角互补，则这两个角的和为 C. 相等的角是对顶角 D. 两个锐角的和是锐角 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 7. 若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 8. 如图，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 9. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有___________．（填序号） 12. 对分式和进行通分时的最简公分母为___________． 13. 分式方程的解为___________． 14. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 15. 如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为___________． 16. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______． 17. 如图，已知，请添加一个条件，使得，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）． 18. 观察下列分式：，按此规律第100个分式是___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中x满足． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 23. 若关于x的分式方程． （1）若，求分式方程的解； （2）若分式方程无解，求k的值． 24. 如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． （1）若的周长为10，求线段的长； （2）若，求的度数． 25. 某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． （2）小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． （3）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 26. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省永州市零陵区2024-2025学年八年级上学期12月月考 数学测试卷 时量：120分钟满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上． 2．请将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只需将答题卡交回；本试卷自己保管好，老师将进行讲解． 4．测试范围：第1章分式~第2章三角形． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面各式中，，分式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式， 故选B． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 若两个角互补，则这两个角的和为 C. 相等的角是对顶角 D. 两个锐角的和是锐角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据平行线的性质，补角的性质，对顶角，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原说法是假命题，故本选项不符合题意； B、若两个角互补，则这两个角的和为，是真命题，故本选项不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原说法是假命题，故本选项不符合题意； D、两个锐角的和不一定是锐角，原说法是假命题，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故选D． 4. 已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式和分式的运算，分别根据零指数幂、同底数幂的乘法、分式的乘方及幂的乘方逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项正确； D、，此选项错误． 故选：C． 6. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点作的垂线段，垂足为，则是边上的高，故C选项符合题意， 故选：C． 7. 若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意分析之，三角形三边和之间的关系是，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即：，故符合题意的第三边需要满足，故符合题意的只有5，故选B 考点：三角形三边关系 点评：本题属于对三角形三边基本关系的考查，需要考生对三角形三边的基本关系熟练掌握 8. 如图，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了外角的性质，先由外角的性质得，再由得，再由外角的性质得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，依题意得到，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 依题意得，， 故选：A． 10. 如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，同理可得出，进而得出，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形，， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ， 同理可得出， ，故正确； 故选：C． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有___________．（填序号） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④ 12. 对分式和进行通分时的最简公分母为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式和进行通分时的最简公分母为． 故答案为：． 13. 分式方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原方程的解． 故答案为：． 14. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 15. 如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解．本题考查三角形的中线与面积的关系．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴ ∵是的中线 ∴ 故答案为： 16. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，最后用角度和差即可得出结论，正确掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， 根据作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知，请添加一个条件，使得，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）． 【答案】或 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意，， 根据，可以添加，使得， 根据，可以添加，使得． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键． 18. 观察下列分式：，按此规律第100个分式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，零次幂，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分，再运算减法，即可作答． （2）分别运算乘方、负整数指数幂、零次幂，再运算除法，最后运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）原方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以得，， 解得， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母得， 解得：， 检验：把代入最简公分母中，， 则是原方程的增根，原方程且无解． 21. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，然后化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 【答案】（1）； （2）证明：BE平分 又 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题； （2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题． 【详解】解：（1） D为BC的中点， （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 若关于x的分式方程． （1）若，求分式方程的解； （2）若分式方程无解，求k的值． 【答案】（1） （2）或2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，以及根据分式方程无解求参数． （1）把代入，然后按照解分式方程的解答方法求解即可； （2）先去分母，然后分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为， 去分母，得， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， ∵关于x的分式方程无解， ，解得：； 综上所述，当关于x的分式方程无解，k的值为或2． 24. 如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． （1）若的周长为10，求线段的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． （1）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可； （2）利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出相等角，最后利用角的和差进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． （2）小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． （3）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】（1）， （2）， （3） 设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 解得：， 经检验得：是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运产品． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题干信息设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”列出方程即可； （2）根据题干信息设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，列出方程即可； （3）根据解析（1）列出的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据题意得： ； 故答案为：； 【小问3详解】 略 26. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段和线段垂直； （2）存在或使得与全等 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，证明，得出，求出，即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：， ②若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：； 综上所述，存在或使得与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $