6.4 实践与探究 &专题7 二元一次方程组的应用 -【指南针·课堂优化】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

第6章一次方程租 6.4实践与探索 课前优学 即学即练 1.水仙花是漳州市花，如图，在 列方程组解应用题的一般步骤： 长为14m,宽为10m的长方 (1)审：审题： 形展厅，划出三个形状、大小 (2)设：设未知数： 完全一样的小长方形摆放水 (3)找：找相等关系： 仙花，则每个小长方形的周长为 m. (4)列：列方程组： 2.某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方 (5)解：解方程组： 体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的 (6)验：检验是否符合题意： 体积 (7)答 14cm 课堂精讲 13cm 知识点1 列二元一次方程组解几何图形问题 【例1】在矩形ABCD中，放人六个形状、大小相同 的长方形，所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的 总面积. 6cm 14cm 【思路点拔】设长方形的长和宽分别为xcm,ycm,根 据图示可得到关于x,y的两个方程，求得解，从而可 得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积一大长 方形的面积一6个小长方形的面积求解即可. 知识点2用二元一次方程组解“方案设计”问题 【例2】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销 售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润 可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加 工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16吨：如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工 方式不能同时进行，受季节条件限制，公司必须在15 天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司制定 了三种可行方案 规律和方法 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 解决关于几何图形的题目，关键是弄清图 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及 :形中的数据是指哪些元素的大小（比如哪些线： 进行加工的蔬菜，在市场上直接销售； :段的长度，或哪些角的度数)，再结合图形自身 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加 :呈现的几何关系列方程组， 工，恰好15天完成 你认为选择哪种方案该公司获利最多？为什么？ 57. 之年纸下册·数学(HS) 【思路点拨】可分别对三种方案的获利情况进行计 算，然后再比较 感课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.(2024·赤峰)用1块A型钢板可制成3块C型钢 板和4块D型钢板：用1块B型钢板可制成5块C 型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、 40块D型钢板，问恰好用A型钢板，B型钢板各多 少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块， 则可列方程组为 () (3.x+2y=40 f3.x+5y=40, A. B. 4x+5y=58 4.x+2y=58 3.x+5y=58, 3.x+4y=58, C. D. 4.x+2y=40 5.x+2y=40 2.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边 规律和方法 形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建正三角形和 对于方案选择或设计问题，往往需要列出 正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的 所有的方案来进行对比，然后选择最优方案 个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建的 正三角形的个数是 即学即练 3.某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45 座客车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数 A.222 B.280 C.286 D.292 量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐 3.(2024·自贡期中)某校七年级学生开展义务植树 满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租 活动，参加者人数是未参加者人数的3倍，若该年 金为每辆300元，问： 级人数减少6人，未参加者人数增加6人，则参加 (1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45 座客车？ 者人数是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生 (2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该 共有 () 怎样租用才合算？ A.72人B.80人 C.96人D.100人 4.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度， 首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图 ②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是 图2 A.73cm B.74cm C.75cm D.76cm 二、填空题 5.甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果 两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇：如果 两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙 ·58. 第6章一次方程租 则甲、乙两人的平均速度分别是 米/秒、10.某车间共有132名工人，生产某种产品，该产品由 米/秒. 甲、乙两种零件组成，3个甲种零件与2个乙种零 6.某校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各 件可配成一套，每人每天可加工甲种零件5个、乙 种零件4个或组装10套成品 投三次飞镖，在同一圆环内得分相同.如图所示，小 (1)如果该车间的132名工人只生产甲、乙两种零 明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分， 件，为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套， 则小华的成绩是 分 应安排生产甲、乙两种零件的工人各多少名？ (2)如果这132名工人中，一部分人加工甲种零 件，一部分人加工乙种零件，其余的组装，为使 小明 小君 小红 小华 每天生产的甲、乙两种零件刚好能组装成产 7.(2024·成都期末)甲、乙两店分别购进一批无线耳 品，应安排生产甲、乙两种零件和组装的工人 各多少名？ 机，甲店每副耳机的进价比乙店便宜10%，乙店每 副耳机的标价比甲店高5.4元，若甲、乙两店的利 润率分别为20%和17%，则乙店每副耳机的进价 为 元 8.小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形 恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，小颖 看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正 方形，不过中间留下一个恰好是边长为2cm的小正 方形空白，则每个小长方形的长是 ,宽 是 图1 图2 三、解答题 9.一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航 行，从甲地到乙地顺流航行用6时，逆流航行比顺 流航行多用4时 (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度： (2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲 地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相 同，问甲、丙两地相距多少千米？ ·59· 之年纸下册·数学(HS) 11.某超市第一次用4600元购进甲、乙两种商品，其14.某道路建设需要开挖土石方，该建设工程队计划 中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍少40 每小时挖掘土石方540方，现决定向某大型机械 件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润= 租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机米完成这 售价一进价)： 项工作.已知该公司一台甲型挖掘机与一台乙型 甲 乙 挖掘机每小时共挖土140方，5台甲型挖掘机与3 进价（元/件） 22 30 台乙型挖掘机能恰好完成每小时的挖掘量。 售价（元/件） 28 40 (1)求甲、乙两种型号的挖掘机每小时各挖土多 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是 少方？ 多少？ (2)若租用一台甲型挖掘机每小时100元，租用一 (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖 台乙型挖掘机每小时120元，且每小时支付的 出后一共可获得多少利润？ 总租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖 (3)该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种 掘量，请设计该工程队的租用方案. 商品.其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商 品的件数不变.甲商品按原价销售，乙商品打 折销售.第二次甲、乙两种商品销售完以后获 得的利润比第一次获得的利润多280元，则第 二次乙商品是按原价打几折销售的？ B组（能力提升） 12.爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过 一辆103路公交车，每隔5分钟迎面驶来一辆103 路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同， 而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆 车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速 度的倍. 13.某步行街摆放着若干盆甲、乙、丙三种造型的盆 景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花 搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭 配而成，丙种盆景由10朵红花，18朵黄花和25朵 紫花搭配而成，这些盆景一共用了2900朵红花、 3750朵紫花，则黄花一共用了 朵 ·60· 第6章一次方程租 专题训练七二元一次方程组的应用 类型一行程问题 规定时间内完成，请问甲队最多可以调离多 1.一列快车长70米，一列慢车长80米.若两车同向 少人？ 而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为 20秒.若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间 为4秒，求两车每秒各行多少米？ 类型三费用问题 类型二工程问题 4.(2024·德阳调研)水是人类的生命之源.为了鼓励 2.(2024·成都质检)每小时有40立方米水注人水池 居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式 中.若开动5台抽水机同时抽水，则2.5小时就把 计量水价政策.若每户每月用水量不超过10立方 一池水抽完：若开动8台抽水机同时抽水，则1.5 米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行 小时就把一池水抽完.若开动13台抽水机同时抽 居民生活用水水价=基本水价十污水处理费)：若 水，请问几小时可以把这池水抽完？ 每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立 方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水 处理费不变.甲用户4月份用水8立方米，缴水费 27.6元：乙用户4月份用水12立方米，缴水费46. 3元.（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立 方数) (1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理 费各是多少元 (2)如果某用户7月份生活用水水费为64元，那么 该用户7月份用水量为多少立方米？ 3.在资阳一公路改建工程中，某路段长5280米，现准 备由甲、乙两个工程队拟在20天内（含20天）合作 完成，已知两个工程队各有20名工人（设甲，乙两 个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天 工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工 程队1天、乙工程队2天共修路400米：甲工程队2 天、乙工程队3天共修路700米 (1)试问甲，乙两个工程队每天分别修路多少米？ (2)甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需 从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在 ·61。 七年纸下研·数学(HS》 类型四增长率问题 类型六方案问题 5.某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、 8.(2023·杭州期中)某商场计划用9万元从厂家购 乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办 进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的 促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五 电视机，出厂价分别为A型1500元/台，B型2100 折销售，某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款 元/台，C型2500元/台. 538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的 (1)若该商场恰好用9万元从该厂家购进50台两 进价各是多少元 种不同型号的电视机，请你研究一下该商场的进货 方案： (2)已知该商场销售A型电视机可获利150元/台， 销售B型电视机可获利200元/台，销售C型电视 机可获利250元/台，在(1)的条件下，选择哪种进 货方案销售完可使得获利最多？ 类型五几何问题 6.(2024·温州质检)图(1)是一个密封的玻璃容器， 底部是圆柱体，上方是长方体，其中装有450cm的 液体.当容器正放时，容器内液面的高度为8cm(如 图(2))；当容器倒放时，容器内液面的高度为12cm (如图(3).则该密封的玻璃容器底面的半径为（π 取3) 图(1) 图(2) 图(3) A.5cm B.6cm C.8cm D.10cm 7.“争创文明城市，建设美丽资阳”，某居民小区为了 绿化小区环境，建设和谐家园.准备将一块周长为 76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块 小长方形，如图所示.计划在空地上种各种花卉，经 市场预测，绿化每平方米空地造价210元 (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多 少元？ ·62.七年概下需·敏学参考答案(H侣》 线.第：a的指最A.止g 2解，山方有面到部为二 专 【例1解，减表户今年第一伐置的花生产腰最)干克，用二埃晖学即罩 国韵花生广量是对千克 即学辉压 (2/+4y-2)=11-:X3=且 --:州同的1量，年升产为0（万1，年计文出为口玉A 一14解 4 第2课时加减消元法 都，w十- am一4一1巴 【倒3】解，可列大车的进度为18m/1乙到火车的速度为12m元 国前忧学 【例】解：从甲胞到乙龙的过程中，上棱座、平毫、下姓的长整 L商去 ①+②)×宁，斜m一3明an一8优A:到M-4 4年45.解：毫明南进的速度是0mm,公共汽不的神度是分同为甘m,km,k 摆家导学 同为2解一细=一，所以=1，将=1民人十得= 霉学期区 可得年=学.所以，=1=名 置外辑运 东解：期期草，乙，内三种夜站各一件共周]0元 y LD2A人AkA支b&23.52.1B&0 课处精体 口学年练 化+ 号第：有知位客人-18个千版解#的值为7b的值为名1，A23A表C5,青16一1：+1 上书31)韩，服方松细的解为名(2有：家本程组的 ①-您X5)×利一1.停方一y=1,p=r+1.将 y■年 十1凭人.周2y++=.厚=5一州 L,前，)+1-1. 所以x十十年=y十十y十3一2y= 象1)解，y=22解，y 2如年从市的间的角度考患康养中心化这甲公司：提由 :=一 y2 止都，对于方程型十一家. 下： 1鱼解：发排15公领种水相.当公湖种间花：姆公佩种风果 【例2】解，一2十1= 十一 1)行号亡计，目和学公时 解方程面十一1得 11,解：厚京的三位数是23,12,4 厚学挥压 4+1, 151)解：2十2y一x=1(2)解，购买5支即笔，5传檬皮，S 3解击4执 本日纪本共调知元 国外得懂 LD2pa力4#5.1w96=144.=1 =2:n6时，方程闻无解 6.4实藏与探索 7.7或1系14213 11有：2-1 2)解：已3，a解：方假量的前为 专题练五找特点巧消元解二元一次方程组 平会同单险完减州离时为相闲，乙给国单编克成所害 课量导学 y= 时间为5周 【例1】解：用那计0国用一1转一司×2X%=44(早方同米 =6 ,=1·14解，在粉的解安二- ,解：感程细的都为上17， 甲公司. 1.国2解，这种西品包装盒的体用为公m, 玉新：夏方程m的家为F2 (8如果从有的开生的角度考速，豪静中心成远乙公同，理由【例解：选释方常三侯利量多 新一一b-51新…言-一一子 y=- 年下：设选甲公海需支什装万元：这样乙公司辉学即 1r+0■Lt, 与财需支H装移香，万元限随童朝 A氧：)这批差客的人数是0人，好叶起用45常客车5辆 1y=1. r+w=43. 42)周4辆的座客华更合并 果外精图 2法20，一 本新：原打程组的新为仁一行。 氧得 1.C2D3C4C5.87,261E 7.a集mn 第3课时选择恰当的方法解二元一次方程组 5解：眼为程田的新为一一的方 象解：(11演轮船在》术中的运度是2千装/时，水漫连度是 置喷优学 1-m×号-4w-B×-4 L,前元二元一元加减代人 腰堂号学 长新：草方程用的新为上一。 "64, 3下米吐.华.内腾地平千米 y==1 果从币的支的角度号或，养中⊙乙公同.2 1解，1山正样生=甲，乙两种零行倚工人分端为2人，团人 第：【)三两辆裤传年的天%行叫同相聚10钟：2 山工甲特等件作稀人，如工乙料零升能肠人，组装的 【例111形方程前的解为： )解，去程用自如火 元标：顺方程出的都为上” y成 小宾H速车时间为37分种，小≤的实除乘车时间为16 工人有1人， 11.解，(1该植电第一代南连草种商品10许，前道乙种商品 (新，本程的解为上一四 专题训练六二元一次方程（组 2.h 翰校.《2楼框由持第一次队避的草，乙两种商品童潭买 的解的六种常见应用 出日一美年再料属仰几小)第二武乙商昌是报源场 学 花1论干克的值为机 打九新箱库 2，一1 1412 1y=- 1,：得 工解期=1，人，解1m=1 6.3三元一次方程组及其解法 14解.(1厚图号的挖餐国每时挖上间方，乙型号的纪厘得 碳外用峰 国信优学 停小时探上时方.。2疾工程A的相用方率为阻1行甲型 LC玉川又B4A5-44,-17,2k L三个1青个以上2.消元代人■适 挖国机射6台乙经控制机 横童导学 点新：眼方段用为化+女一。 专题调练七二元一次方程组的应用 1 1,解：模华每行22.5米，授羊4秒行山米 L解0Em≠ 土解：验.5小时耳反把这胞水完 ly-l 第4课时列二元一次方程组解快实际问圈 玉解，1甲.乙利个工型队每元杂州修商对米程0米 设前：由超鱼将之个一=8。 课量弹学 【例1解：源方程的解为)一 上》附方程里的 甲队是多可以同离4人. ,即A,H的值【例1】解，甲高品进蜂为15列元，：乙南品进价为90元 4《)每立方未悔满丰本伦为二估元：刺文方米的行水处理费 等学阳陈 1元 0树为平。一 1.A之.解购程甲种后保水川丽的进乙种矿泉水为y=: 2孩周户T月每用本量为52方米。 箱，。口该奥纸书老江饰前面灵水，司直利0无 系甲件直径的连价为尤，乙种血品价过价为司北 199 200 七年短下番·数学参考答案坞】 我A 7)小长方形的长为p米.定为1米要完成这块化【所痛，1g一0（一上一534十≥ 7.2不等式的基本性质 【例药一，不等式解为< 十程，预计花费0无 厚学即辉 厚学即塔 &解，(1》计情况计论，没际进A冠电阀机r价，B置电模机 455i04-3>g1r20 L>> 不变>>不<我 .【2.0 玉仍成效要性塑 【例师1将不等解建表不作数箱上围暗 由超边n点y= 4号r 课童界学 回学即体 【例】期，1)2r+30一12512>A种右群面27：无：B 【例1】11 21G3)40>【)> 104准)解一1，在教输上表示，用路，2)：得 厚一， 70 1在数箱上表示闲略.解：<又在数地表尿，时略 1y=5, 钟有料青2开1D一1元.圆可十山10一1)羽 即学厚经 【例3】m:x服1，，， 得斯进A拉电视明路白，B世电视帆经白. 厚学即体 1.C2.c3 位斯过》用电视肌台「整电税机动台， 4105(m=月5T,14=1C0 【例】解-1 5.112,8208300,1,1 南之-w 现并精国 即学健格 【例41：d=3 I.B EA 3.A 4.D :5.6.00+0.3C0G 得举即塔 好测代不有理，此为事有去 .无数4，，2.1 4.(1解.n<一242解一y=国 五12m名r十动日十m+3m 【到】1解>8)r<7 理外桔 2脑丑A型电混月心白，C型@混机A拉：由 即学甲5 w2+w每 1B玉Aa花4日5>号9动60无 图道n于no 6437,《1解：4<一p解，×心=1量 票5州。别君M 派外精整 年第：)设益过，个川后，小学的的放将多T用的存载，限影1A2A美A《A系> 美<号身11解之一围略。12解心号-周略 3<口1 3解r2,E项，4解，x>0,用精 式的解 得腾县A形电视机玩自，C型电规规行行 用，)-2由整原停与会寸3一引≥ 食场有种追桥方案： 得十一 ①AB两肺智号的电属低各购进西行： )：8解.r3(8解r> +力一之g中42门之号a的取的道测为 1,1.1 4电视阻进3有，C罗息漫机购进口作。 )案①我利为粉×31十当×角57州元：案空获利 1解：1面<中一S>(以通过作装案比较￥ 为装×1十与×20-000元 朝A的大小当：与在的整小子w个于，当。与各的差a解：(1国为每根：型国做的长度为m,所以制根A市W 等于04等千，当a与A的差人于0大十A,(2F 批的长度为2m限屠题意树非不等式 山.解的量小值是2江号 ”8元面90地，为楼获利回多，皮选样为害空，目A带电 为2×2r十232, 从r之8n7 视阴进有台C型电漫机剩进在， )解不等式用 4解日)年英T4的不等式A一10，得<子， 章末复习 头第：N行 0m41cc这三物到的长度通合：vn写 多留州状核度不遗合， 1解n:w的值分调为1，一L上一83A 新美Tr的不式热出士，图<字 第2课时不等式的解集 上门由解，解国蕊话用了不等式的琴本件3.都不等 健家忧学 式两站答乘1闲一十鱼数，不等号的方及有改生 ly-s 1,一个不等式3所有解用成的里合解第本等式数物 解：因为g>4.所线=01x公一”认放一10川3 2解不等大'：3山一r十3一00一四 第，-4将 2.求不等的解策的过程 +1<一1M十， =一4 12 4.向肖左宾心列N立周国 > 风量导率 1a解，1x一y=一3+=y一1 【例1 ￥c-1y-1-1yc2 不@，出号-，> 1.解，从A地到D地的Q亮段为行×3十5一13（千米）， 国学即体 用思意得丝名-十小一m 解：(1司甲种车攀为1第，乙种车置为拍辆.(21甲车1 1.D2.g 【例一12（栏M解1鸣 由，W得一t+12x+y民一1+2 :-bC0,h-1w,且uC0, 帆：乙车5第：冈车7辆周超段7的无 厚学即峰 品十支的电值能民是一1C:十方< 3.D4.D =a=ym“G1: 解不尊式a-4h1+=M, 第7章一元一次不等式 规外精修 ∴y+￥<一1父-1-L 1,H2D表4A 7y今1 7.1认识不等式 客1u>1r64山010-1-Cr 当4一2时1cy<-1一 k.(1x1《2-12 玉同性学 5解，)正到山的取值直谓为子<一3成1的当 .(1大412 由西料d十多<r十<一：一： 1,不等天坚玉使不等大成这的末知数的用无载 为一1现一1时-民直式（十十w一的最小值是， 深堂导学 4(1-1012)一1，一2-33.解，将 F十y的取值是■十2r十方<一2一其中a 【例1力 解一-1：由题皇有.u一1G7放的 第2课时列一元一次不等式解决实际问题 即学得逐 正是数算为11 7.3解一元一次不等式 得前优学 1.d边 11,04 上.(1}来延数为不等式 【倒18-，-2一1,0,1,2 01解：门视州数物，如爷室明略据通皇着：4一【，科添前发学 现堂导章 和学仰适 且一2<4：)由1如.再从目的厘离小下8的数在1，一个未知数整124十61减4u+AG0风a*如 【例】解：这简快餐能多香有斜克的置白质 土非3.151-4，，-10-4一0 一1相4之（不含一21，所以在一，0、1这三个量中，月表成，<A4)则一元一次方型菱数变）正去分醇学期国 有0州对应的点有的胞离小手3， 去括号流不合南命系数化为 201 201