6.3 三元一次方程组及其解法 -【指南针·课堂优化】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

之年纸下册·数学(HS》 *6.3三元一次方程组及其解法 C规律和方法 课前优学 三元一次方程满足：①含有三个未知数； :②含未知数的项的次数都为1：③是整式方程. 1.三元一次方程组 三元一次方程组满足：①方程组内共有三 含有 未知数，每个方程中含未知数的 个未知数：②方程有2个以上：③每个方程是整 项的次数都是 ,并且一共含有 式方程. 方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 2.三元一次方程组的解法 即学即练 解三元一次方程组的基本思想仍是 般地，应利用 法或 法消去同一 1.若(m一1)x十m一1y-mx=0是关于x,y,x的 个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一 三元一次方程，则m的取值范围为 次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未 知数. 知识点2三元一次方程组的解法 3.三元一次方程组的应用 【例2】解下列三元一次方程组： 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： x十y十之=12，① 3x-y+2≈=3，① (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x, (1)x+2y+5e=22,②(2)2.x+y-3g=11,② y,:)表示题目中的三个未知数： x=4y:③ x+y+x=12.③ (2)找出能够表达应用题全部含义的等量关系； 【思路点拨】(1)把③分别代入①②消去x:(2)三个 (3)根据这些等量关系列出需要的代数式，从而列 方程中y的系数的绝对值都是1，所以可先消去以 出方程并组成方程组： (4)解这个方程组，求出未知数的值： (5)写出答案（包括单位名称）. 、兰课堂精讲 知识点】三元一次方程（组）的概念 【例1】(1)下列方程中，是三元一次方程的是( A.x+y-z=1 B.4xy+3x=7 c是+y-s=0 D.6x+4y-3=0 (2)已知方程组： 2x+3y-之=7， 2a+3b=6, ①x-y十x=8, ②4b=8, 4x十y+x=-4. 3c-b=5. 1+y=2 xy=1, x+y-x=5, ③yg=2,④2y-3x十x=7,⑤ 十之=4，其中 y xx=3. 2x-4z十0=0. 1+x=6 规律和方法… 是三元一次方程组的是 (填序号). 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是！ 【思路点拔】（①）4y为二次项，是不是整式，所以B、 可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察 方程组选择最为简便的解法，根据方程组中各 C都不是，D中只有两个未知数，只有A是；(2)③中 方程系数的特，点，灵活地确定消元对象和消元 有二次项：④中有4个未知数：⑤中出现分式，故只有 方法，不要盲目消元 ①②是. ·54· 第6章一次方程租 即学即练 规律和方法 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过 2a+b-3=19, 程中，如采从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙 2.(2024·烟台期中)三元一次方程组4如十2弘十c=3,消 地到甲地时就变成了下坡路段 a-b+c=0 去未知数c后，所得二元一次方程组是( 即学即练 A. 5a-2b=19, B. 2a+b=4, a+b=1 3a+b=3 5.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲商品3件，乙商品 C./a+b=1, D. 3a+b=3, 2件，丙商品1件共需315元钱：购甲商品1件，乙 13a-2b=19 15a-2b=19 商品2件，丙商品3件共需285元钱，那么购甲、乙、 丙三种商品各一件共需多少钱？ 3.方程组 x‘y:x=4:7:8的解为 x+y+2:=54 11x+3z=9, 4.解三元一次方程组：3x十2y十之=8， 2.x-6y+42=5. 感课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 2x十y=7, 1.由方程组 2y十x=8,可以得到x十y十x的值为 知识点3三元一次方程组在实际生活中的应用 22+x=9 【例3】某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶， ( 因为行驶中有一个坡度均匀的小山，该汽车从甲地到 A.8 B.9 C.10 D.11 乙地需要2.5h,而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车 3x-y十2g=3, 在平地、上坡、下坡的行驶过程中的速度分别是 2.观察方程组 2x+y一4之=11，的系数特点，用加减 30km/h、20km/h、40km/h,问从甲地到乙地过程中， 7x+y-5z=11 上坡路，平路、下坡路的长度各是多少？ 法解此方程组较简便的是 【思路点拨】题中有三个等量关系：①上坡路长度十 A.先消去x B.先消去y 平路长度十下坡路长度=70km:②从甲地到乙地过 C.先消去x D.都一样 程中，上坡时间十平路时间十下坡时间=2.5h:③从 3.若∠a和∠3互为余角，∠a和∠y互为补角，∠3 乙地到甲地过程中，上坡时间十平路时间十下坡时间 与∠y的和等于周角的了，则∠a、∠R、∠了的度数 =2.3h. 分别为 A.75,15,105 B.60°，30°，120 C.50°.40°.130 D.70°，20°，110° 4.(2024·太原期中)为确保信息安全，信息需要加密 传输，发送方由明文转为密文（加密），接收方由密 文转为明文（解密），已知加密规则为明文a,b,c对 应密文a十1，一a十2b十4，b十3c十9，如果接收方 收到密文7,12,22，则解密得到的明文为 () A.6,2,7 B.2,6,7 C.6,7,2 D.7.2.6 二、填空题 5.已知一a+-bc+y与a"b+‘是同类项，则 ，y ·55. 之年纸下册·数学(HS) 6.对于代数式ax+bx+c(a、b,c是常数)，当x=1 B组（能力提升） 时，值为0：当x=2时，值为3：当x=一3时，值为 x1十g=a1, 28,则这个代数式是 12.在关于x1,x2,x的方程组x2十x=ag,中，已知 7.已知x-5y+2(3y-6)+32-3.x=0,则x I+a=as +y十≈的值为 41>ag>a,那么将x,,x从大到小排列起来 8若满方程组位则y 应该是 13.阅读下列材料，解答后面的问题 已知方程组 /3.x+7y+x=20, 三、解答题 4x+10y+之=27.求x+y+: 9.解方程组： 的值. =x十y, 2x+3y+x=6, 解：将原方程组整理，得 (1)3x-2y-2z=-5, (2)x-y+2x=-1, /2(x+3y)+(.x+y+)=20,① 2x十y-=3: x十2y-x=5. 3(x+3y)+(x+y+z)=27.② ②一①，得x十3y=7.③ 把③代入①，得x十y十z=6. 6.x+4y=22, 10.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水 (1)已知方程组 1-x-6y+4x=-1. 稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳 仿照上述解法，试求x十2y一之的值. 动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样 安排三种农作物的种植面积，才能使所有的职工 都有工作，而且投入的资金正好够用？ (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、 3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅 笔，5块橡皮，3本日记本共需58元，则购买5 支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 11.某个三位数是它各位数字之和的27倍，已知百位 数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三 位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个 新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的 三位数 ·56·七年概下需·敏学参考答案(H侣》 线.第：a的指最A.止g 2解，山方有面到部为二 专 【例1解，减表户今年第一伐置的花生产腰最)干克，用二埃晖学即罩 国韵花生广量是对千克 即学辉压 (2/+4y-2)=11-:X3=且 --:州同的1量，年升产为0（万1，年计文出为口玉A 一14解 4 第2课时加减消元法 都，w十- am一4一1巴 【倒3】解，可列大车的进度为18m/1乙到火车的速度为12m元 国前忧学 【例】解：从甲胞到乙龙的过程中，上棱座、平毫、下姓的长整 L商去 ①+②)×宁，斜m一3明an一8优A:到M-4 4年45.解：毫明南进的速度是0mm,公共汽不的神度是分同为甘m,km,k 摆家导学 同为2解一细=一，所以=1，将=1民人十得= 霉学期区 可得年=学.所以，=1=名 置外辑运 东解：期期草，乙，内三种夜站各一件共周]0元 y LD2A人AkA支b&23.52.1B&0 课处精体 口学年练 化+ 号第：有知位客人-18个千版解#的值为7b的值为名1，A23A表C5,青16一1：+1 上书31)韩，服方松细的解为名(2有：家本程组的 ①-您X5)×利一1.停方一y=1,p=r+1.将 y■年 十1凭人.周2y++=.厚=5一州 L,前，)+1-1. 所以x十十年=y十十y十3一2y= 象1)解，y=22解，y 2如年从市的间的角度考患康养中心化这甲公司：提由 :=一 y2 止都，对于方程型十一家. 下： 1鱼解：发排15公领种水相.当公湖种间花：姆公佩种风果 【例2】解，一2十1= 十一 1)行号亡计，目和学公时 解方程面十一1得 11,解：厚京的三位数是23,12,4 厚学挥压 4+1, 151)解：2十2y一x=1(2)解，购买5支即笔，5传檬皮，S 3解击4执 本日纪本共调知元 国外得懂 LD2pa力4#5.1w96=144.=1 =2:n6时，方程闻无解 6.4实藏与探索 7.7或1系14213 11有：2-1 2)解：已3，a解：方假量的前为 专题练五找特点巧消元解二元一次方程组 平会同单险完减州离时为相闲，乙给国单编克成所害 课量导学 y= 时间为5周 【例1】解：用那计0国用一1转一司×2X%=44(早方同米 =6 ,=1·14解，在粉的解安二- ,解：感程细的都为上17， 甲公司. 1.国2解，这种西品包装盒的体用为公m, 玉新：夏方程m的家为F2 (8如果从有的开生的角度考速，豪静中心成远乙公同，理由【例解：选释方常三侯利量多 新一一b-51新…言-一一子 y=- 年下：设选甲公海需支什装万元：这样乙公司辉学即 1r+0■Lt, 与财需支H装移香，万元限随童朝 A氧：)这批差客的人数是0人，好叶起用45常客车5辆 1y=1. r+w=43. 42)周4辆的座客华更合并 果外精图 2法20，一 本新：原打程组的新为仁一行。 氧得 1.C2D3C4C5.87,261E 7.a集mn 第3课时选择恰当的方法解二元一次方程组 5解：眼为程田的新为一一的方 象解：(11演轮船在》术中的运度是2千装/时，水漫连度是 置喷优学 1-m×号-4w-B×-4 L,前元二元一元加减代人 腰堂号学 长新：草方程用的新为上一。 "64, 3下米吐.华.内腾地平千米 y==1 果从币的支的角度号或，养中⊙乙公同.2 1解，1山正样生=甲，乙两种零行倚工人分端为2人，团人 第：【)三两辆裤传年的天%行叫同相聚10钟：2 山工甲特等件作稀人，如工乙料零升能肠人，组装的 【例111形方程前的解为： )解，去程用自如火 元标：顺方程出的都为上” y成 小宾H速车时间为37分种，小≤的实除乘车时间为16 工人有1人， 11.解，(1该植电第一代南连草种商品10许，前道乙种商品 (新，本程的解为上一四 专题训练六二元一次方程（组 2.h 翰校.《2楼框由持第一次队避的草，乙两种商品童潭买 的解的六种常见应用 出日一美年再料属仰几小)第二武乙商昌是报源场 学 花1论干克的值为机 打九新箱库 2，一1 1412 1y=- 1,：得 工解期=1，人，解1m=1 6.3三元一次方程组及其解法 14解.(1厚图号的挖餐国每时挖上间方，乙型号的纪厘得 碳外用峰 国信优学 停小时探上时方.。2疾工程A的相用方率为阻1行甲型 LC玉川又B4A5-44,-17,2k L三个1青个以上2.消元代人■适 挖国机射6台乙经控制机 横童导学 点新：眼方段用为化+女一。 专题调练七二元一次方程组的应用 1 1,解：模华每行22.5米，授羊4秒行山米 L解0Em≠ 土解：验.5小时耳反把这胞水完 ly-l 第4课时列二元一次方程组解快实际问圈 玉解，1甲.乙利个工型队每元杂州修商对米程0米 设前：由超鱼将之个一=8。 课量弹学 【例1解：源方程的解为)一 上》附方程里的 甲队是多可以同离4人. ,即A,H的值【例1】解，甲高品进蜂为15列元，：乙南品进价为90元 4《)每立方未悔满丰本伦为二估元：刺文方米的行水处理费 等学阳陈 1元 0树为平。一 1.A之.解购程甲种后保水川丽的进乙种矿泉水为y=: 2孩周户T月每用本量为52方米。 箱，。口该奥纸书老江饰前面灵水，司直利0无 系甲件直径的连价为尤，乙种血品价过价为司北 199 200