6.1 二元一次方程组和它的解 -【指南针·课堂优化】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

第6章一次方程租 第6章一次方程组 .C 6.1二元一次方程组和它的解 C规律和方法 课前优学 抓住二元一次方程概念未知数的次数是 1.二元一次方程 “1”列方程（组）求解. 有 未知数，并且含有未知数的项的次 数都是 的方程，叫作二元一次方程。 即学即练 温馨提示： L.下列方程（组）是二元一次方程的有 ,是二 (1)“二元”就是指方程中有且只有两个未知数， 元一次方程组的有 (填序号) (2)“一次”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. ①3x+y=x②3.xy-x=6③5.x-2y=6 (3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式。 ④y=1-4红 ⑤/=1， 2.二元一次方程组 2 y+3x=5 @+ 含有两个相同未知数的两个一次方程所组成 ⑦ xy=1, ⑧/r+y=3. 的一组方程，叫作二元一次方程组. x+y=2 1x-2y=5 温馨提示： 2.若(m-2020).x1-09+(n十4)y1-8=2021是 二元一次方程组的一般形式为ax十y=G4, 关于x,y的二元一次方程，则 () a1x十by=c2 A.m=±2020，n=士4B.m=-2020,n=-4 (其中a1,a2、b、b2不同时为零). C.m=2020.n=4 D.m=-2020,n=4 C规律和方法 3.二元一次方程的解 判定二元一次方程（组）时要注意： 般地，使二元一次方程左右两边的值都 (1)方程中需含有两个未知数： 的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解，它的解有 (2)未知数的次数必须为1.若未知数的系： 个 数含有字母，则字母系数不能为0. 温馨提示： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，通常 知识点2 二元一次方程（组）的解的定义 表示为6的形式 【例】已知2是方程组 x+2by=7的解， 十ay=3 4.二元一次方程组的解 求a十b的值. 一般地，使二元一次方程组中两个方程的左 右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元 一次方程组的解。 温馨提示： 方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程， 规律和方法)… 所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方 根据二元一次方程（组）的解的概念代入方 程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组 程（组）中，建立新的方程（组）求解即可，注意整 中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解 :体思想的运用 兰课堂精讲 即学即练 知识点1 二元一次方程（组）的定义 3.已知下列方程： 【例1】已知关于xy的方程(2a十6).x十(h一1)y-8 ①x+4y=8:②2.x+4y=0:③(x+4y-8)(2.x+ =一8是二元一次方程，则a=二b= 4y)=0:④(.x+4y-8)2+|2x+4y=0. 37 之年纸下册·数学(HS x+4y-8=0, 其中与方程组 的解相同的方程有 感课外精练 2x十4y=0 ( A组（基础过关） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 一、选择题 1.方程5.x+2y=一9与下列方程构成的方程组的解 ax+y=b, x=1 4.若方程组 的解是 ,则(a十b)2 (x=-2. x-by=a y=1 为 1 的是 () (a-b)(a+b)= y=2 A.x+2y=1 B.3.x+2y=-8 知识点3根据问题情境列二元一次方程组 C.5.x+4y=-3 D.3.x-4y=-8 【例3】某校住校生宿舍有大、小两种寝室若干间，据 统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室 2.若方程6kx-2=8有一个解是二，3·则k的 1y=2 和50间小寝室，正好住满：女生730人，使用了大寝 值等于 () 室50间和小寝室55间，也正好住满.求该校的大、小 A. c号 n-号 寝室每间各住多少人？（只列方程，不求解） 3.(2024·兰州)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是 中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一 个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000 个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问 甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y 个，则可列方程组为 () C规律和方法 (x-y=1000, 1x-y=1000, 列二元一次方程组解应用题，一般要根据！ 11 9y=999 B.11 :题目中的数量关系，选择两个未知数，将题中给： 9t+ +制=9 出的数量关系，表示成含有这两个未知数的两 x-y=1000, x+y=1000, 4 个等式 2十一—99。 停r+0y=100 D.4 ，保票重票装票果票小集果集果来重票至果果票电票年票果集重票年集果票重票小年票果果果车生 4.(2024·黑龙江)国家“双减”政策实施后，某班开展 即学即练 了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在 5.(2024·辽宁)我国古代数学著作《孙子算经》中有 活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行 “雄兔同笼”问题：“今有雄兔同笼，上有三十五头， 奖励（两种奖品都买）.其中笔记本每本3元，碳素 下有九十四足，问雄兔各几何？”其大意是：鸡兔同 笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案 笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡 A.5 B.4 C.3 D.2 有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为( 二、填空题 Br+y=94, 5.(1)若mx-5y=5x一7是关于xy的二元一次方 2.x+4y=35 程，则m的取值范围是 c+y=35, x+y=35, (2)3x-(m-3)ym-1-2=1是关于xy的二元- 4x+2y=94 D. 2x+4y=94 次方程，则m= 6.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12 元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场 62022·雅安)已知二2是方程ax+w=3的解. 共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480 则代数式2a十4b-5的值为 元，中、小型汽车各有多少辆？（只列方程组，不求 y=3,②/=2， 7.已知下列五组数值：①口=3， /x=0, y=2 解) @@6其中 是方程 2x一y=3的解， 是方程x十2y=4的 解， 是方程组 2x-y=3, x+2y=4 的解。 ·38· 第6章一次方程租 8.已知 =一1·是二元一次方程组 3x+2y=m:的 12.某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明. y=2 x-y=1 解，则m一n的值是 萨新为活动 任浮巧双料，名二双打六斯 9.(2022·日照)《孙子算经》是中国传统数学的重要 沿动说明： 著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短， 两双特定价不刷封以低价音折扣 引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺·木 凫活动不得与折价泰合并使用 长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长， 小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋， 绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还 且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价 剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳 券，若小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活 动两者的花费相差50元，则下列叙述正确的是 子长为y尺，则所列方程组为 () A.使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差 三、解答题 100元 a.x+5y=15① 10.甲、乙两人共同解方程组 4虹-y=-2g'由于 B.使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差 250元 甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为 C.参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相 x=一3·乙看错了方程②中的6，得到方程组的 差100元 y=-1: D.参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相 解为仁-试计第严+（一动"的监 差250元 13.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合， 则她所带的钱还剩下10元：若买3支玫瑰和5支 百合，则她所带的钱还缺4元，若只买8支玫瑰， 则她所带的钱还剩下多少元？ B组（能力提升） 11.(2024·宿迁)若关于x、y的二元一次方程组 a.x十y=b, 的解是 x=3, y=-2 则关于x、y的方程 cx-y=d 组ax+2y=2a+6 cx-2y=2c+d的解是 ·39·七年城下景·数学参考答案侣】 深外睛练 期学用练 1.A2.kC+.B线1nk的3， 潭外精修 1解，11旋帽行合月42)可史单 【例】一1 %用1国新1每个女生不均买2个气球 1,n王13，口4.5系3004050特四0 【倒】解甲传天生产阳个零件，乙传天生产0个零件 厚学即懂 但解：黑这有1块，白度0块 九.解：水果内进苹果30T克 和学 1上解：合收人量为图人，金前为的0钱 核解，解个坚果礼盒的进为0的元，年个水果题的进的为2解：厚什划制天生产1D个 【例1饰+6=1 12D13.10 0元 程学即体 以邮，作天在产套，由面窗，是十音十片= 1.解：1)与套任女餐的遇价为125元 (2)明的意爸购进10食站服 1.g10a4n友（什+-14五57w 【例1物：位流松的大将家特利佳：人，程室海间台y人，由 -,-人乙人 4名14R地的本0和为514元 经意月： u十0-40 2解：1限式A会国样有用品的夜为3：十400)元：南 两，号-城人 买川公汤体育用品的现相为0r十m)无，字：的值又解：这这小肆打了孙 得学即样 :解：这柱框毒看所台，得3无党或 5.0 5.3买践与探索 13508142 11解：《1甲单曲觉成秀0天，乙单拉究成周种天. 解：两线学校轻名业自的学中人数之是们人 )乙登同量少电成工15其 金新四车有：第小g车有y第雕丝，得 第1课时体积和面积问弦 2甲校督名喜配事的学中有时人，之2粗名参加业前之1线解，美年细天图尼草地上的章吃完. 1已e+ 误外精蓝 前学生有人， 专题训练三一元一次 康简性学 41)体得12同长(3国积体图 第3渊时行程问圆 方程应用中的分类讨论问题 y-r=1.6 工0①0净●1天 家堂棉学 潭堂导摩 解：设A书两植师肉为市现2m 子= 【倒1】解，水国离容春山的值离的为数7升彩 【解1狮，1设由发行了时再车相酒，闻4r十2r=0, 2解.(1妈月0上.乐不用广分长： 解得了✉.答，出发1行得车相3. 2中英州%发二5分55处嘎2生25分：同人制厘30米 1.解：夜定皮了0 x解：(1甲南有0人：乙能有33人 上解，大正容形的自积为新半方加米. (2盘发3时漫5小4时们周车相要1n 山分开付款时：明堂传了86元适4.5元 1y=一1 【倒】解，小明爸爸的设计合理，时喝辆的演积为1格平方彩 四学)练 单学耳练 1,解，乙出型0#物后与甲相调. 专题训练四一元一次 及解：的自积大 2前：A,H两地同的死黄为（千米） 方程应用中的图表型问题 队解位任支数理元，性支容杂y无。值短意，到 【例2啊，两车出复华付业军道上周车 十1y+10=1r十6y-4ay=r十7,5十y十10 蛋外精练 (2传个由发1临时通上餐车，此时慢华行骏了红n 上解：《)放回市将第一次响透的甲，乙阿粹南品全得真完后一 共国得130无利飘 0唱位位米为后无划形质 日)第二代乙商品是烤果价打“.5折精传 6.2二元一次方程组的解法 1.解：1)情车的速发各是20来/粉加6米件 直41.的家1日头解：同住后水解向四m (元全每过乙车害要81校. 2解：(11答到一画传5分：本布减答量一过拉1分 第【课时代入消元法 组解，特按老为5四的证水蜂技润址人领属中，设铁罐中水会【假1：)若两人的行，圆佛们器过子分协有比框铜 山不可的周形升，理由如下，2调同学等对了直喜，则 术养减若情了4为一追，根鲨超意得：5：一（初一1一面课前优章 上并m测：×（罗》×x一，丽传一三，情以线性空看有人同身时行，州值说过分分种金文客， 时，解样上一导，年日的数隆位直整数世途位用学本线 1,消元一元工静表一元一赏 建堂导家 巾水圆盈上升三将属性形铁拔敏人愤幅中，枝相中的 厚学即陈 密利药分 【例y-—5y-8一 水会签出，型设发隔中水面会上舟m:州×（号）普试和8，还要必过1山百分钟男人首武相思。4还受表解： 厚学期国 出1侣号钟周人有达相清 所购物品的附能是元 ×y-t×(号）×30，解书，-7,5-9-3cm1,7 【例】解，水流座度为kh:A,甘再个同马星之的距商为 )个起所啊物品家偷为54和元：期小李所购物品的享便为 66元 【9指，这的是g二 2>-所以铁情中的本会金出来 厚学即球 51)登过4书域6林，点A,B之风的肉等于3个弹食E度 1L解，长疗形的长为性星米，宽为旧淫米 [2 124n1A10014L0写 5.解，甲，乙周个辅年之料的航程为L5×(动十31=图 除上所性，点A出到原心肥离之和的最小值为名 (3)洛个为程框的解是 章末复习 第2课时楼蓄、利润间题 课外糖体 醇学聊峰 添前饮学 I.C 2D 3C 4.A 1.A2解-1表解时-10或号 12)离昌或本)闲十或本上地长市 C26,一a41十士月=456 【例1门解，每个这物书区的成本竹是和元，利制是12元，料到 4100107.1▣装.400 5解，=一1x=1%4.D7.心我A 【 复)解，言m5.2)解，r出一07. 厚学即核 事是的% 线，解：毛代在起是L卫时们属常国机，本值发全管在程上 10解，1)工丁根有0每名工人生产社型装置，（程）下有5.解，2m一1m=一4 即学饵结 眼前：经过2小树缘之3小时两车料无w具 1.C1.A 解：(1)水荒请度为3n/:(2)面展用到屏的率短出身 如名工人生产A第装置，方4知名人生产B型装置 课外箱修 1解，1》r-11采：r一2)米(x-3》米2)=7， 【例】解，周大爷备锦第笔是F元由明意 廷间共浅要百个时位9神 十x2一《1十%5那'4=5. 1.11T0 引外下的工程由乙队单融室工：还蒙10天完成 LCA玉A4C如字。一导 4航1)当是亮的人料走四明走路惧倚人在前国，两天相 隔面长上路悦锦人走0在才雀色上帝得的人 第6章一次方程组 五号米号 即学厚越 第4课时工程问题 6,1二元一次方程组和它的解 将，者智圆的新为一，由，少写 及解第一和篇疗式（直接存一个6）始存人的本 课室导苹 课前饮学 【例甲，乙两个年合：月承量爆分洲W任了立4万元五4【例】饰：乙中座离仟了天 1阿个1玉相等无数 197 98