5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 -【指南针·课堂优化】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

5章一元一使方程 5.2解一元一次方程 5.2.1等式的性质与方程的简单变形 ,C规律和方法) 解答此类题的一般规律是从已变化的一边： 第①课时等式的基本性质与 入手，看它是怎样从原等式变形到变形后的等 方程的变形规则 式的，再把另一边也以同样的方式进行变形. 兰课前优学 即学即练 1.下列变形符合等式基本性质的是 1.等式的基本性质 A.若2x-3=7,则2x=7-3 性质1：等式两边都加上（或都减去） 或 ,所得结果仍是等式。 B若-2x=5.期x=一哥 如果a=b,那么a十c ,a一c= C.若3.x-2=x+1,则3x-x=1一2 性质2：等式两边都乘以（或都除以） n.若行=1，则x=号 (除数不能为0)，所得结果仍是等式. 2.在横线上填上适当的数或式子，并说明变形的依据 如果a=b,那么ac= (c≠0). 以及是怎样变形的 (1)如果5.x一8=14，那么5x ,根据 2.方程的变形规则 规则1：方程两边都加上（或都减去） (2)如果一3.x=12,那么x= ,根据 ,方程的解不变 规则2：方程两边都乘以（或都除以） (3)如果- 3 ,方程的解不变 之x-7=11,那么- 2= ,根 据 ,所以x 光课堂精讲 ,根据 知识点1■ 等式的基本性质 【例1】用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等 知识点2根据方程的变形规则解方程 式，并说明是根据等式的哪一条基本性质进行变 【例2】解方程： 形的： (1)5.x-7=13:(2)7x-9=3x (1)如果x十8=10，那么x=10十 【思路点拨】利用等式的基本性质求解. 根据 (2)如果4.x=3.x+7,那么4.x =7: 根据 (3)如果一3.x=8,那么x= ;根据 (4)如果号x=一2，那么 =一6：根据 【思路点拨】首先观察等式的一边是如何由上一步 变形得到的，确定变形的依据，再对等式的另一边进 行相应的变形，得出结论 。3 七年熊下所数季(3 ⊙规律和方法 4.已知等式3n十4=2，则下列等式中不一定成立的 利用等式的基本性质解一元一次方程的一 是 () ：般步躐：首先运用等式的基本性质1，将方程逐 :步转化为左边只有含未知数的项，右边只有常 A.3m+6=2m+2 B号m+2 :数项，即ax=b(a≠0)的形式：其次运用等式的： C.3m-2n=-4 D.3my+4=2y 基本性质2，将x的系数化为1，即x= 二、填空题 (a≠0)即可. 51)如果6(x-)=2,那么x-是 (2)如果5x十3=一7，那么5x= 即学即练 (3)如果号=立那么2x= 3.写出下列方程的解： 6.(1)若关于x的方程3.x一kx+2=0的解为2，则k (1)方程0.25x=1的解是 的值为 (2)方程3.x十2=0的解是 (2)若x=1是方程-2m.x十n一1=0的解，则 2024+n-2m的值为 (3)方程5.x=2.x十9的解是 7.小兵将等式3.x一4=2x一4变形，过程如下：因为 (4)方程5.x一4=6的解是 3x一4=2x一4，所以3.x=2x(第一步)，所以3=2 4.解下列方程： (第二步)，在上述过程中，第一步的依据是 a3x+4=-5i (2)2x-3=8-x ,第二步得出了错误结论，其原因是 8.已知x3+3x2=x+3,则代数式3.x+9.x2-3x+1 的值= 三、解答题 总课外精练 9.将下列等式化为“x=a”的形式. 加 (1)x-3=31: (2)-0.25.x+9=7. A组（基础过关） 一、选择题 1.(2024·九龙坡质检)下列各式变形错误的是 ( 入若是=名则a=6 B若a=6.则4 b C.若a2=,则a=士b 10.已知2a-3=2b+1,比较a与b的大小，并说明 D.若a=6,则日=方 理由 2.由x一2=y变成3(x一2)+6=3y十6，运算过程 中所用的等式基本性质及其顺序是 A.先用等式的基本性质2，再用等式的基本性质1 B.只用等式的基本性质1 C.先用等式的基本性质1，再用等式的基本性质2 D.只用等式的基本性质2 3.“●■▲”分别表示三种不同的物体.如图所示，天 平①②保持平衡，如果要使天平③也平衡，那么应 在天平③的右端放“■”的个数为 D A.2 B.3 C.4 D.5 。4 第5章一元一使方程 11.能否从等式(2a-1)x=3a十5中得到x 弘为什么？反过来，能否从x一积宵得到 第2课时移项和系数化为1 (2a-1).x=3a+5,为什么？ 艺课前伏学 1.移项 将方程中的某些项 后，从方程的一边 移到 ,像这样的变形叫做移项。 2.系数化为1 将方程的两边都除以 ,像这样 的变形通常称作“将未知数的系数化为1” 注意：(1)移项时通常把含有未知数的项放到一边， 常数项放到另外一边： (2)系数化为1时，如果未知数的系数是分数，可以 B组（能力提升） 在方程两边乘未知数的系数的倒数，将系效化为1. 12.设a,b,c为互不相等的实数，且b= a+号，则 4 下列结论正确的是 兰课堂精讲 m A.a>b≥>c B.c>b>a 知识点1移项法则 C.a-b=4(b-c) D.a-c=5(a-b) 【例1】下列方程中，移项正确的是 3.已知m十n=2008(m二，则45m- A.方程8一x=6变形为一x=6十8 B.方程5.x=4x十8变形为5r-4x=8 C.方程3.x=2x+5变形为3x-2x=-5 14.先阅读下列例题的解答过程，再解决后面的题目 D.方程3一2x=x+7变形为x一2.x=7十3 例：已知9一6y一4y=7,求2y2+3y十7的值， 【思路点拨】把一项从方程的一边移到另一边时一 定要变号，不移的项不需要变号， 解：因为9-6y一4y2=7,所以4y2十6y=2, C规律和方法)…………… 所以2y2+3y=1, 正确的进行移项和判断移项是否正确，关： 故2y+3y+7=8. :键在于理解移项的意义 题目：已知14a-5-21=9,求66-4a+5 的值 即学即练 1.下列解方程的过程中，移项错误的是 A.方程2x十6=-3变形为2x=-3十6 B.方程2x-6=-3变形为2.x=-3十6 C.方程3.x=4一x变形为3x十x=4 D.方程4一x=3.x变形为x+3.x=4 知识点2用移项法则解方程 【例2】解下列方程： (1)3.x+2=4x-3: (2)4-3 34x=x-3 3 。5 七年熊下所+数季(HS ⊙规律和方法 初学时霄按步骤去做，注意移项要变号，通 即学即练 常把含有未知数的项移到方程的左边，不含未 :知数的项移到方程的右边」 3若代数式一了y+与号-是同类项，则m的 值为 () 家即学即练 A.3 B.4 C.5 D.6 2.解下列方程： 4若方程2x一吉-0的解他是方程登一言=0的 (1)3.x-4=5-6.x: 解，则a的值为 5.已知关于x的方程3.x十2a=x十7，某同学在解这 个方程时，不小心把方程右端的十7抄成了一7，解 (2)7x+1.37=15x-0.23: 得的结果为x=2,求原来方程的解. (3)4x+5=3.x+3-2.x: (4)8.x+16=52-4.x. 总课外精练 A组（基础过关） 一、选择题 1.下列变形正确的有 ( 知识点4运用简单变形解含参数的方程 ①从13-x=-5得到-x=-5+13: 【例3】已知关于x的方程4x+2a=3x+1和一5x ②从-7x+3=-13x-2得到13x-7x=-3-2: 一6a=12-7.x有相同的解，求am一a-1的值. ③从-5.x-7=2x-11得到11-7=2.x-5.x: 【思路点拨】由于两个方程的解相同，故可以用含 ④从2x+3=3x十4得到2x-4=3x-3. 的代数式分别表示出两个方程的解，进而建立关于 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 的方程，求出a的值. 2.(2024·太原模拟)下列方程变形中，正确的是 ( Λ.方程一芳=1，系数化为1得x=5 B.方程41=2，系数化为1得1=2 C方程号x=2,系数化为1得x=6 ⊙规律和方法一 D.方程一3x=1,系数化为1得x=4 解答关于两个方程的解的关系的题，一般 3.已知(4一2x)2+1y+1|有最小值，则x一y的值为 是先求出关于未知数的两个方程的解，再根据 :这两个方程的解的关系，建立一个以所求字母 A.1 B.-1C.3 D.-3 为未知数的新的方程，解这个方程即可求出待 4.方程3x一4=3一2.x的解答过程的正确顺序是 定字母的值，也可以先求出其中一个方程的解， ( ：再根据这两个方程解的关系，求出另一个方程 ①合并同类项，得5.x=7: :的解，再代入另一个方程中，建立一个以所求字 ②移项，得3x十2x=3十4： 母为未知数的新的方程，解这个方程即可求出 待定字母的值 ②系数化为1，得=子 A.①②③B.③②①C.②①③D.③①② 6 装5章一元一使方鞋 二、填空题 10.a为何值时，关于x的方程3x十a=0的解比方程 5.若4m一9与3m一5互为相反数，则m2一2m+1 的值为 3x-4=0的解大2？ 6.在公式v=vo十at中，若v=15,o=5,t=3,则 d= 7.关于x的方程3.x十2m+1=x一3m一2的解为 x=0,则m的值为 8.若方程2m+x=1和3.x一1=2.x+1的解相同，则 m的值为 三、解答题 9.解下列方程： (1)-2.x+3=1-x; B组（能力提升） 11.已知关于x的方程(2a十b)x一1=0无解，那么ab 的值是 A.负数B.正数C.非负数D.非正数 12.我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环 小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式 (2)0.3.x+1.2-2x=1.2-2.7x: (整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小 数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.7化为分数形式 由于0.7=0.777…，设x=0.777…① 则10.x=7.777…② ②-①得9x=7,解得x=名，于是得0，i=子 (3)2x-号=-+2： 同理可得63=号=31.i=1+0,4=1+号 8 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均 用最简分数表示) (1)0.5= .5.8= (2)将0.23化为分数形式，写出推导过程： ④-+1=- (3)0.315= ,2.018= (注：0.315=0.315315…，2.018=2.01818…) (4)①试比较0.9与1的大小：0.9 1(填 “>”“<”或“=”) ②若已知0.285714-号，则714285 (注：0.285714=0.285714285714…) 。7七年概下需·敏学参考答案(H侣》 七年级下册·数学同步参考答案 第5章一元一次方程 甲学即生 解大2 1.打2(1)四尊式的基本性城1：利过都上表的一1 D2号号2a-器8器思 工答定：分数的林本性成等式的基本程塘1去钙号甚则或 5.1从实际问题到方程 粤式的基本挂减艺，料动得晚双一1(3博等的从本性重 ,为边都烟上7出理“等式的都本性断，得山容除以一 10- 达分配非移明等七的基本性度1童数化为1等式的 演前优学 上等式2，表数的算 5.2.2解-元一次方程 要变导学 【例2】t1解：1》等式阿边朝时如上1，得5一日十1，画 【偶 年一1尊式料由0时以.料：=L(等式利边同时减 第1课时用去括号法解一元一次方程 犀学厚体 口学军标 左-44一0一民尊式件进时加上，程4=3，容式两 动同时位日，作上一 需前优学 长靠er一 LB 【例】第：=2是方程1+1=一市伦解 L一个1土4-0a学0人《2式拆号的进则 课外精峰 霉学即座 1山①去锈号②非线S合寿月美项不数化为】 1.D1C3B+.A59k53,28r=-n 口字库核 2b3 度室绿学 1-2解一一学 【例，行名生，帮偶瑞意，有子+士十号 【例】解，西心是元一次方程 即学零挥 a￥江-子.4a解1-L 十= 课祭精峰 LU玉0生2阳 0解a1=0,》1发==8 目学运 4C式解，设家里有个人由意得.8十3=4一2 1.D 2A 3D 4D 5 (2-10 (35v 【例2】解：3一机 1从释，(：2M三子3m=一1=一子 误外规塔 长1(23过 即学周运 L51》人时4A5,36=-3 无.等或的系水作质13出一士离边不啊时静技x,面为，可工D4(解口手 第一1常上-号 专题训练一解一元一次方程 2+=2②--8由-+4 害是0 【例31呢：=一元 装10第期：(1-3：》4= 1,1等5一1字新=年好一 的学年体 %1+6-+酒 解a>A 4单，上33解上0 %-口)s-城 生翻，山=不泽为后的解，西■一1不量原为和的解， 新，不使以等式一一测十与年到调一兰气国为 上w--4四第-1这口第-票 【例们解：这个情位数是 0(1解：设应以乙国骨甲纸问自像：明据莲童斜：1十 山一十有可脱与息反过未同为如一1在分对的位置，其值则率需道 44)解：x=2流-0(B1解：女一1月=0.= 不等子，月根曙等式的推质2可程 有厘：学权取天这偶种术果各层千克和1语千直 12D线的论4解，的一如+5=1 专题训练二含参数的一元一次方程 (它解：2丝们这次酷行线痛长为知，限据夏，图区十 国外棒峰 第2课时移项与系数化为 1B上新1心+8互-1z=号2-94 1A2B玉-1k朝比一L玉折话的m为 南 课前优学 玉解n=1. (解：设流心或区鲜月标准用水量是F立方米，保圆意得1.支变符号 6:元山92莹光子 1,解：11m=2:22n一n=1: 1.3r+之12-日=L 课量导学 2a6--28m- 装解：(1w=12)演方型正确的解是，=1 【NI1H 3.明绳子醇来上米，测可刚为W 等学即储 口前，2=一以4解行=手.瓶解=收 第3课时一元一次方程的篇单应周 ”,] 1.A 山.解口用年耳辆无人海袋品程车的横计攻装贵得是5课有优学 【钢课，江=2止=宁 1数候关系2.阳A1》未知数>数候等隆方型 2明发装的无人列驶出祖车是势辆 5.2解一元一次方程 周学期莲 t2.B1线2.14解：(1u一11辆 课量界学 5.2.1等式的性质与方程的简单变形 土1解，江=L(g期d=a土(3解r=一宁 【州1解：全校官传三学生有人，校暖三刻学生有如人， 2山厚方型的解为：一一 减一 (期x一名 . 第1课时等式的基本性质与方程的变形规则【例指4一一战一一生 第2课制用去分母法解一元一次方程 玉.解：1吴慎的黄瓜是如千克，面千易0千克 耳学回体 国南优学 灌前使学 2)不端的黄不和首子一—共间雕10元 上月个骑可-个整式+：6一：时个数。上支直1子立解，原方型1：一1-+江的期为：=吃 上量不公信数零式的琴本臂质望 【例1解，甲，乙构只原老计刚有新人制18人 2.1括944)系数化为 犀学自修 2具个数同个是式问一个不等干的粒 课外精陈 通度得学 B2cC4c&16号元-青 国案得学 【例】缩11一)，根据等式的基本生期，(2山，根据等 【倒1】W,1y=-票2-6r=8 4解：史发拜1名工人生户集栓，1号名工人生产埋相-才健相 生产的辉栓利解州好配兼 式的茶本性减1：)一等-型据等式能基本性魔1)c, 鬼1-2解3解-1。期4- 划学库练 昏学相体 根据等式的搭车性蓝 解：买羊人数为人价为师 195 196