精品解析：安徽省六安市金安区2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024学年秋学期九校联盟第一次联考 数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 已知那么下列比例式中成立的是（） A. B. C. D. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线沿着y轴向下平移一个单位后，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，相似比为，且的周长为15，则的周长为（ ） A. 1 B. 45 C. 5 D. 30 7. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图像与x轴交于两点，且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D在上，过点D作交于点E，交于点F，若，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 11. 在正方形网格中，在网格中的位置如图，则_______． 12. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 13. 如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________． 14. 如图，点E是矩形边上的一点，将沿直线折叠得到，且点F恰好落在边上．请完成下列探究： （1）若，则_______°； （2）若，则的值是______． 三、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中作出关于x轴成轴对称的图形，请在图中画出； （2）以原点O为位似中心，在网格中作出的位似图形使得与的相似比为． 四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若． （1）求的长； （2）求的正切值． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出使成立的x的取值范围； 五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 已知：如图，中，点D在边上，，与分别相交于点F、G，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 测量两幢教学楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角，楼顶的仰角； 步骤三】利用皮尺测出米，米． 测量图示 解决问题1 根据以上测量数据，利用三角函数知识求出楼的高度． 解决问题2 根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶，之间的距离． 备注说明 其中测角仪米，测角仪底端M与楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 参考数据 请你帮助兴趣小组解决以上问题1和问题2． 七、（本题满分12分） 22. 【问题背景】如图（1），点E为正方形边中点，连接交于点M，试求的值； 【问题探究】如图（2），正方形的边长为4，E、F分别为的中点，连接交于点N，试求的长度； 【问题拓展】如图（3），在【问题探究】的条件下，连接交于点O，连接，试求的长度． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，，，抛物线C的函数表达式为：（a，b是常数，） （1）若抛物线经过A、B两点，求函数表达式； （2）若抛物线只经过A点且对称轴为直线，求该二次函数的最大值； （3）如果抛物线经过点，，三点，若对于，，都有，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年秋学期九校联盟第一次联考 数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 已知那么下列比例式中成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质知识点，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质并能灵活运用它将等式进行变形． 根据比例基本性质“两外项之积等于两内项之积”，对各选项逐一进行分析，看哪个选项变形后能得到． 【详解】A、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误； B、由，根据比例的基本性质可得，符合已知条件，所以该选项正确； C、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误； D、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误． 故选：B． 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3. 将抛物线沿着y轴向下平移一个单位后，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象平移规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线沿着y轴向下平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是， 故选：D． 4. 已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，将代入反比例函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数，点在图象上， ∴， 故选：A． 5. 已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求得抛物线对称轴为直线，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大， ∵点离对称轴最远，点离对称轴最近， ∴． 故选：D． 6. 已知，相似比为，且的周长为15，则的周长为（ ） A. 1 B. 45 C. 5 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，相似比为，且的周长为15， ∴的周长为， 故选：B． 7. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，由坡度的概念可得米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵堤高米，迎水坡的坡比为， ∴， ∴米， ∴米， 故选：C． 8. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意利用相似三角形判定及性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A正确， ∵， ∴，B错误， ∵， ∴，C错误， ∵， ∴，D错误， 故选：A． 9. 二次函数的图像与x轴交于两点，且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象得结论． 【详解】解：如图， 根据题意得，当时，， 即， ， 故选项A正确，不符合题意； ∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C错误，符合题意；选项D正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在中，，点D在上，过点D作交于点E，交于点F，若，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，根据，设，证明，列出比例式，求出，根据，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 11. 在正方形网格中，在网格中的位置如图，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求角的余弦值，作于，设小正方形的边长为，则，，由勾股定理可得，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于， ， 设小正方形的边长为，则，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 13. 如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若面积为20，则k的值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， 线段经过原点， 由双曲线的对称性可知，点坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 14. 如图，点E是矩形的边上的一点，将沿直线折叠得到，且点F恰好落在边上．请完成下列探究： （1）若，则_______°； （2）若，则的值是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质和锐角三角函数的综合应用，熟练掌握折叠的性质和锐角三角函数是解题的关键， （1）利用折叠的性质可得，在中，根据，利用锐角三角函数，从而得到，即可推出； （2）由于四边形是矩形，可得，，再由折叠性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得：，根据题意可得，可得，分别进行计算即可得到的值． 【详解】（1）解∵四边形是矩形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠得到， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形 ∴，， ∵折叠得到， ∴， ∵， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴． 三、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查特殊值三角函数，实数计算．根据题意分别求出三角函数特殊值，再从左到右进行计算． 【详解】解：， ， ． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中作出关于x轴成轴对称的图形，请在图中画出； （2）以原点O为位似中心，在网格中作出的位似图形使得与的相似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以得到的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示 四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出、的长度，本题属于中等题型． （1）根据余弦的定义可求出，再根据勾股定理可得出，然后根据线段的和差即可得出答案； （2）过点A作于点F，由于D是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 过点A作于点F， ， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， ． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出使成立的x的取值范围； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求函数解析式，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【小问1详解】 解：∵点两点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数； 即． 又∵点两点在一次函数的图象上， ， 解得， 则该一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：根据图象可知使成立的x的取值范围是或． 五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 已知：如图，在中，点D在边上，，与分别相交于点F、G，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）根据得到，，即可证明； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，则，进而证明，即． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法； （1）设y关于x的函数表达式为，把代入上式得，即可求解； （2）令，解方程，可求出该女生的成绩，即可求解； 理解和的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为， 把代入上式得， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：该女生在此项考试中没有得满分． 理由：令， 即， 解得，（舍去）， ， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 六、（本题满分12分） 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 测量两幢教学楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角，楼顶的仰角； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 测量图示 解决问题1 根据以上测量数据，利用三角函数知识求出楼的高度． 解决问题2 根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶，之间的距离． 备注说明 其中测角仪米，测角仪的底端M与楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 参考数据 请你帮助兴趣小组解决以上问题1和问题2． 【答案】问题1：CD楼的高度为51米；问题2：两幢楼楼顶B，D之间的距离约为米； 【解析】 【分析】本题考查解直接三角形的应用，勾股定理等．问题1根据题意得米，米，再由，继而得到本题答案；问题2根据题意得米，再由三角函数得米，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：问题1：在中，米，米， （米）， （米）， 答：楼的高度为51米； 问题2：过点作，垂足为， ， 由题意得：米，米， （米）， 在中， （米）， 米， 由问题1中知米， （米）， 在中， （米）， ∴两幢楼楼顶B，D之间的距离约为米． 七、（本题满分12分） 22. 【问题背景】如图（1），点E为正方形边的中点，连接交于点M，试求的值； 【问题探究】如图（2），正方形的边长为4，E、F分别为的中点，连接交于点N，试求的长度； 【问题拓展】如图（3），在【问题探究】条件下，连接交于点O，连接，试求的长度． 【答案】【问题背景】；【问题探究】；【问题拓展】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明得，再都同即可； （2）延长AD、BF交于点H，可得，证明可得结论； （3）分别证明，可得结论． 【详解】问题背景 解：∵为正方形 ∵E为中点 问题探究 解：延长交于点H，可得 ∵为正方形 问题拓展 解：由可得 由得 即：， ，即 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，，，抛物线C的函数表达式为：（a，b是常数，） （1）若抛物线经过A、B两点，求函数表达式； （2）若抛物线只经过A点且对称轴为直线，求该二次函数的最大值； （3）如果抛物线经过点，，三点，若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）7 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得解； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得：， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴， ∴当时，． 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点，两点， 抛物线的对称轴是直线； ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， ， 又， ； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 此时， 解得， 又， ； 综上，当或时，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$