第2章 相交线与平行线 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(北师大版2024)

第二章相交线与平行线 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 4知识梳理 区知识点1相交线与平行线的概念 1.在同一平面内两条直线的位置关系：相交和平行。 归纳总结 2.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相 平行线必须满足的条件 交线。 3.平行线：在同一平而内，不相交的两条直线叫作平行线。 都是 在同一 不相 区知识点2对顶角的概念及性质 直线 平面内 交 我们把两条直线相交所构成的 么归纳总结 四个角中，有公共顶点且角的 位置关系 数量关系 对顶角的两个关键点 概念 两边互为反向延长线的两个角 对项角 ∠1=∠2 叫作对顶角 顶点 性质 对顶角相等 两个角 两个角的两边 《知识点3补角、余角的概念及性质 是否有 是否分别互为 公共顶 反向延长线 概念 性质 点 如果两个角的和是180°，那么 补角 同角（或等角）的补角相等 称这两个角互为补角 个易错提示 如果两个角的和是90°，那么称 (1)互余、互补都是指两个角之 余角 同角（或等角）的余角相等 这两个角互为余角 间的数量关系，与它们的 位置无关： 区知识点④垂直的概念及表示 (2)三个或三个以上的角的和 是90°或180°，则不能说这几个 文字语言 符号语言 图示 角互为余角或互为补角。 两条直线相交成四个角， 如果有一个角是直角，那 如图，直线AB与直 归纳总结 么称这两条直线互相垂 线CD相交于点O, (1)垂线定义的双重性：知线垂 直，其中的一条直线叫作 若∠BOD=90°，则 另一条直线的垂线，它们 AB⊥CD,垂足为O 直得直角：知直角得线垂直： 的交点叫作垂足 (2)垂直是两条直线相交的特 殊情况，特殊在夹角为90°； 知识点⑤垂线的画法 (3)垂直的定义也可以用来判 平面内，经过一，点画已知直线的垂线，通常有两种画法： 断两直线互相垂直，即已知夹 角为直角也可以得到两直线垂 具体画法 步骤 直； 用三角尺画 用量角器画 (4)垂直是两直线相互位置关 让三角尺的一条直角边 系，a⊥b也可以写成b⊥a。 将量角器的90°刻度线与已知 落 落在已知直线上，使其与 直线重合 已知直线重合 课堂解惑 ZBB七年级数学下册 沿已知直线移动三角尺， 二移 使其另一条直角边经过 沿已知直线移动量角器，使量 马图示 角器的底边经过已知点 已知点 过点P画直线l的垂线： 沿与已知直线不重合的 沿量角器的底边画直线，这条 直角边画直线，则这条直 三画 直线就是过已知，点所画的已知 线就是过已知点所画的 点P在定线/外点P在直线I上 已知直线的垂线 直线的垂线 区知识点6垂线的性质 性质1 性质2 点P在直线外点P在立线上 同一平面内，过一点 直线外一点与直线上各点连 △易错提示 内容 有且只有一条直线与已知 接的所有线段中，垂线段最短 直线垂直 连接直线外一点与直线上各点 有无数条线段，但垂线段只有 区知识点7点到直线的距离 一条，并且最短。 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B,线段AB 公注意 的长度叫作，点A到直线【的距离。 点到直线的距离是指垂线段的 长度，是一个数值，而不是垂线 4经典例题分析 段。 题型1角度的相关计算 变式8如图所示，直线AB,CD, 例I:如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足 EF相交于点O,AB⊥CD, C ∠AOF=3∠FOB,则∠EOC的 为O。若∠BOC=2∠AOC,求∠DOE的度数 度数是() 解：因为LA0C+LB0C=180,∠BOC=0D 2∠A0C,所以∠AOC+2∠AOC=180°，所以∠A0C=60°，所 以∠BOD=∠AOC=60°。因为E0⊥AB,所以∠BOE=90°。 所以∠EOD=∠BOE+∠BOD=150°。 B 方法指导：在两条直线相交中，一定会存在对顶角和平角， A.30°B.45°C.60°D.75 解题时要善于挖掘，并利用它们的性质进行计算。如本题 中∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠A0OC+∠B0C=180°。 题型2垂线的性质的应用 方法点拨 例2：如图，某县交通局欲修一条公路，从A村庄到B村庄，再通往 最短距离问题 公路MN,以便于村民出行，如果你是该局的负责人，应该怎 点到点 点到直线 样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由。 的距离 的距离高 两点之间， 垂线段 线段最短 最短 (04 解：如图所示，连接线段AB,理由是：两点之间，线段最短： 过点B作BO⊥MN于点O,理由是：垂线段最短。 9 第二章相交线与平行线 2探索直线平行的条件 知识梳理 区知识点1认识同位角、内错角、同旁内角 四巧学妙记 概念 图示 同 直线a,b被直线I所裁，∠1与∠5分 位 别在直线a,b的同侧，并且都在 根据手势识别同位角（两大拇指 角 直线！的同侧，具有这样位置关系的 3 56 所在直线代表被截直线，食指所 角称为同位角 在直线代表截线)。 内 直线a,b被直线I所截，∠3与∠5在 87 错 直线a,b之间，并且在直线l的两侧， 同位角：∠2与∠6， 角 具有这样位置关系的角称为内错角 ∠4与∠8，∠3与 同旁 直线a,b被直线l所截，∠4与∠5在 ∠7： 直线a,b之间，并且在直线l的同侧， 内错角：∠4与∠6： 根据手势识别内错角（两大拇指 内角 具有这样位置关系的角称为同旁内角 同旁内角：∠3与∠6 所在直线代表被截直线，食指所 在直线代表截线)。 知识点2两条直线平行的条件 内容 图示 符号语言 1 条件1 同位角相等，两 B 如图，如果∠1=∠2，那么 根据手势识别同旁内角（两大 直线平行 人2 D AB∥CD 拇指所在直线代表被截直线， 食指所在直线代表截线)。 条件2 内错角相等，两 B 如图，如果∠1=∠2，那么 直线平行 2 AB∥CD 么归纳总结 (1)要判定两条直线平行，首先 条件3 同旁内角互补， B 如图，如果∠1+∠2= 要找到截这两条直线的直线 两直线平行 180°，那么ABCD (有时需构造直线)，再寻找同 位角、内错角或同旁内角，最后 区知识点3过直线外一点画已知直线的平行线 根据两直线平行的条件进行判 1.已知直线AB和直线AB外一点P,利用直尺、三角板画直线 断： AB的平行线 (2)两条直线平行的条件，由角 的数量关系判定两条直线的位 步骤 内容 图示 置关系。 P 一落 把三角尺的一边落在已知直线上 罗B 二靠 用直尺繁靠三角尺的另一边 三推 沿直尺推动三角尺，使三角尺与 一归纳总结 已知直线重合的边过已知，点 平行线画法的依据是两条直线 平行的条件1“同位角相等，两 四画 沿三角尺过已知点的边画直线 直线平行”。 课堂解惑 ZBB七年级数学下册 2.已知直线AB和直线AB外一点P,利用尺规画直线AB的平行线 作法 示范 1.在直线AB上任取一点O,过点O,P作直 线CD 2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD 的右侧作∠DPN=∠DOB: PN边所在的直线MN就是要作的直线 △注意 知识点4平行公理及其推论 在同一平面内，如果一条直线 1.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这 与一组平行线中的一条直线相 条直线平行。 交，那么它与这组平行线的其 2.平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线 余直线都相交。 平行。也就是说：如果a%,a∥c,那么b∥c。 经典例题分析 方法点拨 从“三线八角”中确定两角的位 题型1“三线八角"的识别 置关系时一定要从两同、问侧、 例1：如图所示，下列结论中正确的是( 问同入手分析。需注意：载线 A.∠1和∠2是同位角 是两角的公共边所在的直线。 B.∠2和∠3是同旁内角 C.∠1和∠4是内错角 变式9如图所示，能说明AB∥ D.∠3和∠4是对顶角 DE的有() 答案：B ①∠1=∠D:②∠CFB+∠D= 题型2平行线的判定 180°：③∠B=∠D:④∠BFD= 例2：如图，为判断一段纸带的两边a,b是否平行，小明在纸带两 ∠D. 边a,b上分别取点A,B,并连接AB。下列条件中，能得到a A.1个 %的是() B.2个 C.3个 A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 D.4个 C.∠1+∠4=180° D.∠1+∠3=180° 答案：D 题型3)利用平行线的判定进行推理论证 方法点拨 例3：如图，已知∠BED=∠B+∠D,试判断AB与CD的位置关 过拐点作平行线是解决凸、凹 系，并说明理由。 角问题的最常用的方法。常用 B 的模型有以下两种： 64 6 ② 解：以BE为一边作∠BEF=∠B,延长FE,如图，因为 结论：∠1+∠3=∠2：∠4+∠5+ ∠6=3609 ∠BEF=∠B,所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)。又 因为∠BED=∠BEF+∠DEF,∠BED=∠B+∠D,所以 ∠DEF=∠D。所以EF∥CD(内错角相等，两直线平行)，所 以ABCD(平行于同一条直线的两条直线平行)。 10 第二章相交线与平行线 3平行线的性质 4知识梳理 区知识点平行线的性质 归纳总结 同位角相等 内容 图示 符号语言 两直线性质 内错角相等 1 平行到定 两直线平行， B 如图，如果AB∥CD,那么 同旁内角互补 性质1 同位角相等 ∠1=∠2 (位置关系)（数量关系） 性质2 两直线平行， 如图，如果AB∥CD,那么 内错角相等 ∠1=∠2 两直线平行 如图，如果AB∥CD,那么 性质3 同旁内角互补 ∠1+∠2=180 经典例题分析 网方法点拔 题型1利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质求角度的解 例I:如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点 题要点： E、F,EG平分∠BEF,如果∠EFG=64°，那 (1)找出已知角与未知角之间 么∠EGCD的大小是() 的关系： (2)注意题目中的角平分线、垂 A.122°B.124° C.120°D.126 线以及对顶角所涉及的角之间 【解析】因为AB∥CD,∠EFG=64,所以∠BEF=180°- 的数量关系。 ∠EFG=1I6°。因为EG平分∠BEF交CD于点G,所以 ∠BEG=2∠BEF=58。图为AB/CD,所以LBGD= 180°-∠BEG=122°。 答案：A 例2：已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图 的方式放置，其中A,B两点分别落在直线m,n上，若∠1= 20°，则∠2的度数为() A.20° B.30 C.45 D.50 答案：D 题型2)平行线的性质与判定的综合 例3：如图，已知AB∥CD,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD。试 说明：BE∥CF。 1 解：因为AB∥CD,(已知) 所以∠ABC=∠BCD。( 因为BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD,(已知) 课堂解惑 ZBB七年级数学下册 所以∠1= 2 ,∠2= 变式1O如图，已知FG⊥AB, 所以∠1=∠2。 ∠1=∠2，∠B=∠AGH,则下列 所以BE∥CF。( 结论错误的是( 答案：两直线平行，内错角相等ABC DCB 角平分线的 定义内错角相等，两直线平行 例4：如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CEA 于点0，∠1=∠B,∠A+∠2=90°，试说明： A.GH//BC AB∥CD。 F D B.DE∥FG 解：因为AF⊥CE,所以∠AOE=90°。又因为∠1=∠B,所 C.HE平分∠AHG 以CE∥BF,所以∠AFB=∠AOE,所以∠AFB=90°。又因为 D.HE⊥AB ∠AFC+∠AFB+∠2=180°，所以∠AFC+∠2=90°。文因为 ∠A+∠2=90°，所以∠A=∠AFC,所以AB∥CD 题型3含“拐点”的平行线问题 四知识拓展 例5：已知直线a∥b,将一块含30°角的直角三角板（∠BAC= 含“拐点”问题中常见的辅助线 30)按如图所示方式放置，并且顶点A,C分别落在直线a, 类型及相关结论： b上，若∠1=22°，则∠2的度数是( ）b27 图形 结论 A.38 B.45° B -B ∠A+∠C+ C.58 D.60 -D ∠AEC=3609 【解析】过点B向右作BD∥a,所以LABD=∠1=22。 因为ab,所以BD∥b,所以∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD ∠A+∠C= =60°-22°=38°。 D LAEC 答案：A 例6：如图1，AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线 ∠A-∠C= (1)试说明：∠EOF=∠BEO+∠DFO: ∠AEC (2)如果将折一次改为折二次，如图2，试探究∠BE0、 ∠EOP、∠OPF与∠PFC之间的数量关系，并说明理由。 B ∠BEF+∠DGF E B & =∠B+∠EFG D +∠D 图1 图2 解：(1)过点O向左作OM∥AB,所以∠MOE=∠BEO。因为 AB∥CD,所以OM∥CD,所以∠MOF=∠DFO,所以∠MOE+ ∠MOF=∠BEO+∠DFO,即∠EOF=∠BEO+∠DFO: (2)∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF。理由如下：过点O向 左作OM∥AB,过点P向右作PN∥CD。因为AB∥CD,所以 OM∥PN∥AB∥CD,所以∠EOM=∠BEO,∠MOP=∠OPN, ∠NPF=∠PFC,所以∠EOM+∠MOP+∠PFC=∠BEO+ ∠OPN+∠NPF,所以∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF。 12《课堂解惑》答案 变式1：解：因为2m=(2)5=165,35=(33)5= 变式12：3【解析】连接AE,CD,设Sa=m,因为 275,且16<27.所以210<35。 BD=2AB,所以S△cn=2m,S△m=3m。因 变式2：解：a=a“÷a“=(a)3÷(a)=643÷16= 为AC=AF,所以SAAm=S△r=3m。因为 (2)3÷(24)‘=28÷26=22=4。 EC=3BC,所以SEe=3m,S△se=6m。因 变式3：-13【解析】(x+5)(x-2)-2x(x+1)=x2+ 为AC=AF,所以SAr=SAc=3m,所以 3x-10-(2x2+2x)=x2+3x-10-2x2-2x=-x2+ S么wr=m+2m+6m+3m+3m+3m=18m=54, x-10,因为x2-x-3=0,所以x2-x=3,所以原 所以m=3,所以S△4c=3。 式=-(x2-x）-10=-3-10=-13。 变式13：10°【解析】因为AD平分∠BAC,∠BAC= 变式4：-2【解析】(x+m)·(x2+2x-1)=x+2x2-x 80°，所以∠BAD=40°。又因为AE⊥BC, +mx2+2mx-m=x3+(2+m)x2-(1-2m)x-mo ∠B=40°，所以∠BAE=50°，所以∠DAE= 因为x+m与x2+2x-1的乘积中不含x的二 ∠BAE-∠BAD=50°-40°=10° 次项，所以2+m=0,解得m=-2。 变式14：B【解析】因为四边形ABCD是长方形，所 变式5：甲、乙、丙 以∠D=90°。由折叠可得△ADE≌△AFE, 11 变式6：24 【解析】因为(x-m)2=x2-2mx+m2 所以∠EFA=∠D=90°，∠AEF=∠AED。因 为∠AEF+∠AED+∠FEC=180°，∠FEC= 三2++a,所以-2m=1,m2=a,解得m三2， 60°，所以LAEF=21809-∠FEC)=60, 。1 所以∠EAF=90°-∠AEF=30°。故选B。 变式15：35°【解析】因为∠1=∠2，所以∠1+ 变式7：C【解析】设原正方形草坪的边长为am,则 ∠CAD=∠2+∠CAD,所以∠CAB=∠EAD 面积为a'm:将正方形草坪的南北方向增加 AB=AD 3m,东西方向缩短3m后，得到的长方形草坪 在△ABC和△ADE中，{LCAB=∠EAD,所 的长和宽分别为(a+3)m,(a-3)m,面积为 AC=AE (a2-9)m2。故进C。 以△ABC≌△ADE(SAS),所以∠B=∠D, 变式8：B【解析】设∠FOB=x,则∠AOF=3x。由 因为AB∥DE,所以∠D=∠1。因为∠B= 题意，可得x+3x=180°，解得x=45°。即 ∠D,所以∠B=∠1=35°。 ∠FOB=45°。由对顶角相等，得∠AOE= 变式16：A ∠F0B=45°。因为AB⊥CD,所以∠A0C= 变式17：①②③④【解析】因为AB=AC,AD是 90°，所以∠E0C=∠AOC-∠A0E=45°。故 ∠BAC的平分线，所以AD垂直平分BC,所 远B。 以BD=CD,AD⊥BC,所以AD上任意一点 变式9：C【解析】①因为∠1=∠D,所以AB∥DE 到点C和点B的距离相等，故①③正确：因 (同位角相等，两直线平行)：②因为∠CFB 为AD是∠BAC的平分线，所以AD上任意 ∠AFD(对顶角相等)，文因为∠CFB+∠D= 一点到AB,AC的距离相等，故②正确：因 I80°，所以∠AFD+∠D=180°，所以AB∥DE 为AB=AC,所以∠B=∠C,又因为∠BDE= (同旁内角互补，两直线平行)：③中的∠B= 90°-∠B,∠CDF=90°-∠C,所以∠BDE= ∠D无法说明AB∥DE;④因为∠BFD=∠D, ∠CDF,故④正确：综上所述，结论正确的 所以AB∥DE(内错角相等，两直线平行)：所 是①②③④ 以①②④都能说明AB∥DE。故选C。 变式18：8 变式10：C 变式19：④【解析】根据题意，得苹果下落过程中 变式：号 速度均匀增加，故可以用④来表示。 —32-