第1章 整式的乘除 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(北师大版2024)

《课堂解惑》答案 变式1：解：因为2m=(2)5=165,35=(33)5= 变式12：3【解析】连接AE,CD,设Sa=m,因为 275,且16<27.所以210<35。 BD=2AB,所以S△cn=2m,S△m=3m。因 变式2：解：a=a“÷a“=(a)3÷(a)=643÷16= 为AC=AF,所以SAAm=S△r=3m。因为 (2)3÷(24)‘=28÷26=22=4。 EC=3BC,所以SEe=3m,S△se=6m。因 变式3：-13【解析】(x+5)(x-2)-2x(x+1)=x2+ 为AC=AF,所以SAr=SAc=3m,所以 3x-10-(2x2+2x)=x2+3x-10-2x2-2x=-x2+ S么wr=m+2m+6m+3m+3m+3m=18m=54, x-10,因为x2-x-3=0,所以x2-x=3,所以原 所以m=3,所以S△4c=3。 式=-(x2-x）-10=-3-10=-13。 变式13：10°【解析】因为AD平分∠BAC,∠BAC= 变式4：-2【解析】(x+m)·(x2+2x-1)=x+2x2-x 80°，所以∠BAD=40°。又因为AE⊥BC, +mx2+2mx-m=x3+(2+m)x2-(1-2m)x-mo ∠B=40°，所以∠BAE=50°，所以∠DAE= 因为x+m与x2+2x-1的乘积中不含x的二 ∠BAE-∠BAD=50°-40°=10° 次项，所以2+m=0,解得m=-2。 变式14：B【解析】因为四边形ABCD是长方形，所 变式5：甲、乙、丙 以∠D=90°。由折叠可得△ADE≌△AFE, 11 变式6：24 【解析】因为(x-m)2=x2-2mx+m2 所以∠EFA=∠D=90°，∠AEF=∠AED。因 为∠AEF+∠AED+∠FEC=180°，∠FEC= 三2++a,所以-2m=1,m2=a,解得m三2， 60°，所以LAEF=21809-∠FEC)=60, 。1 所以∠EAF=90°-∠AEF=30°。故选B。 变式15：35°【解析】因为∠1=∠2，所以∠1+ 变式7：C【解析】设原正方形草坪的边长为am,则 ∠CAD=∠2+∠CAD,所以∠CAB=∠EAD 面积为a'm:将正方形草坪的南北方向增加 AB=AD 3m,东西方向缩短3m后，得到的长方形草坪 在△ABC和△ADE中，{LCAB=∠EAD,所 的长和宽分别为(a+3)m,(a-3)m,面积为 AC=AE (a2-9)m2。故进C。 以△ABC≌△ADE(SAS),所以∠B=∠D, 变式8：B【解析】设∠FOB=x,则∠AOF=3x。由 因为AB∥DE,所以∠D=∠1。因为∠B= 题意，可得x+3x=180°，解得x=45°。即 ∠D,所以∠B=∠1=35°。 ∠FOB=45°。由对顶角相等，得∠AOE= 变式16：A ∠F0B=45°。因为AB⊥CD,所以∠A0C= 变式17：①②③④【解析】因为AB=AC,AD是 90°，所以∠E0C=∠AOC-∠A0E=45°。故 ∠BAC的平分线，所以AD垂直平分BC,所 远B。 以BD=CD,AD⊥BC,所以AD上任意一点 变式9：C【解析】①因为∠1=∠D,所以AB∥DE 到点C和点B的距离相等，故①③正确：因 (同位角相等，两直线平行)：②因为∠CFB 为AD是∠BAC的平分线，所以AD上任意 ∠AFD(对顶角相等)，文因为∠CFB+∠D= 一点到AB,AC的距离相等，故②正确：因 I80°，所以∠AFD+∠D=180°，所以AB∥DE 为AB=AC,所以∠B=∠C,又因为∠BDE= (同旁内角互补，两直线平行)：③中的∠B= 90°-∠B,∠CDF=90°-∠C,所以∠BDE= ∠D无法说明AB∥DE;④因为∠BFD=∠D, ∠CDF,故④正确：综上所述，结论正确的 所以AB∥DE(内错角相等，两直线平行)：所 是①②③④ 以①②④都能说明AB∥DE。故选C。 变式18：8 变式10：C 变式19：④【解析】根据题意，得苹果下落过程中 变式：号 速度均匀增加，故可以用④来表示。 —32-第一章整式的乘除 第一章整式的乘除 1幂的乘除 4知识梳理 区知识点1同底数幂的乘法 胶拓展 (1)推广：a"·a·d=am+7 法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 (m,n,p都是正整数)： 公式 am·a”=am"(m,n都是正整数) (2)逆用：a"=a”·a(m,n都 指放相加 是正整数)。 示例 4·g=g=u 底数不变 区知识点2幂的乘方 △注意 同底数幂的乘法与幂的乘方的 法则 暴的乘方，底数不变，指数相乘 相同点与不同点 公式 (a")=a“(m,n都是正整数) 相同点：底数不变： 指数相泰 不同点：同底数幂的乘法是指 示例 (g= 数相加，幂的乘方是指数相乘。 底数不变 区知识点3积的乘方 个易错提示 积的乘方中，积中的每个因式 法则 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把 都要乘方，不要漏掉任何一个 所得的暴相乘 因式：要注意系数连同它的符 公式 (ab)"=a"b"(n是正整数) 号一起乘方，尤其当系数是-1 n 时，不可忽略。 示例 (2y}=2'×y3=8y ab 《知识点4同底数幂的除法 拉拓展 法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减 (1)推广：a"÷a”÷d=a四 (a≠0，m,n,p都是整数)： 公式 a÷a=a"(a≠0，m,n都是整数) (2)逆用：am"=a"÷a(a≠0， 指数相减 m,n都是整数)。 示例 底数不变 么归纳总结 当m,n是正整数，a≠0时， 区知识点⑤零指数幂和负整数指数幂 a=1(m=n） 1.零指数幂：任何不等于0的数的0次暴都等于1：即 a°=1(a≠0)。 a÷a={am"= a(m<n)。 2.负整数指数幂：任何不等于0的数的-p(p为正整 la""(m>n) 课堂解惑 乙BB七年级数学下册 数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数：即a7=一(a≠0，p是 方法点拔 n的确定方法 正整数)。 ①n的绝对值等于这个数左起 知识点6用科学记数法表示小于1的正数 第一个非零数字前所有零的个 一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10°的形式，其中1≤a 数（包含小数点前面的那个 <10,n是负整数。 零)：②小数点向右移动几位， 4经典例题分析 Inl就等于几。 题型1幂的混合运算 吗方法点拨 例1：计算：(1)(x3)2+(x2)3+2x: 求解幂的混合运算的方法 (2g.(3(3。 对于暴的混合运算问题，先判 断符号，再根据相关运算颖序、 解：(1)原式=x°+x+2x6=4x6: 运算性质进行计算。负数的偶 （2)原式-5ny名r-0 25 25x÷9x2y2=3x332。 次幂是正数：互为相反数的两 数的同一偶数次暴相等，同一 题型2幂的运算性质的逆用 奇数次幂互为相反数。 例2：已知3”=m,27=n,a,b均为正整数，则32a+为( 一么归纳总结 A.mn2 B.m'n C.3m2n2 D.m2n2 在幂的运算中，常用到以下变 【解析】因为3“=m,27=n,所以3“=m,3“=n,所以32如+6 形： =32×30=(3)2×(36)2=m2n2 (-a)= a(n为正得数) 答案：D -0(n为正奇数) ((b-a)(n为正偶数) 例3：若A=3,B=43,则A、B的大小关系是A B。(填 (a-b) -(b-a)"(n为正奇数) “>”、“<”或“=”) 变式：比较2与35的大小。 【解析】因为A=34=81Ⅲ，B=43=64Ⅲ，所以A>B。 答案：> 方法点拨：比较幂的大小时，要注意将数化成同底数幂进行 比较或者化成同指数幂进行比较。 题型3同底数幂的除法的逆用 例4：已知3=2,3'=3，则9的值为( 9 c号 03 变式2已知a”=64,a=16,求 "2 a的值。 【解析197=9÷9=(3)2(3)2=22÷32=4 答案：A 题型4)用科学记数法表示小于1的正数 例5：在一张中国地图上，郑州市到淄博市的直线距离为5.56cm, 即0.0000556km,则0.0000556用科学记数法可表示 为 答案：5.56×10 第一章整式的乘除 2整式的乘法 4知识梳理 区知识点1单项式与单项式相乘 △注意 (1)只在一个单式里含有的 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的 字母，要连同它的指数写在积 法则 暴分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积 中，不能把这个因式遗漏： 的因式。 (2)非零单项式乘以多项式所 得的积的项数与因式中多项式 2x24y=(2×4)(x2·x）·y=8x 示例 的项数相同。 系数相乘 同底数暴相乘 区知识点2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘 法则 多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式表示 m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式) △易错提示 区知识点3 多项式与多项式相乘 计算时，应注意以下三点： (1)不重不漏，尤其是不要漏乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 不含字母的项： 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (2)注意符号； (3)最后的结果中有同类项的 公式表示 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a,b,m,n都是单项 式) 必须合并同类项。 经典例题分机 变式3如果x2-x-3=0,那么代 数式(x+5)(x-2)-2x(x+1)的 题型1D整式的混合运算 值是 例1：计算：(3x+1)(x-3)+4(2x-1) 解：原式=3x2-9x+x-3+8x-4=3x2-7。 例2：先化简，再求值：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2。 解：原式=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a,当a=-2时， 变式4若x+m与x2+2x-1的 原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-98 乘积中不含x的二次项，则实 题型2)利用整式的乘法求字母的值 数m的值为 例3：如果(x-1)(x+2)=x2+mx-2,则m的值是 答案：1 题型3)整式乘法的应用 例4：如图，有多张长方形和正方形的卡片，图1是选取了2张不 同的卡片拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同 3 课堂解惑 ZBB七年级数学下册 表示方法可以用来验证等式a(a+b)=a2+ab成立，根据图 变式5如图，甲、乙、丙、丁四位 2,利用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等 同学给出了四种表示该长方形 面积的多项式： b 甲：(2a+b)(m+n): 乙：2a(m+n)+b(m+n): 丙：m(2a+b)+n(2a+b): 丁：2am+an+bm+bn: 图1 图2 你认为其中正确的有 答案：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 3乘法公式 ☑知识梳理 区知识点1平方差公式 个注意 运用平方差公式的关健是确定 用字母表示公式 (a+b)(a-b)=a2-b 公式中的a和b,完全相同的一 语言叙述 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 项是a,符号相反的一项是b。 公式中的a,b既可以是单项 (1)等号左边是两个二项式相乘，并且这两 式，也可以是多项式。 个二项式中有一项完全相同，另一项互为相 特点 反数； (2)等号右边是相同项的平方减去相反项的 平方 平方差公式的常见变形 （1)位置变化：(b+a)(-b+a)=a2-b2; (2)符号变化：(-a-b)(a-b)=b2-a2: (3)指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=a-b: (4)增项变化：(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2 知识拓展 区知识点2完全平方公式 完全平方公式的常见变形 用字母表示公式 (a±b)2=a'±2ab+b a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab: (a+b)2=(a-b)2+4ab: 语言叙述 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和 加上（或减去）它们积的2倍 (a+b)2-(a-b)2=4ab: (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2): (1)两个公式等号的左边都是一个二项式的 (a+b+e)2=a2+b2+c2+2ab+2be 平方； +2ac: 特点 (2)两个公式等号右边都是二次三项式，其 中有两项是等号左边二项式中每一项的平 +。(a+。)2-2(a0): a 方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积 的2倍 a2o*0 第一章整式的乘除 经典例题分析 题型1①利用乘法公式进行计算 技巧点拔 拆项，巧用乘法公式 例1：计算：(1)(x-2y)(x+2y)-(x-y)2; (2)599×601。 针对数的特点将一个数拆成两 解：(1)原式=x2-4y2-(x2-2xy+y2)=x2-4y2-x2+2xy-y2= 个数的和（或差）的形式，拆后 -5y2+2xy; 的数要求是整十、整百或较小 (2)原式=(600-1)×(600+1)=6002-12=360000-1= 的数，即拆成的两个数的平方 359999。 都应易于计算，如将599拆成 例2：先化简，再求值：(2a-2)(2u+2)-4a(a+2),其中a=-2。 600-1,601拆成601+1，这样就 解：原式=4a2-4-4a2-8a=-8a-4。将a=-2代入，原式= 可以减少计算量。 16-4=12. 题型2)利用完全平方公式求字母的值 变式6若(x-m)2=x2+x+a.则 例3：已知x2+2(m+1)x+25是完全平方式，则m的值为 m= 答案：4或-6 题型3)乘法公式的应用 例4：如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为 (a+2)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个 长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为( 变式7为了美化城市，经统 A.(2a2+5a）cm B.(3a+15)cm 规划，将一正方形草坪的南北 C.(4a+12）cm D.(6a+15)cm 方向增加3m,东西方向缩短 3m,则改造后的长方形草坪面 积与原来的正方形草坪面积相 比() 答案：C A.增加6m B.增加9m 归纳总结：利用数形结合求面积，关键是对同一个图形的面 C.减少9m D.保持不变 积用不同的方法表示。在计算面积时防止图形的重叠与遗 漏。 例5：如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽 度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部 分土地总面积的代数式：①(a-2b)2:②a2-4ab:③a2-4ab+ b2:④a2-4ab+462。其中正确的有( A.② B.①③ C.①④ D.④ 【解析】由平移法可得，种花土地总面积是以(a-2b)为 边长的正方形，所以种花土地总面积=(a-2b)2;因为种 花土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部分的面 积，即种花土地总面积为a2-(4ab-4b2)=a2-4ab+4b2。 所以①④正确。 答案：C 课堂解惑 乙BB七年级数学下册 4整式的除法 4知识梳理 区知识点1单项式除以单项式 归纳总结 单项式相除，把系数、同底数暴分别相除后，作为商的 单项式除以单项式的一般步 法则 因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指 骤： 数一起作为商的一个因式 确定系数：确定相同字母：确定 6.x3y÷(2x)=(6÷2)(x2÷x)y=3xy 单独字母。 示例 系效相除 同底效暴相除 个注意 区知识点2多项式除以单项式 (1)系数部分相除时，应连同它 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除 的符号一起进行运算： 法则 以单项式，再把所得的商相加 (2)相同的两个单项式相除的 (12x-6x2)÷3x=12x3÷3x-6x2÷3x=4x2-2x 结果为1： 示例 (3)多项式除以单项式，商的项 两项分别除以3x 数与多项式的项数相同。 4经典例题分析 方法点拨 题型1整式的混合运算 混合运算顺序：先算乘方，再算 例1：计算：(1)(3a2b)2+10ab3÷(-5a2b): 乘除，最后算加减，如果有括 (2)(14a3bc+a2b3-28a2b2)÷(-7a2b)。 号，先算括号里面的。 解：(1)原式=9ab2-2ab2=7ab2: (2)原式=143b2c÷(-7a2b)+a2b3÷(-7a2b)-28a2b÷(-7a2b)= -26 题型2整式的化简求值 △注意 例2：先化简，再求值：[(3a+b)2-(b+3a)(3a-b)-6b2]÷2b,其中 (1)进行多项式除以单项式的 运算时，多项式的每一项都包 3,6=-2。 含它前面的符号，不能漏掉： (2)多项式除以单项式是单项 解：原式=(9a2+b2+6ab+b2-9a2-6l2)÷2b=(-4b2+6ab)÷2b 式乘多项式的逆运算，因此多 =-26+3,当a=号6=-2时，原式=-2x(-2)+3x(宁 项式除以单项式的结果可以用 乘法对除法进行验证。 =3。 题型3)整式除法的应用 例3：一个多项式与单项式2x2y的积为8xy3-12x2+4xy3,则 此多项式为 答案：4x3y2-6x3y+2xy 6