2.3 平行线的性质&专题 平行线中“拐点”问题作辅助线的方法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(北师大版2024)

河南专版。 ZBB·七年级数学下册 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 差梦基础全练夯实基础熟练掌握 5.生活情境·吸管杯子(3分)如图，是一款吸管 知识点①两直线平行，同位角相等 杯的截面示意图，已知AB∥CD,吸管看作一条 1.(3分)如图，直线a,b被直线c所截，ab,∠1 直线，若∠1=55°，则∠2的度数为() =60°，则∠2的度数是()》 A.105° B.115° C.120° D.125° A.120 B.60° 知识点③两直线平行，同旁内角互补 C.45 D.30 6.学科内融合(3分)如图，已知a化，小华把三 B 角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°， 则∠2的度数为( ) 人2b A.100° B.110 C.120 D.130° 第1题图 第2题图 1202 2.(3分)如图，AB∥CD,FE⊥DB,垂足为点E, 21 ∠1=50°，则∠2的度数是( 第6题图 第7题图 A.60 B.50 7.生活情境·铺设管道(3分)如图所示，要在一 C.40° D.30° 条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设 3.(3分)（运城模拟）如图，三角形ABC是一块 的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的 直角三角板，其中∠A=30°，AB,AC分别与直 角度大小应为 尺的两边交于点D.E,若∠1=35°，则∠2的 【点拨】利用平行线的性质求角的度数的一般思路： 度数是( 由两直线平行计算角度的问题，关键是弄清楚平行 线被哪条直线所截，借助“三线八角”图，识别同位 A.155 角、内错角或同旁内角，进而由两直线平行推出相 B.130 D G 关角度之间的数量关系。 C.115 追梦提升练冲刺高分拓展中考 D.100 8.跨学科试题·物理(3分)（山西中考）一只杯 知识点②两直线平行，内错角相等 子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 4.(3分)如图，直线AD∥BC,若∠1=42°，∠BAC G的方向竖直向下，支持力F,的方向与斜面 =78°，∠2的度数为( 垂直，摩擦力F,的方向与斜面平行。若斜面 A.42 B.50 的坡角x=25°，则摩擦力，与重力G方向的 C.60° D.68° 夹角B的度数为( G 第4题图 第5题图 A.155° B.125° C.115° D.650 32 第二孕相交线与平行线 河南专版 9.(3分)如图，把一张长方形的纸折叠 11.[教材习题3变式](9分)【问题提出】课堂 后，B、D两点落在B'、D'点处，若 上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个 ∠AOB'=76°，则∠CG0的度数 角的两边分别平行于另一个角的两边，那么 是()》 这两个角是什么关系？” A.52° B.50 【问题探索】为了解答李老师的问题，小明与 C.48 D.45° 小颖分别画出了下面的图形，请你根据这两 位同学画的图形，解答下列问题： (1)如图，AB∥DE,BC∥EF,则下列结论正确 的是( 第9题图 变式1题图 A.∠B=∠E 变式①【条件变式】(3分)如图，将一条对 B.∠B+∠E=180° 边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别 C.∠B=∠E或∠B+∠E=180° 为AB、CD,若CD∥BE,∠1=35°，则∠2的度 D.以上都不对 数是( (2)请你根据两位同学所画的图形，分别给 A.90° B.100°C.105o D.110 出你的结论并说明理由： 变式2【拓展变式】(3分)如图1是长方形 (3)结合李老师提出的问题，我们可以得到 纸带，∠DEF等于a,将纸带沿EF折叠成折 一个结论（请你用语言表述》 叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图中的 ∠CFE的度数是() B△ G一C FC R GC B G F 一F 图1 D 图2 图3 小明画的图形 小颖画的图形 A.2a B.90°+2a C.180°-2a D.180°-3a 10.新趋势·开放性试题(8分)如图，已知AC∥ DE,CD∥EF,请你添加一个已知条件后，能 证出EF平分∠DEB (1)你添加一个已知条件 (2)写出你的说明过程。 33 河南专版 ZBB·七年级数学下册 第2课时 平行线性质与判定的综合 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 知识点②利用平行线的性质与判定解决实际 知识点①平行线的性质与判定的综合 问题 1.(3分)如图，直线a,b被直线c,d所截，若∠1= 新倩境新能源汽车 80°，∠2=100°，∠3=85°，则∠4的度数是( 筱雨家买了一辆新能源汽车，在开车回家 A.80° B.85 的路上，她发现了许多数学问题。请完成第4一 C.95° D.100° 6题： 4.(3分)如图1，汽车前灯的反光装置相当于凹 面镜，有了它，射出的光可看作平行光。现对 此进行逆向分析，如图2.两条平行光线1、 第1题图 第2题图 通过凹面镜反射后反射光线汇聚于焦点F,? 2.(3分)如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结 是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下 论正确的是( 列判断错误的是( A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4 3.(6分)如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3 =180°。 图1 图2 (1)问AD与CE平行吗？如果平行请说明 A.11亿3 B.1//L 理由。 C.12m D.∠1=45 (2)若CE垂直AE于E,DA平分∠BDC, 5.(3分)（驻马店期末）如图，一条公路修到湖 边时，需拐弯绕道而过，如第一次拐弯后∠A= ∠FAB=68°，求∠1的度数。 120°，第二次拐弯后∠B=150°，第三次拐弯后 的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行， 那么∠C等于 第5题图 第6题图 6.(3分)乘车进入车库时仔细观察了车库门口 的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模 型，已知AB垂直于水平地面AE。当车牌被自 动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢 【易错提醒】平行线的判定与性质之间的关系：平行 线的判定是利用角的大小关系及位置关系推出两 向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升 直线平行，而平行线的性质是由两条平行线的直线 (即CD与AE始终平行)。若∠BCD=140°， 推出角之间的关系。 则∠ABC= 34 酸制[第二草相交线与平行线 河南专版 追梦提升练冲刺高分拓展中考 7.学习情境·过程性学习(3分)某同学的作业 如下框，其中横线处应填的依据是( 小明、小颍、小丽三位同学用不同的方法添加辅 如图所示，当∠1=∠2时，∠3=∠4吗？为 什么？请完成下面的说理过程，解：因为∠1 助线解决问题，如图： =∠2（已知）。所以直线a∥%( )o 所以∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）。 A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行 小明 小颖 C.两直线平行，同位角相等 D.同位角相等，两直线平行 N D 小丽 小明同学辅助线的作法和分析思路如下： 辅助线：过点F作MNCD 第二章 第7题图 第8题图 分析思路： 8.(3分)如图，AB∥CD,将一副直角三角板按如图 (1)欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为 摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。下列结论：① 求∠2和∠3的度数； GE∥MP:②∠EFN=150°：③∠BEF=75;④ (2)由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知 ∠1的度数可得∠2的度数； ∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是() (3)由ABCD,MNCD推出ABMN,由此可 A.1 B.2 C.3 D.4 推出∠3=∠4： 9.生活情境·自行车(3分)（武汉模拟）如图1是 (4)由已知EF⊥AB,可得∠4=90°，所以可得 ∠3的度数： 自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意 (5)从而可求∠EFG的度数 图，其中AB,CD都与地面1平行，∠BCD=60°， 请你选择小颖同学或小丽同学所画的图形，描 ∠BAC=54°，要使AM与CB平行，则∠MAC的度 述辅助线的作法，并写出相应的分析思路。 数是( 图1 图2 A.609 B.66 C.114 D.120 10.数学思想·类比思想(10分)课堂上，王老师给 同学们呈现了这样一个问题： 已知：如图，AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD 于点P,当∠1=30时，求∠EFG的度数 35 河南专版 ZBB·七年级数学下册 专题 平行线中“拐点”问题作辅助线的方法 方法总结：遇到平行线中的拐点问题常需要作辅助线，常作的方法有以下三种。1.延长线段，使其与平行线相 交，构造截线，建立两平行线之间的桥梁，进而利用平行线的性质解决问题：2延长平行线，使其与裁线相交，构 造同位角、内错角和同旁内角，为使用平行线的性质创造条件：3.作平行线，构造同位角、内错角和同旁内角，为 使用平行线的性质创造条件。 类型一延长线段 类型三作平行线 1.(3分)如图，若AB∥CD,∠1=70°，∠2=140°，则 4.(11分)（舞钢期末）(1)对于图1，已知AB∥CD, ∠3的度数是( 直接写出∠BED与∠B和∠D之间的数量关系 A.25 -B 为 B.30° 2 (2)如图2，BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且 C.36 ∠E=90°。试说明：AB/CD: D.38 (3)拓展与应用：在(2)的条件下，作射线BF和 类型二)延长平行线 DF交于点F。已知∠ABE=3∠ABF,∠F=30° 2.(3分)（北京期末）图1是某同学“抖空竹”时的 请判断∠CDF与∠CDE之间的数量关系，并说明 一个瞬间.小聪把它抽象成图2的数学问题：已 理由。 知AB∥CD,∠EAB=70°，∠ECD=100°，则∠E的 度数是( 图1 图 图 图2 A.30° B.40° C.60 D.70° 【解题技巧】看到平行线及拐点，想到构造三角形，从而 将两条直线连接，再利用“三角形的内角和等于180” 将拐角与构造的三角形内角相联系，通过角度转换，探 究角度间的数量关系 3.(3分)如图.已知ABEG,BCDE,CDEF,则x、 y2三者之间的关系是( A.x-z=y 【解题方法】看到平行线及拐点，想到过拐点作平行线。 利用“如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直 B.x+y+=1809 线也互相平行”，将构造的平行线与已知直线一一联 C.y-x=z 系，通过对拐点和、差拆分实现等角转化，探究角度间 D.y-x=x-2 的数量关系。 3690°，∠COD+∠BOC=90°.所以与∠COD互余的角有4.内错角相等，两直线平行 ∠AOD,∠BOC: 5.解：已知补角的定义同角的补角相等∠BAG角 (2)因为∠B0C=∠A0B-∠A0C=155°-90°=65°，所以 平分线的定义∠AGC等量代换内错角相等，两直 ∠C0D=∠B0D-∠B0C=90°-65°=25°： 线平行 (3)∠COD与∠AOB互补.∠AOC与∠BOD互补 6.D7.平行8.A 15.解：【规律探究】2612 9.①3④【解析】①LB+∠BCD=180°，所以AB∥CD:② 【归纳总结】n(n-1) 周为∠1=∠2，所以AD∥BC:③因为∠3=∠4，所以AB∥ 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成40× CD:④因为∠B=∠5，所以AB∥CD。所以其中一定能判 (40-1)=1560(对)对顶角。 定AB∥CD的条件是①3④D 10.D11.D 第2课时垂直 12解：平行。理由如下：如图.因为∠1=∠2，所以∠5 1.D2.D ∠6，因为∠3=∠4.所以∠3+∠5=∠4+∠6.所以aB 3.解：(1)(2)如图所示： G 6人2 4.B【解析】同一平而内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直。故选B。 3平行线的性质 5.A【解析】由垂线段最短可知，CP≤AC且CP<BC,所以 第1课时平行线的性质 CP的长可能是2。故选A。 1.B 6.57.垂线段最短8.B9.B 2.C【解析】因为ABCD,所以∠D=∠1=50°。因为FE 2探索直线平行的条件 ⊥DB,所以∠FED=90°，∠2=180°-∠FED-∠D=180°- 第1课时利用同位角判定两直线平行及平行公理 90°-50°=40°。故选C。 1.A2.B3.D 3.C【解析】周为∠1=35°，所以∠ADF=∠1=35°。在三 4.D【解析】根据“同位角相等，两直线平行”，可知∠2= 角形ADF中，∠A=30°，所以∠AFD=180°-35°-30°= ∠1=120°。故选D 115°，因为FDEG,所以∠AEG=∠AFD=115°，所以∠2 5.A【解析】如图，当∠ABC=∠ADI时，HI∥ =∠AEG=115°。故选C BC,因为∠ABC=45°，所以∠AD1=45°。所 4.C【解析】因为AD∥BC,所以∠2=∠ABC。又因为 以∠FDH=45°。因为∠EDF=60°.所以 ∠ABC+∠B4C+∠1=180°，即∠ABC+789+42°=180°，所 ∠EDH=15°。故选A。 以∠ABC=60°，即∠2=60°。故选C 6.C 5.D 7.同位角相等，两直线平行 6.D【解析】如图，由题意知，∠3=180° 8解：因为CD平分∠ACE,∠ACE=140,所以LDCE= 1 (∠1+90°)=180°-(40°+90°)=50°。因 为a∥b,所以∠2+∠3=180°，所以∠2= ∠ACE=70°。因为∠B=70°，所以∠B=∠DCE.所以AB 180°-∠3=130°。故选D。 7.60°8.C WCD. 9.A 9.解：如图所示，EF即为所求，GH即为所求。 【变式I】D【解析】沿长BC至点G 如图，由题意得，AF∥BE,ADBC。因为 AF∥BE,所以∠1=∠3。图为AD∥BC 所以∠3=∠4，所以∠4=∠1=35°。周 为CD∥BE,所以∠6=∠4=35°，所以 ∠5=∠6=35°，所以∠2=180°-∠5 10.A ∠6=180°-35°-35°=110°。故选D 【知识回顾】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 【变式2】D 10.(1)解：∠ACD=∠DCE(答案不唯一) 平行。 (2)证明：因为AC∥DE,所以∠ACD=∠CDE,又因为 11.A ∠ACD=∠DCE,所以∠CDE=∠DCE,又因为CD∥EF 12.平行于同一条直线的两条直线平行 所以∠DCE=∠FEB,∠CDE=∠DEF,所以∠FEB= 13.D14.C ∠DEF,所以EF平分∠DEB。 15.解：(1)如图所示，直线4，∥0B: 11.解：(1)C (2)如图所示，直线OA。 (2)小明：∠B=∠E。理由：因为AB∥DE,所以∠B= ∠DGC。因为BC∥EF,所以∠DGC=∠E,所以∠B= ∠E。小颖：∠B+∠E=180°。理由：因为AB∥DE,所以 ∠B+∠DGB=18O°。因为BCEF,所以∠DGB=∠E,所 以∠B+∠E=180°： I6.解：设BC与EF交于点G。因为∠E=∠F,∠EGB= (3)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那 ∠CGF,所以∠B=∠BCF。因为∠B=∠D.所以∠D= 么这两个角相等或互补 ∠BCF,所以ADBC 第2课时平行线性质与判定的综合 17.解：ACBD同位角相等，两直线平行垂直的定义 1.B【解析】因为∠1=80°，∠2=100°，所以∠1+∠2= 125等量代换AEBF 180°，所以ab,所以∠4=∠3=85°。故选B 第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 2.D【解析】因为∠A+∠ABC=180°，所以AD∥BC,所以 1.B2.A ∠2=∠4。故选D。 3.B【解析】A.因为∠A=∠CDE,所以ABCD,错误：C.因 3.解：(1)AD∥CE.理由：因为∠1=∠BDC.所以ABCD,所 为∠ABD=∠BDC,所以CD∥AB,错误：D.∠C=∠A,不能 以∠2=∠ADC,因为∠2+∠3=180°，所以∠3+∠ADC= 判定ADBC,错误。故选B。 180°，所以ADCE: (2)因为CE垂直AE,所以∠CEA=90°。因为CE∥AD,所 追梦之旅·ZBB·七年级数学下第5页 以∠CEA=∠DAF=90°，因为∠FAB=68°，所以∠2= ∠BEP+∠DEP=∠ABE+∠CDE=90P,同理，∠BFD= ∠DAF-∠FAB=22°，所以∠2=∠ADC=22°。因为DA平 ∠ABF+∠CDF。因为∠ABE=3∠ABF,∠BFD=30°，所以 分∠CDF,所以∠CDF=2∠ADC=44°，所以∠I=∠CDF= ∠BED=∠ABE+∠CDE=90P=3∠BFD=3(∠ABF+ 44°，所以∠1的度数为44°。 ∠CDF),所以∠CDE=3∠CDF 4.D 追梦第二章章末复习相交线与平行线 5.150【解析】如图，过点B作DE∥AM,则 ∠ABE=∠A=120,所以∠EBC=∠ABC 【知识体系构建】①对顶角相等②相等③ ∠ABE=150°-120°=30°。因为AM∥CN, ④垂线段⑤垂线段的长度⑥不相交①平行 所以DE∥CV,所以∠C=180°-∠EBC=D 8相等⑨相等0互补①相等2相等B互补 180°-30°=150° 1.垂线段最短2.4.83.C4.C 6.130°【解析】过点B向右侧作BG∥CD,则∠BCD+ 5.C【解析】因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，因为 ∠CBG=180°。因为∠BCD=140P,所以∠CBG=180° ∠B0E+∠1=180°，∠BOE=154°，所以∠1=180P-∠BOE ∠BCD=40°。图为BA⊥AE,AE∥CD,BG∥CD,所以BA⊥ =180°-154°=26°，所以∠2=90°-∠1=90°-26°=64° BG,所以∠ABG=90°，所以∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+ 故选C 40°=130° 6.D7.B8.内错角相等，两直线平行 7.B 9.解：CD⊥AB,理由：因为DG⊥BC,AC⊥BC,所以∠DGB= 8.D【解析】①由题意得：LG=∠MPV=90°，所以∠MPG ∠ACB=90°.所以DG∥AC,所以∠2=∠DCA。因为∠1= =90°，所以∠G=∠MPG,所以GEMP.故①正确：②由 ∠2，所以∠1=∠DCA,所以CD∥EF。因为EF⊥AB,所以 题意得∠EFG=30°，所以∠EFN=180°-∠EFG=150°，故 CD⊥AB ②正确：3过点F向右作FH∥AB,因为AB∥CD,所以 10.B【解析】因为平行，所以∠1+∠PFO=180°，因为∠1 ∠BEF+∠EFH=I8O°，FH∥CD,所以∠HFN=∠MNP= 45°，所以∠EFH=∠EFN-∠HFN=1O5°，所以∠BEF= =155°，所以∠PF0=25°，周为∠3=180°-∠OPF= 180°-∠EFH=75°，故③正确：④因为∠GEF=60°，∠BEF ∠PF0+∠P0F,∠3=55°，所以∠POF=30°，所以∠2= =75°，所以∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，因为 30°。故选B ∠MNP=45°，所以∠PMN=45°，所以∠AEC=∠PMN,故 11.50° 【解析】因为AB/CD,∠1=65°，所以∠BEN=∠1= ④正确。综上所述，正确的有4个。故选D 65°。周为EN平分∠BEF,所以∠BEF=2∠BEN= 9.B【解析】由题意知，AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD=60° 130°。国为AB/CD.所以∠2+∠BEF=180°，所以∠2= 因为AMCB,所以∠MAB=180°-∠ABC=120°，所以 180°-∠BEF=50° ∠MAC=∠MAB-∠BAC=66°。故选B 12.解：(1)t3 10.解：选择小丽同学所画的图形： (2)过点H向左作HG∥AB,因为AB∥CD,所以AB//GH∥ CD,所以∠BPH=∠PHG,∠DOH=∠OHG。因为∠PHG 3 +∠QHG=90°，所以∠BPH+∠DQH=90°，即1+(180-31) =90,解得1=45。 、 第三章概率初步 1感受可能性 辅助线：过点O作ONFG交CD于点N 分析思路：(1)欲求∠EFG的度数，由轴助线作图可知 1.A2.A3.B ∠EFG=∠EON,因此只需转化为求∠EON的度数： 4D【解析】要使取出红球的可能性大，则红球的个数比 (2)欲求∠EON的度数，由图可知只需转化为求∠2和 白球多，则红球有6个或6个以上。故选D ∠3的度数： 5.2 (3)由已知EF1AB,可得∠3=90°： 【归纳总结】与转盘有关的随机事件，在比较事件发生的 (4)由AB∥CD.可推出∠2=∠4，由ON∥FG可推出∠4 可能性大小时，常把面积作为比较的入手点。一般地，某 =∠1，由此可推∠2=∠1，又已知∠1的度数可求出∠2 个区城面积越大，则事件在该区城发生的可能性越大。 的度数； 6.B7.④32① (5)从而可求∠EFG的度数 8.解：(1)31或2 专题平行线中“拐点”问题作辅助线的方法 (2)因为要使“摸到红球”和“摸到白球”的可能性大小相 1.B【解析】延长AE交CD于点F,因为AB∥CD,所以∠1 同.所以两种球的数量应相同，故由题意可得5-x=3+x, +∠AFD=180°，因为∠1=70°，所以∠AFD=180°-∠1= 解得x=1。 180°-70°=110°，因为∠2=140°，所以∠DEF=40°，所以 2频率的稳定性 ∠3=180°-∠DEF-∠AFD=30°。故选B 2.A【解析】延长DC交AE于点F,因为AB∥CD.∠EAB 第1课时频率的稳定性 70°，所以∠EFC=∠EAB=70°，因为∠ECD=100°，所以 1.C2.0.463.小于4.35 ∠ECF=80°，所以∠E=I80°-∠ECF-∠EFC=3O°。故 5.B 选A 6.解：(1)0.700.530.660.590.580.630.58 3,A【解析】延长AB交DE于H,因为BCDE,所以∠ABC 0.610.600.60 =∠AHE=x,因为CDEF,ABEG,所以∠D=∠DEF=a, 补全图形如图所示： ∠AHE=∠DEG=+y,即x=z+y,所以x-z=y。故选A。 摸到白球的领 4.解：(1)∠BED=∠B+∠D【解析】过点E向右作ET∥ 0.72 0u.7G AB。因为AB∥CD,AB∥ET,所以ET∥CD,所以∠B= 0.6 ∠BET,∠DET=∠D.所以∠BED=∠BET+∠DET=∠B+ 0.66 .64 ∠D: 16 (2)因为∠E=90°，所以∠EBD+∠EDB=180°-∠BED= 0.60 90°。因为BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,所以∠ABD= 2∠EBD,∠CDB=2∠EDB,所以∠ABD+∠CDB= 0.5 2(∠EBD+∠EDB)=18O°，所以AB/∥CD: 0.525 (3)∠CDE=3∠CDF。理由如下：过点E向右作EP∥AB, 10020300400500600700800900)1000 过点F向右FQ∥AB。又因为AB∥CD.所以AB∥CD∥EP FO,所以∠ABE=∠BEP,∠DEP=∠CDE,所以∠BED= (2)0.6 追梦之旅·ZBB·七年级数学下第6页