2.1 两条直线的位置关系-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(北师大版2024)

第二章，相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、余角和补角 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 5.[教材随堂练习1变式](3分)（石家庄期末） 知识点①相交线与平行线 如图，直线a,b相交于点O, 1.(3分)同一平面内两条直线的位置关系 将半圆形量角器的圆心与点 有() 0重合，发现表示60°的刻度 A.相交、垂直 B.相交、平行 与直线a重合，表示138°的刻度与直线b重 C.垂直、平行 D.相交、垂直、平行 合，则∠1= 知识点②对顶角 知识点③余角和补角 2.(3分)如图，∠1和∠2是对顶角的有( 6.(3分)（西安中考）若∠A=23°，则∠A的余角 的大小是() A.57 B.67 C.77 D.157 ① ③ ④ 7.(3分)如图，已知∠B0C=45°，∠A0C= A.1个 B.2个 ∠BOD=90°，则∠AOD为 C.3个 D.4个 【归纳总结】互为对顶角的两个角必须满足的两个 01729 条件：(1)两个角有一个公共顶点：(2)一个角的两 边分别是另一个角的两边的反向延长线 第7题图 第8题图 新情境日常生活 8.[教材习题5变式](3分)如图所示，选择适 知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养 当的方向击打白球，可以使白球反弹后将黑 心灵，蓝壮成长。小华在学习完相交线后，发现 球撞入袋中，此时∠1=∠2，并且∠2+∠3= 生活中有许多相交线。请完成3~4题： 90°，如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘夹 3.(3分)常见的伸缩门中存在非常多的对顶角， 角∠3=30°，那么∠1应等于 度，才 如图为简易伸缩门，当∠AOB减少10°时， 能保证黑球能直接入袋，此时的∠1与∠3的 ∠COD的度数() 关系是 A.减小10° B.增大10 9.(8分)（焦作期末）如图，直线AB、CD相交于 C.增大20° D.不变 0,0E平分∠AOD,∠F0C=90°，∠1=40°，求 ∠2和∠3的度数 第3题图 第4题图 4.(3分)如图是一把剪刀的示意图，我们可想象 成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD=76°， 则∠AOB= 25 河南专版。 ZBB·七年级数学下册 易错点未给出图形，考虑不周全致错 出来。 10.(3分)两条直线相交所成的四个角中，有两 个角分别是(2x-10)°和(110-x)°，则x 追梦提升练冲刺高分拓展中考 11.文化情境·数学文化(3分)（长春二模）泰勒 斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家 和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相 等”就是泰勒斯首次发现并论证的。论证 【归纳总结】两直线相交形成的四个角中的任意两 个角，要么相等（对顶角相等），要么互补，这两种关 “对顶角相等”使用的依据是() 系大都以隐含条件的形式出现，解题时要充分发掘 A.等角的补角相等B.同角的余角相等 这两种关系，构建已知角和未知角之间的关系。 C.等角的余角相等D.同角的补角相等 自梦素养练全国视野新题探究 12.(3分)如图，直线AC和直线BD相交于点 15.数学思想·类比思想(8分)观察系列图形， 0,0E平分∠B0C。若∠1+∠2=80°，则∠3 补全探究过程 的度数为( 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点， A.40° B.50° C.60° D.70° 则图中共有 对对顶角：如图2，有3 条直线相交于一点，则图中共有 对 对顶角：如图3，有4条直线相交于一点，则 图中共有 对对顶角 第12题图 第13题图 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可 13.跨学科试题·物理(3分)如图，当光线从空 形成 对对顶角」 气中射入某种液体中时，光线的传播方向发 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则 生了变化，在物理学中这种现象叫作光的折 可形成几对对顶角」 射。如图，AB垂直液面MN于点D,一束光 线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射 光线为DE,点F为CD的延长线上一点，若 米 入射角∠1=43°，折射角∠2=29°，则∠EDF 图 图2 的度数为() A.14° B.169 C.43° D.47° 14.(8分)如图，已知∠A0B=155°，∠AOC= ∠B0D=90°。 (1)写出与∠C0D互余的角： (2)求∠COD的度数： (3)图中是否有互补的角？若有，请直接写 26 第二相交线与平行线 河南专版 第2课时 垂直 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 知识点④点到直线的距离 知识点①垂直的概念 6.(3分)如图，点A,B,C在直线1上，PB⊥AC, 1.（3分)小红在学习垂线时遇到了这样一个问 PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直 题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交 线（的距离是 Cm。 于点O,则下列条件中能说明AB⊥CD 的是() A.AO=OB B.CO=OD 第6题图 第7题图 C.∠AOC=∠BOD 7.跨学科试题·体育(3分)（鲁山期末）如图， D.∠AOC=∠BOC 在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员 知识点2画垂线 的成绩的，将一块直角三角尺的一边附在起 2.(3分)下列各图中，过点P画直线【的垂线 跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理 CD,三角板操作正确的是( 由是 追梦提升练冲刺高分拓展中考 第二章 新信境太阳能 太阳能是指太阳的热辐射能，主要表现就 3.(6分)如图，点P,Q分别是∠AOB的边OB, 是常说的太阳光线，一般用作发电或为热水器 OA外的点。 提供能源。请完成8~9题 (1)过点P画OB的垂线，交OA于点C,交OB 8.(3分)某村为号召村民利用屋顶资源建立太 于点D 阳能发电板。在一个无风的日子，一辆宣传 (2)过点Q画OA的垂线交OA于点E,交OB 车在直线形成的公路上由A向B行驶，如图， 于点F。 0是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位 置时，村庄听到宣传车内容最清晰() A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 太阳光 知识点③垂线的性质 329 4.(3分)（河北中考）在平面内，过直线m外一 太阳光板 点作直线m的垂线，可作垂线的条数 第8题图 第9题图 有() 9.(3分)当光线垂直照射在太阳光板上时，接收 A.0条 B.1条 的太阳光能最多。某一时刻太阳光的照射角 C.2条 D.无数条 度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多， 5.(3分)已知三角形ABC中，BC=6,AC=3,CP 那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角 ⊥AB,垂足为点P,则CP的长可能是() 度为( A.2 B.4 C.5 D.7 A.48 B.58 C.68 D.78 27(2)原式=[(-15)÷5]xy'=-3y 5解：原式=8c,36c6e4462=9%6e生4n6d =23.则(2=42=23得4527。 6.解：因为该长方形面积为(25-4y2),它的一条边长为(5+ 9 =b。因为(a-1)2+(b+2)2+(c+1)2=0,所以a=1,b= 2y),则这条边的邻边为：(25-4y2)÷(5+2y)=5-2y,则该 长方形的周长为：2×(5+2y+5-2y)=20。 -2c-1。所以原式-×(-2》=号 7.解：(1)原式=mn-2m+2n-4=mn-2(m-n）-4=-3-2×4- 4=-15: 6.C (2)由m-n=4得(m-n)2=m2-2mn+n2=16,则m2+m2= 7.3(x-y)÷3(答案不唯一) 16+2mn=16+2×(-3)=10。 8.-5x-3x2y+4r2【解析】由题意得(25x2+15x3y-20x)÷ 8.解：原式=(n+8+n-4)(n+8-n+4)=(2n+4)(8+4)= (-5x)=-5x-3ry+4x 12(2n+4)=24(n+2)。故对于任意自然数n,(m+8)2-(n 9.-4a+3b【解析】M=(4ab-3ab2)÷(-ab)=-4a+3b -4)2能被24整除。 10.解：(1)原式=16ab2÷(-2a2b)+6ab÷(-2ab)=-8b- 9.解：(1)(a+b)2a2+b+2ab 3: (2)(a+b)2=a2+b2+2ab (2)原式=4o6÷ 3 ab-ab1 3ab=12a-36- (3)由(a+b)2=a2+6+26.可得b=a+6)-a+),所 2 1。 11.A【解析】由题意可知(3mn·2)3÷(-3mm2) 以当a+6=5.d+6=1时.h=5,=7。 2 216m3n3÷(-3m3n2)=-72n。故选A 追梦第一章章末复习整式的乘除 12.C【解析】(2.88×10)÷(L.8×10)=(2.88÷1.8)× 【知识体系构建】①a”②a"③ab④a⑤a2- (10÷10°)=1,6×10=16。则这颗人造地球卫星的速度 是这架喷气式飞机的速度的16倍。故选C。 6⑥a2+2ab+b2⑦a2-2ab+b 【方法点拔】本题主要考查单项式的隐法，科学记数法表 1.D【解析】原式=a°+a-a=a。故选D 示的数的运算，可以利用单项式的相关运算法则计算。 2.B【解析】A.-3m2·2a'=-6m:C.6m÷(-2a3)=-3m': 13.B【解析】根据剪拼前后面积相等可得[(2x+3)2-(x+ D.(ab')2=a2b。故选B。 3.D4.A5.D6.C7.D8.D 3)2]÷3x=(4x2+12x+9-x-6x-9)÷3x=x+2。故选B。 14.2025 9.x【解析】根据题中的新定义，得原式=(-x)’·x2:[x 15.解：(1)A=xy-62,所以B=(xy-62)÷(-3y)= ·(-x2)]=-x÷(-x)=x 10.解：构图-：(1)B(2)①3②1 3t+2: 构图二：x’-x=x(x-1)(x+1) (2)能，整式为-3xy2+18x2y23,理由：A=(xy-6y2) 构图三：由题意得，小长方形的短边为b,所以八边形 (-3xy)=-3xy2+18x2y3。 ABCDEFGH的面积为a(a+4l)+4×、b2=a+4ab+2b。 16.解：(1)由题意得(2a2b+ab2)÷(a·b)=(2a+b)cm,2a+b +a+a=(4a+b)cm,故原来长方形纸板的长是(4a+b) 第二章相交线与平行线 cm: 1两条直线的位置关系 (2)b(2a+b)+2ab+2a(2a+b)=(b2+4a2+6ab)em2.故 第1课时对顶角、余角和补角 个这样的纸盒需婴用(b2+4a2+6ab)平方厘米的包装纸 1.B2.A3.A 专题乘法公式的应用 4.38°【解析】因为∠AOB=∠COD,∠AOB+∠C0D=76°， 1.解：(1)(x-2y)(x2+42)(x+2y)=(x-2y)(x+2y)(x2+ 所以L40B=2×76°=38。 4y2)=(x2-4y2)(2+4y2)=x-16y: (2)(4x-3y)2(4x+3y)2=[(4x-3y)(4x+3y)]2=(16x2- 5.78【解析】根据量角器的刻度显示及对顶角相等可得： 9y2)2=256x-288x2y2+81y; ∠1=138°-60°=78°。 6.B (3)(x2+4y2)2-16x2y2-(x2+4y2)2-(4xy)2-(x2+4y2+ 7.45°【解析】图为∠AOC=∠AOD+∠D0C=90°，∠B0D= 4灯）(x2+4,2-4y)=(x+2y)2(x-2y)2=(x2-4y2)2=x- ∠DOC+∠BOC=90°，∠B0C=45°，所以∠AOD=∠BOC= 8xy+16v 450 2.解：(1)原式=x2-3x-(x-9)=x2-3x-x2+9=9-3x。当x 8.60互余 =3时，原式=9-3x38: 9.解：因为∠F0C=90°，∠1=40°，∠3+∠F0C+∠1=180° 所以∠3=180°-90°-40°=50°。因为∠3与∠A0D互补. (2)原式=x2+4x+4+4x2-1-4x2-4x=x2+3。当x=2时， 所以∠A0D=180°-∠3=130°。因为0E平分∠A0D,所 原式=22+3=7： (3)原式=a2+6m+9-(a2-1)-4a-8=a2+6m+9-a2+1-4a 以∠2= -∠A0D=65°。 10.40或80【解析】若(2x-10)和(110-x)°是对顶角，则 8=2a+2.当a=-2时，原式=2×(-2)+2=1。 (2x-10)°=(110-x)°，解得x=40:若(2x-10)°和(110- 3.解：(1)原式=(100+1)2+(100-1)2=100+200+1+1002- x)°互为补角，则(2x-10)°+(110-x)°=180°，解得x= 200+1=100+1002+1+1=20002: 80。综上所述，x=40或80。 (2)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=100-400+4- 11.D 12.D【解析】因为∠1+∠2=80°，∠1=∠2，所以∠1=∠2 (100-1)=100-400+4-100+1=-395。 =40°，所以∠B0C=180°-∠1=140°。因为OE平分 ∠B0C.所以∠3=】∠BOC=70°。故选D。 2 2时，原式=×2=2。 13.A【解析】由对顶角相等得∠BDF=∠1=43°。固为 ∠2=29°，所以∠EDF=∠BDF-∠2=43°-29°=14°。故 8解：因为+5.所以(+产=宁2=25.则+号4蒂)因为∠A0C=Lm0=0,所以∠000+LA0D= 选A。 追梦之旅·ZBB·七年级数学下第4页 90°，∠COD+∠BOC=90°.所以与∠COD互余的角有4.内错角相等，两直线平行 ∠AOD,∠BOC: 5.解：已知补角的定义同角的补角相等∠BAG角 (2)因为∠B0C=∠A0B-∠A0C=155°-90°=65°，所以 平分线的定义∠AGC等量代换内错角相等，两直 ∠C0D=∠B0D-∠B0C=90°-65°=25°： 线平行 (3)∠COD与∠AOB互补.∠AOC与∠BOD互补 6.D7.平行8.A 15.解：【规律探究】2612 9.①3④【解析】①LB+∠BCD=180°，所以AB∥CD:② 【归纳总结】n(n-1) 周为∠1=∠2，所以AD∥BC:③因为∠3=∠4，所以AB∥ 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成40× CD:④因为∠B=∠5，所以AB∥CD。所以其中一定能判 (40-1)=1560(对)对顶角。 定AB∥CD的条件是①3④D 10.D11.D 第2课时垂直 12解：平行。理由如下：如图.因为∠1=∠2，所以∠5 1.D2.D ∠6，因为∠3=∠4.所以∠3+∠5=∠4+∠6.所以aB 3.解：(1)(2)如图所示： G 6人2 4.B【解析】同一平而内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直。故选B。 3平行线的性质 5.A【解析】由垂线段最短可知，CP≤AC且CP<BC,所以 第1课时平行线的性质 CP的长可能是2。故选A。 1.B 6.57.垂线段最短8.B9.B 2.C【解析】因为ABCD,所以∠D=∠1=50°。因为FE 2探索直线平行的条件 ⊥DB,所以∠FED=90°，∠2=180°-∠FED-∠D=180°- 第1课时利用同位角判定两直线平行及平行公理 90°-50°=40°。故选C。 1.A2.B3.D 3.C【解析】周为∠1=35°，所以∠ADF=∠1=35°。在三 4.D【解析】根据“同位角相等，两直线平行”，可知∠2= 角形ADF中，∠A=30°，所以∠AFD=180°-35°-30°= ∠1=120°。故选D 115°，因为FDEG,所以∠AEG=∠AFD=115°，所以∠2 5.A【解析】如图，当∠ABC=∠ADI时，HI∥ =∠AEG=115°。故选C BC,因为∠ABC=45°，所以∠AD1=45°。所 4.C【解析】因为AD∥BC,所以∠2=∠ABC。又因为 以∠FDH=45°。因为∠EDF=60°.所以 ∠ABC+∠B4C+∠1=180°，即∠ABC+789+42°=180°，所 ∠EDH=15°。故选A。 以∠ABC=60°，即∠2=60°。故选C 6.C 5.D 7.同位角相等，两直线平行 6.D【解析】如图，由题意知，∠3=180° 8解：因为CD平分∠ACE,∠ACE=140,所以LDCE= 1 (∠1+90°)=180°-(40°+90°)=50°。因 为a∥b,所以∠2+∠3=180°，所以∠2= ∠ACE=70°。因为∠B=70°，所以∠B=∠DCE.所以AB 180°-∠3=130°。故选D。 7.60°8.C WCD. 9.A 9.解：如图所示，EF即为所求，GH即为所求。 【变式I】D【解析】沿长BC至点G 如图，由题意得，AF∥BE,ADBC。因为 AF∥BE,所以∠1=∠3。图为AD∥BC 所以∠3=∠4，所以∠4=∠1=35°。周 为CD∥BE,所以∠6=∠4=35°，所以 ∠5=∠6=35°，所以∠2=180°-∠5 10.A ∠6=180°-35°-35°=110°。故选D 【知识回顾】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 【变式2】D 10.(1)解：∠ACD=∠DCE(答案不唯一) 平行。 (2)证明：因为AC∥DE,所以∠ACD=∠CDE,又因为 11.A ∠ACD=∠DCE,所以∠CDE=∠DCE,又因为CD∥EF 12.平行于同一条直线的两条直线平行 所以∠DCE=∠FEB,∠CDE=∠DEF,所以∠FEB= 13.D14.C ∠DEF,所以EF平分∠DEB。 15.解：(1)如图所示，直线4，∥0B: 11.解：(1)C (2)如图所示，直线OA。 (2)小明：∠B=∠E。理由：因为AB∥DE,所以∠B= ∠DGC。因为BC∥EF,所以∠DGC=∠E,所以∠B= ∠E。小颖：∠B+∠E=180°。理由：因为AB∥DE,所以 ∠B+∠DGB=18O°。因为BCEF,所以∠DGB=∠E,所 以∠B+∠E=180°： I6.解：设BC与EF交于点G。因为∠E=∠F,∠EGB= (3)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那 ∠CGF,所以∠B=∠BCF。因为∠B=∠D.所以∠D= 么这两个角相等或互补 ∠BCF,所以ADBC 第2课时平行线性质与判定的综合 17.解：ACBD同位角相等，两直线平行垂直的定义 1.B【解析】因为∠1=80°，∠2=100°，所以∠1+∠2= 125等量代换AEBF 180°，所以ab,所以∠4=∠3=85°。故选B 第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 2.D【解析】因为∠A+∠ABC=180°，所以AD∥BC,所以 1.B2.A ∠2=∠4。故选D。 3.B【解析】A.因为∠A=∠CDE,所以ABCD,错误：C.因 3.解：(1)AD∥CE.理由：因为∠1=∠BDC.所以ABCD,所 为∠ABD=∠BDC,所以CD∥AB,错误：D.∠C=∠A,不能 以∠2=∠ADC,因为∠2+∠3=180°，所以∠3+∠ADC= 判定ADBC,错误。故选B。 180°，所以ADCE: (2)因为CE垂直AE,所以∠CEA=90°。因为CE∥AD,所 追梦之旅·ZBB·七年级数学下第5页