1.3 乘法公式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(北师大版2024)

第一厚整式的乘除 。河南专版 3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 第 追梦基础全练穷实基础熟练攀握 6.(3分)（焦作期中）已知(-3a+m)(4b+n)=(4b- 知识点平方差公式的认识及计算 3a)(46+3a),则m,n的值分别为() L.(3分)下列算式不能用平方差公式计算的 A.m=-46,n=3a B.m=46,n=-3a 是() C.m=4b,n=3a D.m=3a,n=4b A.(2a+b)(2a-b) B.(-3a+b)(b-3a) 7.学科素养·应用意识(9分)阅读材料后解决 C.(x+y)(-x+y) D.(-m+n)(m+n) 问题：小明遇到下面一个问题： 【点拨】平方差公式的特点：(1)左边是两个二项式 计算(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) 相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的 项互为相反数：(2)右边是相同项的平方减去相反 变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用 项的平方：(3)公式中的a和b可以表示具体的数 或单项式，也可以是多项式 平方差公式解决问题，具体解法如下： 2.(3分)(2+x)(x-2)的结果是( (2+1)(2+1)(2+1)(2+1) A.2-x B.2+x2 =(2+1)(2-1)(22+1)(2+1)(28+1) C.4+x2 D.x2-4 =(22-1)(22+1)(2+1)(2+1) 3.(3分)若(n-m)与一个多项式的乘积可以利 =(2-1)(2+1)(2+1)》 用平方差公式计算，则这个多项式可 =(2-1)(2+1) 以是() =216-1。 A.m-n B.m+n 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以 C.mn-1 D.n-m 下的问题： 4.(3分)若x+y=6,x-y=8,则x2-y2= (1)(3+2)(32+22)(3+2)(3+2)(316+216) 变式【拓展变式】(3分)如果(2a+2b+1)(2a +2b-1)=3,那么(a+b)2的值为 (2)化简：(3+1)(32+1)(3+1)(3+1)(3+1)。 【点拨】运用平方差公式计算的步骤：(1)确定两个 二项式中相同的项与互为相反数的项：(2)转化为 这两数和与这两数差的乘积的形式；(3)套用平方 差公式进行计算 追梦提升练冲刺高分拓展中考 5.(3分)如果(-x-2y)·M=4y2-x2,则M表示 的式子为( A.-x+2y B.-x-2y C.x+2y D.x-2y 13 河南专版 ZBB·七年级数学下册 第2课时 平方差公式的运用 第 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 (50+号(9+ R(49+(51 知识点①利用图形验证平方差公式 3 1.学科素养·几何直观(3分)图1是长为(m+ c(503(0-3 n.(50号(50 b),宽为(a-b)的一个长方形，将其进行分割， 3.(3分)为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x 剪拼，得到如图2所示的大正方形。通过计算 -2y+1),下列变形正确的是( 阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等 A.[x-(2y+1)]2 式是( B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y-1)]2 4.[教材例3变式](6分)用平方差公式进行 图1 图2 计算： A.a2-b2=(a+b)(a-b) (1)9.9×10.1: (2)875×925。 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 变式【拓展变式】(3分)如图，阴影部分是 边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小 正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、 5.[教材例4变式](6分)计算： 拼，形成新的图形，下列4幅图割拼方法中，其 (1)(3x+y)(y-3x)-4y(x-y): 中能够验证平方差公式的是 (填序 号)。 图① 图② (2)(a-4)(a+4)-2(a-1)(2a+2)。 图③ 图④ 知识点②利用平方差公式进行简便计算 2(3分)用简使方法计算50号x49},变形正 2 确的是( 14 。第一草整式的乘除 河南专版 6.生活情境·草坪改造(8分)某公园原来有一 10.生产劳动情境·建游泳池(9分)某中学为了 块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽 响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的 要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个 号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳 第 边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增 池的长为(4a2+962)m,宽为(2a+3b)m.深 加了还是减少了？通过计算说明理由。 为(2a-3b)m,请你计算一下这个游泳池的 容积是多少。 追梦握升练冲刺高分拓展中考 7.(3分)对于任意的正整数n,能整除代数式 (3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数 11.学科素养：应用意识(10分)你能求(x-1) 是( (x25+x224+x223+…+x+1)的值吗？遇到这 A.3 B.6 C.10 D.9 样的问题，我们可以先思考一下，从简单的 8.[新定义(3分)（衢州中考）定义a※b=a(b+ 情形入手，先分别计算下列各式的值。 1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8。则(x-1) ①(x-1)(x+1)=x2-1: ※x的结果为 ②(x-1)(x2+x+1)=x3-1: 9.学习情境·过程性学习(8分)某同学化简a(a ③(x-1)(x3+x2+x+1)=x-1: +2b)-(a+b)(a-b)出现了错误，解答过程 如下： 由此我们可以得到：(x-1)(x2必+x24+x2四 原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步) +…+x+1)= _o =a2+2ab-a2-b(第二步)】 请你先将上面的横线填写完整，再利用上面 =2ab-b2(第三步) 的结论，完成下面两题的计算： (1)该同学解答过程从第 步开始出 (1)3225+3204+32m+…+3+1: 错，错误原因是 (2)(-2)”+(-2)%+(-2)”+…+(-2)+1。 (2)写出此题正确的解答过程。 15 河南专版。 ZBB·七年级数学下册 第3课时 完全平方公式的认识 第 追梦基础全练夯实基础熟练学握 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 知识点①完全平方公式的认识及计算 C.(m-n)2=m2-2mm+n2 1.(3分)下列多项式属于完全平方式的是( D.m2-n2=(m+n)(m-n) A.x2-2x+4 B.2+r 4 C.x2-xy+y2 D.4x2-x-1 2.(3分)下列不能用完全平方公式计算的 是() 图甲 图乙 A.(x-2y) B.(-x+y)2 追梦提升练冲刺高分拓展中考 C.x2+y2 D.(2x-1)2 5.(3分)已知x-y=-7,则x2-2y+y2的值 3.(4分)计算： 为( ) (1)(a-1)2: (2)(2x+y)2。 A.49 B.-49 C.7 D.-7 6.数学思想·分类思想(3分)若代数式x2+kx+ 25是一个完全平方式，则k= 7.(3分)若x2+y2=10,xy=1,则(x+y)2的值 是 着梦系养练全国视野新题探究 8.[教村阅读·思考变式](3分)我国古代数学 的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 【归纳总结】运用完全平方公式的技巧：(1)当所给 式子中每一项的符号相同时，一般选用“和”的完全 数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算 平方公式：当所给式子中有一项的符号相反时，一 法》一书中，用图中的三角形解释二项和 般选用“差”的完全平方公式：(2)若首项是负数，将 (a+b)”的展开式的各项系数，此三角形称为 首项转化为正数，便于运用完全平方公式计算。 “杨辉三角”。 知识点②用图形验证完全平方公式 4.学科素养·几何直观(3分)利用图形中面积 (a+b) …11 …121 的等量关系可以得到某些数学公式。例如， （a+b)3.-.1331 (+b）14641 根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： (a+6)'-1510105 (m+n)2=m2+2mn+n2。根据图乙你能得到的 数学公式是() 则(a+b)°展开式中第3项的系数 是 A.m2-n2=(m-n)2 16 第一整式的乘除 河南专版 第4课时 完全平方公式的运用 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 5.(3分)若(2x-y)2+A=(2x+y)2,则代数式A 知识点①运用完全平方公式进行简便运算 =( 1.[教材随堂练习1变式](3分)若用简便方法 A.-4xy B.4xy C.-8xy D.8xy 计算2999，应当用下列哪个式子( 6.(3分)已知(x-y)2=16,x2+y2=20,则xy A.(3000-1)2 B.(3000-1)(3000+1) =() A.-2 B.-4C.2 C.(2999+1)2 D.4 D.(2999+1)(2999-1) 2.(3分)用简便方法计算20252-4050×2024+ 7.(8分)先化简，再求值：(x-y)2+(x-2y)(y 20242的结果是 0,其中705=2025。 3.学习情境·过程性学习(7分)数学课上老师 出了一道用简便方法计算2962的值的题.喜 欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题 过程如下： 2962=(300-4)2.…第一步 =3002-2×300×(-4)+42.…第二步 =90000+2400+16..第三步 追梦提升练冲刺高分拓展中考 =92416…第四步 8.(3分)若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值 老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解 是() 题中的错误。 A.1 B.2 C.3 D.4 (1)你认为小亮的解题过程中，从第 9.数学思想·分类思想(3分)若x2+2(b-1)x+4 步开始出错： 是完全平方式，且a+3=0,则a=( (2)请你写出正确的解题过程。 A.-27 且-27或写 c7或号 D-27或号 10.新定义(3分)对于任意有理数A,B,现用 “☆”"定义一种运算：A☆B=a2+b2。根据这 个定义，代数式(x+y)女y可以化 简为( ) 知识点②完全平方公式的综合运用 A.+y2 B.xy-y2 4.(3分)(a+b-c)(-a-b+c)与下列哪个式子相 C.x2+2xy+2y2 D.x2+2y2 等( 11.学科素养·几何直观(3分)（泰州期中）如 A.(a+b-c)2 B.-(-a-b+c)2 图，长方形ABCD的周长是12cm,以AB,AD C.-(a-b+c)2 D.(a-b+c)2 为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH, 17 河南专版 ZBB·七年级数学下册 若正方形ABEF和ADGH的面积之和为 追梦索养练全国视野新题探究 20cm2,那么长方形ABCD的面积是( 14.学科素养·推理能力(10分)如图①是一个 第 A.6 cm D 长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪 童 B.7 cm2 刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状 C.8 cm2 拼成一个正方形。 D.9 cm2 12.[教材观察·思考变式](3分)如图，用大小 相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方 B 形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要 9个小正方形，拼第3个正方形需要16个小 图① 图② 图③ 正方形，…，按照这样的方法拼成的第n个正 (1)观察图②，请你直接写出下列三个式子： 方形比第(n-1)个正方形多 个小正 (a+b)2.(a-b)2,4ab之间的等量关系式为 方形。 (2)若m、n均为实数，且m+n=-2,mn=-3, 运用(1)所得到的公式求m-n的值： (3)如图③，S,S2分别表示边长为x、y的正 方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上， 第1个正方形第2个正方形 第3个正方形 若S,+S2=20,AB=x+y=6,求图中阴影部分 13.数学思想·换元思想(10分)若x满足(9-x) 的面积。 (x-4)=4.求(4-x)2+(x-9)2的值 解：设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab= 4,a+b=(9-x)+(x-4)=5, 所以(4-x)2+(x-9)2=a2+b2=(a+b)2- 2ab=52-2×4=17。 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若x满足(x-2025)2+(x-2028)2=31,求 (x-2025)(x-2028)的值。 18(a+36)=-b-362,所以M-N=a2-ab-2b-(-ab-36)= 11.解：x6-1 a+b2.国为a≠0.所以a2+b2>0.所以M>N。故选A (1)由结论，得原式=(3-1)(3+3+3+…+3+1) 【方法总结】比较两数或式子的大小可以利用作差法来进 130-1 行比较 ×2=(30-1)x}-3 22一 11.A 【变式1】D【解析】原式=2x3-2mx2+4x+x2-mx+2=2x （2)原式.-2)”+-2)+(-2)++(-2)+x(-2- 3 +(-2m+1)x+(4-m)x+2,因为积中x的二次项系数和 一次项系数相等，所以-2m+1=4-m,解得m=-3。故选 1)=-2)m-1.1-2m -3 D 第3课时完全平方公式的认识 【变式2】6【解析】(x-3)(2x+m)=2x+mx-6x-3m= 1.B2.C 2x2+(m-6)x-3m。因为(x-3)(2x+m)中不含x的一次 3.解：(1)原式=a2-2a+1: 项，所以m-6=0,则m=6。 (2)原式=4x2+4y+y。 12.3【解析】因为(a+2h)(a+b)=t2+3ab+2b,所以需要 4.C5.A6.±10 C类卡片3张。 7.12【解析】x2+y2=10,=1,所以(x+y)）2=x2+y2+2y 13.解：(1)(a2-ab+b) 10+2×1=12 (2)原式=(x3+y3)-(x3-y3)=x+y3-x3+y3=2y3。 8.45【解析】(a+b)的第三项系数为6=1+2+3：(a+b) 14.解：(1)根据题意，得(x+a)(x+6)=x+(6+a)x+6a=x+ 的第三项系数为10=1+2+3+4：…：则(+b)"的第三项 8x+12,(x-a)(x+b)=x+(-a+b)x-ab=x+x-6,所以6+ 系数为1+2+3++(n-2)+(n-1),所以(a+b)0第三项 u=8,-a+b=1,则a=2,b=3: 系数为1+2+3+…+9=45。 (2)当a=2,b=3时，(x+a)(x+b)=(x+2)(x+3)=x2+ 第4课时完全平方公式的运用 5x+6 1.A2.1 3乘法公式 3.解：(1)二 第1课时平方差公式的认识 (2)2962=(300-4)2=300-2×300×4+42=90000-2400+ 1.B2.D3.B 16=87616 4.48【解析】因为(x+y)(x-y)=x2-y2,x+y=6,x-y=8,所 4.B5.D 以x-y2=6×8=48。 6.C【解析】(x-y)2=x2+y2-2y,所以2xy=x2+y2-(x-y) 【变式】1【解析】因为(2a+2b+1)(2a+2b-1)=(2a+ 2b)2-1=3,所以4(a+b)2=4。所以(a+b)2=1。 =20-16=4,所以=2。故选C。 5.D6.C 【归纳总结】①x2+y2=(x+y)2-2y:②x2+y2=(x-y)2+ 7.解：(1)3”-2 (2)原式=2×(3-1)(3+10(3+1)(3+1)(3+1)(3+ 7.解：原式=2-2y+y2+y2-2y+2y+y=y,当x2025 2×(3-10(3+1)(3+1)(3+10(3+1)=1× y=2025时，原式=1。 ×(3 2 8.A【解析】(a-2b)2=(a+2b)2-8ab=72-8×6=1。故选 -1)(3+1)(3*+1)(3+1)=2x(30-1)(3+1)(3+1) 【归纳总结】完全平方和公式与完全平方差公式之间的关 2×(3-1)(3“+1)= 3”-1 系：(a+b)2-(a-b)2=4ab。 2 9.D【解析】国为x+2(b-1)x+4是完全平方式，所以2(6 第2课时平方差公式的运用 -1)x=2x·2或2(b-1)x=-2x·2,解得b=3或-1。因 L.D【变式】①23④ 为a+3=0,所以a=-3,所以a=(-3)3=-27或a= 2.D3.B 4.解：(1)原式=(10-0.1)×(10+0.1)=10-0.12=100- (-3)=- 3。故选D 0.01=99.99: 10.C (2)原式=(900-25)×(900+25)=900-252=810000-625 11.C【解析】设AB=xCm,AD=ycm,因为长方形ABCD的 =809375 周长是12em,正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 5.解：(1)原式=y2-(3x)2-4y+4y2=y2-9x2-4y+4y2=5y cm2.所以x+y=6,x2+y2=20,所以x2+y2=(x+y)2-2xy= -9x2-4xy; 20,所以6-2y=20,所以y=8。故选C。 (2)原式=a2-42-4(a-1)(a+1)=02-16-4(a2-1)=a2 12.(2n+1)【解析】由题可知第(n-1)个图形需要n2个小 16-4a'+4=-3a2-12。 6.解：增加了。理由如下：由题可得，原来长方形草坪长(x+ 正方形，第n个图形需要(n+1)2个小正方形，所以 (n+1）-n=n+2n+1-n2=2n+1。 12)米，宽(x-12)米，面积为(x+12)(x-12)平方米，则草 坪面积的变化为x3-(x+12)(x-12)=144(平方米)，所以 13.解：设x-2025=a,x-2028=b.则a2+b2=31.a-b=x 改造后草坪面积增加了144平方米。 2025-x+2028=3,所以a2-2ab+b2=(a-b)2=9,所以31 7.C【解析】(3m+1)(3m-1)-(3-n)(3+n)=9m2-1-(9- -2ab=9,解得ah=11,即(x-2025)(x-2028)=11。 14.解：(1)(a-b)2=(a+b)-4ab n2)=10n2-10=10(n2-1),10能整除(3n+1)(3n-1)-(3 -n)(3+n)。故选C。 (2)因为(m-n)2=(m+n)2-4mn.m+n=-2.mn=-3.所 8.x2-1【解析】根据题意，得(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x 以(m-n)2=(-2)2-4×(-3)=16,所以m-n=4或-4： =1。 (3)由题意可知S,=x,S2=y2,所以S,+S2=x2+y2=20, 9.解：(1)二去括号时，括号前面是负号，括号内的项要变 而AB=x+y=6,(x+y)2=x2+2xy+y2,所以6=20+2y,所 号，而第二项没有变号 1 (2)原式=a2+2ab-(a2-6)=a2+2ab-a2+b=2ab+b 以y=8,所以5指=29y+2y=对=8。 10.解：长方体的容积为：(4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b)= 4整式的除法 16u-81b(m),答：这个游泳池的容积是(16a- 1.B2.C3.a2b 816)m3。 4解：(1)原式=[20÷(-5)]xy3=-4: 追梦之旅·ZBB·七年级数学下第3页