第09讲 正弦定理（3大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第09讲 正弦定理 目录 题型归纳 1 题型01 正弦定理及辨析 3 题型02 正弦定理解三角形 3 题型03 正弦定理判定三角形解的个数 4 题型04 正弦定理求外接圆半径 5 题型05 正弦定理边角互化的应用 6 题型06 三角形面积公式及其应用 6 题型07 射影公式 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 知识点01正弦定理 定理 正弦定理 内容 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2 R 知识点02利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况． 知识点03三角形的面积公式及应用 三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为： (1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解． 题型01正弦定理及辨析 【例1】（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）使正弦定理的成立的三角形是（　　）三角形 A．锐角 B．直角 C．任意 D．钝角 【变式1】（21-22高一下·山东临沂·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·陕西商洛·期末）在钝角中，角A，B，C的对边分别a，b，c，已知，则A，B，C中， 是钝角． 【变式3】（23-24高一下·安徽合肥·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是 . 题型02 正弦定理解三角形 【例2】（23-24高一下·新疆·期中）在中，已知，，，则（    ） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90° 【变式1】（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 【变式3】（23-24高一下·福建福州·期末）在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 题型03 正弦定理判定三角形解的个数 【例3】（21-22高一下·江苏南京·期末）已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式1】（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期中）（1）在中，已知，，，求. （2） 在中，已知，，，解这个三角形 题型04 正弦定理求外接圆半径 【例4】（23-24高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24高一下·浙江温州·期中）若的外接圆的半径，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【变式3】（22-23高一下·河北邯郸·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求外接圆的周长； (2)若，求的周长. 题型05 正弦定理边角互化的应用 【例5】（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【变式3】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 题型06 三角形面积公式及其应用 【例6】（23-24高一下·福建漳州·期中）在中角对边满足的面积为6，则（    ） A．4 B． C．6 D．6或 【变式1】（23-24高一下·陕西安康·期中）在中，，，，则的面积 . 【变式2】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求角A； (2)若的面积，，求的值． 【变式3】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求； (2)若，且，则的面积为，求、. 题型07 射影公式 【例7】（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【变式1】（多选）（21-22高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 【变式2】（高一下·安徽亳州·期末）中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为 . 【变式3】（高二下·河南·期末）在中，是角A，B，C的对边，已知，现有以下判断： ①；②可能等于16；③的面积可能是. 请将所有正确的判断序号填在横线上 . 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原·期中）在中，，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 4．（20-21高一下·云南德宏·期中）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，则满足下列选项的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（21-22高一下·北京·期末）已知锐角的内角的对边分别为，若，则 . 8．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为 . 四、解答题 9．（23-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 10．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，在边上，且平分，若， (1)证明：； (2)求的面积； (3)求的长． 11．（23-24高一下·浙江·期中）记的内角的对边分别为，面积为，且． (1)求的外接圆的半径； (2)若，且边上的高，求角． 12．（23-24高一下·河北·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，求外接圆的半径， (2)若的面积为，求的大小及的周长． 13．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．若，则 B．若，则满足条件的有两个 C．若，则是钝角三角形 D．存在，使得成立 6．（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若符合条件的三角形有2个，则整数x构成的取值集合为 . 8．（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 四、解答题 9．（22-23高一下·河北邢台·期中）在中，分别为内角的对边，已知． (1)求的最小值； (2)若，，求外接圆的周长 10．（23-24高一下·湖北·期中）已知分别为的三个内角的对边，且的面积. (1)求角的大小; (2)若，且，求. 11．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）在中，内角的对边分别为，，，已知，，. (1)求的周长； (2)求的值． 12．（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，在中，，， . (1)求的值； (2)设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值. 13．（24-25高一上·广西柳州·期中）在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知. (1)求. (2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 正弦定理 目录 题型归纳 1 题型01 正弦定理及辨析 3 题型02 正弦定理解三角形 5 题型03 正弦定理判定三角形解的个数 8 题型04 正弦定理求外接圆半径 10 题型05 正弦定理边角互化的应用 12 题型06 三角形面积公式及其应用 15 题型07 射影公式 19 分层练习 22 夯实基础 22 能力提升 32 知识点01正弦定理 定理 正弦定理 内容 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2 R 知识点02利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况． 知识点03三角形的面积公式及应用 三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为： (1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解． 题型01正弦定理及辨析 【例1】（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）使正弦定理的成立的三角形是（　　）三角形 A．锐角 B．直角 C．任意 D．钝角 【答案】C 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】利用正弦定理直接判断作答. 【详解】由正弦定理知，在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等， 因此，对于任意，都有，其中分别是角所对的边， 所以正弦定理适用于任意三角形. 故选：C 【变式1】（21-22高一下·山东临沂·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】由正弦定理结合求得，即可求出. 【详解】由正弦定理可得，则，，又，则. 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·陕西商洛·期末）在钝角中，角A，B，C的对边分别a，b，c，已知，则A，B，C中， 是钝角． 【答案】B 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】根据三角形中的边角关系即可求解. 【详解】因为,所以，所以B是钝角． 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·安徽合肥·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是 . 【答案】/0.5 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】由题可得，化简即可得到答案 【详解】因为是锐角三角形，在上的射影长等于的外接圆半径，所以， 由正弦定理可得：，所以，因此. 故答案为： 题型02 正弦定理解三角形 【例2】（23-24高一下·新疆·期中）在中，已知，，，则（    ） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90° 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】∵，，， ∴由正弦定理，可得：， ∵，∴或． 故选：C． 【变式1】（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角. 【详解】在中，由正弦定理得， 而，所以或． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，即，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·福建福州·期末）在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 【答案】(1)； (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可求出，由可求出； （2）中应用余弦定理求即可. 【详解】（1）在中由正弦定理得：， 因为，， 故， 又，则. 所以 （2）由，， 故， 因为， 所以在中由余弦定理得：， 故. 题型03 正弦定理判定三角形解的个数 【例3】（21-22高一下·江苏南京·期末）已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理得到的值，因为为三角形中的角，即，利用正弦函数的性质得到满足条件的个数即可. 【详解】因为，根据正弦定理得，代入得到， 由大边对大角可知，，所以或. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即， 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期中）（1）在中，已知，，，求. （2）在中，已知，，，解这个三角形 【答案】（1）（2）答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】（1）直接由余弦定理即可求解； （2）首先由正弦定理求出或，再结合三角形内角和、余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理有，即，故； （2）由正弦定理有，即，解得， 由可知，，而，，所以， 结合，可知或， 当时，有，由余弦定理有， 即， 解得或（舍去）； 当时，有，由余弦定理有， 即， 解得或（舍去）； 综上所述，或. 题型04 正弦定理求外接圆半径 【例4】（23-24高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·浙江温州·期中）若的外接圆的半径，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得：, 所以. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【详解】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一下·河北邯郸·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求外接圆的周长； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2). 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题意得，由正弦定理可求外接圆的半径，进而可求外接圆的周长； （2）由余弦定理可得，可求，，进而可求的周长． 【详解】（1）由题意得，所以. 设外接的半径为R，则，得. 故外接圆的周长为. （2）由余弦定理，得， 由，得，得， 所以，. 故的周长为. 题型05 正弦定理边角互化的应用 【例5】（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 【变式2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由向量平行，可得，再由正弦定理和余弦定理可得的值，进而求出角的大小； （2）由余弦定理可得的值，即可求得周长． 【详解】（1）由，，且， 可得：， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 所以，又，所以； （2）由，，故 由，由余弦定理，可得， 解得， 所以的周长为． 题型06 三角形面积公式及其应用 【例6】（23-24高一下·福建漳州·期中）在中角对边满足的面积为6，则（    ） A．4 B． C．6 D．6或 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】运用余弦定理，结合同角三角函数关系和面积公式求解即可. 【详解】，可得， 的面积为，解得， ， 由余弦定理，可得：， 解得： 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·陕西安康·期中）在中，，，，则的面积 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用余弦定理及同角公式求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 则， 所以的面积. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求角A； (2)若的面积，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理计算可得，即可求得； （2）由三角形面积计算可得，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理即可求得结果. 【详解】（1）由，利用正弦定理可得， 又因为，所以，可得； 所以， 又， 可得. （2）由（1）知， 解得； 由余弦定理得，所以     由正弦定理可得； 所以 【变式3】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求； (2)若，且，则的面积为，求、. 【答案】(1) (2)， 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求的值； （2）由题意利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立方程即可求解，的值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 所以， 可得：， 因为，所以， 所以， 因为，所以 （2）因为，且，则的面积为， 所以， 又由余弦定理可得：， 所以， 由，解得：，或 因为，所以 题型07 射影公式 【例7】（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、射影公式、已知三角函数值求角 【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 故选：B 【变式1】（多选）（21-22高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【知识点】求sinx的函数的单调性、正弦定理判定三角形解的个数、射影公式、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦函数单调性结合诱导公式判断A；利用余弦定理、正弦定理计算判断B，C；利用射影定理计算判断D作答. 【详解】对于A，锐角中，，即，而正弦函数在上单调递增， 则有，整理得，A正确； 对于B，的最大角为C，由余弦定理得，则C是锐角，B不正确； 对于C，由正弦定理得：，无解，即符合条件的三角形不存在，C正确； 对于D，在中，由射影定理及得：， 则，而，解得，即为直角三角形，D正确. 故选：ACD 【变式2】（高一下·安徽亳州·期末）中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、射影公式、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积. 【详解】，由边角互化思想得， 即，， 由余弦定理得，， 所以，，因此，，故答案为. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题. 【变式3】（高二下·河南·期末）在中，是角A，B，C的对边，已知，现有以下判断： ①；②可能等于16；③的面积可能是. 请将所有正确的判断序号填在横线上 . 【答案】① 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、射影公式 【分析】根据余弦定理得三角形的三边的关系，再利用均值不等式的积与和之间的不等转化，得到和的最大值，从而得解. 【详解】由三角形的射影定理得故①正确； 由余弦定理得 所以 所以又因为， 解得，故②错误. 因为，所以解得 所以 故③错误． 故得解. 【点睛】本题考查余弦定理和均值不等式的应用，属于中档题. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原·期中）在中，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径. 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 4．（20-21高一下·云南德宏·期中）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由题意，根据正弦定理可得，结合余弦定理计算即可求解； 法二：由题意，根据射影定理可得，结合余弦定理计算即可求解； 【详解】方法一： ，由正弦定理可得， ，，． 又，． ． ，则． 方法二： 因为，由射影定理可得， 又，． ． ，则． 故选：A 二、多选题 5．（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由于，有唯一解，则或，即， 所以可能的取值为1，，AD正确，BC错误. 故选：AD 6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，则满足下列选项的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出角即可判断A；利用余弦定理求出即可判断B；利用正弦定理判断C、D. 【详解】对于A：因为，所以，故有唯一解，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理， 所以，故有唯一解，故B正确； 对于C：因为， 由正弦定理，即， 结合且知有解，则有解，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理，即， 结合，可得，故只能取锐角，所以有唯一解，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 7．（21-22高一下·北京·期末）已知锐角的内角的对边分别为，若，则 . 【答案】/ 【分析】由正弦定理边化角，再利用中即可化简求解. 【详解】解：在锐角中，因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 8．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为 . 【答案】 【分析】先由已知条件结合正弦定理得到，然后证明，最后说明当时，即可得到周长的最大值为. 【详解】由已知有， 结合正弦定理就有，故. 从而， 故，从而，由知. 而当时，满足全部条件，此时. 所以周长的最大值为. 四、解答题 9．（23-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. （2）由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 10．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，在边上，且平分，若， (1)证明：； (2)求的面积； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理，，结合条件可得证结论； （2）根据（1）和余弦定理，解得长，结合三角形面积公式计算得到结果； （3）由，代入公式解得，再计算的结果. 【详解】（1） 证明：在中，在边上，且平分， 所以,，, 在中，， 在中，， 两式作比值可得，， 化简得. （2）因为平分，所以， 设，由余弦定理，得， 即，解得． （3）由，得， 解得，所以． 11．（23-24高一下·浙江·期中）记的内角的对边分别为，面积为，且． (1)求的外接圆的半径； (2)若，且边上的高，求角． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由三角形面积公式结合正弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式得结合已知得，进一步由正弦定理以及三角形内角和即可求解. 【详解】（1）在中，， 解得， 由正弦定理得的外接圆的半径． （2）由（1）知，即 又，所以， 所以，所以，所以. 12．（23-24高一下·河北·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，求外接圆的半径， (2)若的面积为，求的大小及的周长． 【答案】(1)； (2)详见解析. 【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得，再次利用正弦定理计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得或，利用余弦定理分别求出a，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以．又， 所以． （2）的面积， 则，因为，所以或． 当时，， 得的周长为． 当时，， 得的周长为． 综上，的周长为或 13．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简可得，据此再化简所求，利用二次函数的性质得解. 【详解】由，正弦定理得，即， 又，得； 又， 所以； 因为，因此，即，得， 由于为锐角三角形，则， 所以，解得， 又， 因为，所以， 由二次函数性质得，若存在最大值，则，解得. 故选：D 2．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意求出，再根据两角和的正弦公式求得，利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由题意知：在△ABC中，，则为锐角， 所以，因为，且，所以为锐角或钝角， 当，则， 于是 ， 又由 ，， 可得 ， 当，则， 于是 ， 又由 ，， 可得， 故选：D. 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合重要不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 二、多选题 5．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．若，则 B．若，则满足条件的有两个 C．若，则是钝角三角形 D．存在，使得成立 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，结合正弦定理即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据三角形内角和定理结合两角和的正切公式即可判断CD. 【详解】对于A，若，则， 由正弦定理可得，故A正确； 对于B，若，则， 因此满足条件的有两个，故B正确； 对于C，若，则， 所以，，所以， 所以是钝角三角形，故C正确； D. 由于当时，， 所以，故D不正确. 故选：ABC. 6．（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理判断出三角形有一解的条件，对照选项一一验证即可. 【详解】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或. 故选：BCD. 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若符合条件的三角形有2个，则整数x构成的取值集合为 . 【答案】 【分析】由已知结合正弦定理列不等式，即可求解. 【详解】当时，符合条件的三角形有2个， 所以，解得，则整数x构成的集合为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高一下·河北邢台·期中）在中，分别为内角的对边，已知． (1)求的最小值； (2)若，，求外接圆的周长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得结果； （2）利用两角和差余弦公式和已知等式可构造关于的方程，解方程求得，进而得到；利用正弦定理可求得外接圆半径，进而求得周长. 【详解】（1），由正弦定理可得：， 由余弦定理得：（当且仅当时取等号）， 的最小值为. （2），， ，解得：或， 又，，又，； 设外接圆半径为， 由正弦定理得：，， 外接圆的周长为. 10．（23-24高一下·湖北·期中）已知分别为的三个内角的对边，且的面积. (1)求角的大小; (2)若，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据面积公式结合正弦定理化简得出正切值进而求出角； （2）应用余弦定理化简得出边长. 【详解】（1）由三角形面积公式，得，         再由正弦定理得  ，因为      ,      所以，可得，所以. （2）由余弦定理， 得7，                                 即，                                             又，所以，                             联立上面两个式子可得或 11．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）在中，内角的对边分别为，，，已知，，. (1)求的周长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，利用余弦定理运算求解即可； （2）利用余弦定理结合（1）数据可得，，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为，由余弦定理可得， 即，解得（舍负），即， 所以的周长为. （2）由（1）可知：，， 则，可知角A为钝角， ，可知角B为锐角， 可得， 则， 且，可得， 所以. 12．（23-24高一下·江西萍乡·期中）如图，在中，，， . (1)求的值； (2)设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在由余弦定理求，再由正弦定理求， （2）由条件结合三角形面积公式可得，由余弦定理求，由此可得的解析式，再求其最值. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 又，， ， 所以， 则， 由正弦定理得：，即，解得； （2）由题知，， 解得：， 由余弦定理得：，， 则， 所以， 当，即时，取最小值，. 13．（24-25高一上·广西柳州·期中）在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知. (1)求. (2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两向量平行得到一个等式，再根据正弦定理以及三角形内角和为可求得结果； （2）先根据外接圆半径比例得到各自的外接圆，从而得到的长，再根据三角形面积公式得到内切圆的半径，最后利用三角形面积之间的关系得到结果. 【详解】（1），，， 所以， 根据正弦定理可变形为：， 移项可得：， 根据两角和的正弦公式可得：， 因为，所以， 因为，所以，即， 所以； （2）设外接圆的半径为，的外接圆半径为， 所以， 根据外接圆半径公式， 在中，，， 则，， 在中，， 所以，， 在中，，则， ，解得或， 因为为锐角，所以， 因为点E为的内心，设的内切圆半径为，如图所示： ， 根据三角形面积公式， 又， 解得， ， 所以的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$