专题06 复数（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一复数易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校复数易错题精选 专题二：复数培优题精选 专题三：复数全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校复数易错题精选 1．已知，则（    ） A．1 B． C． D． 2．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3．若复数满足，则（   ） A． B． C． D．125 4．设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 5．实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 6．（多选题）已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则D．若，则 7．（多选题）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 8．（多选题）已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 9．（多选题）已知z，，是复数，则以下正确的是（    ） A．复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限 B． C． D． 10．（多选题）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）设，均为模是1的复数，则（    ） A． B． C． D．的最大值为5 12．（多选题）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B．若，均不为，则 C．若，则 D．若，则 13．（多选题）设，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 15．（多选题）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 16．（多选题）已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（    ） A． B．与实部之和为 C．为纯虚数 D． 17．若复数，则= 18．已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是 . 专题二：名校复数培优压轴试题精选 1．设的三个顶点为复平面上的三点，，，满足，，，则内心的复数坐标的虚部所在区间是（    ）. A． B． C． D．前三个选项都不对 2．已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 4．（多选题）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（    ） A．集合的元素按乘法得到一个八元集合 B．若非零元，则有： C．若，则有： D．若非零元，则有： 5．已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ． 6．如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 7．已知复数，，则n的最小值为 ． 8．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 9．设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为 ． 10．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 11．代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 12．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 13．如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. (1)已知，求的三角形式； (2)已知为定值，，将复数化为三角形式； (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 14．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 15．已知常数，设关于的方程． (1)在复数范围内求解该方程． (2)当时，设该方程的复根分别为，证明： (3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）． (4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立． 16．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ，， ，其中，读作的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）； ②设，求集合的元素个数． 17．已知关于x的方程（）的两根为、，求实数m的值. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 18．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 专题三：复数全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三上·全国·竞赛）记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·全国·竞赛）设复数，则的虚部是（    ） A．-3 B．3 C． D． 3．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知复数（其中为虚数单位），的共轭复数为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2017高三下·广西玉林·竞赛）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·浙江·竞赛题）已知复数满足，则 ． 6．（2024高二下·北京·竞赛）设复数满足，令，则的最大值是 . 7．（2024高二下·全国·竞赛）设k是实数，若对任意模为1的虚数z，均有不是实数，则k的取值范围是 ． 8．（2024高二下·重庆·竞赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 .（其中i为虚数单位） 9．（2024高三下·上海·竞赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 . 10．（2024高三上·全国·竞赛）设，则 ． 11．（2021高一下·广东佛山·竞赛）设复数满足，则 . 12．（2023高二·全国·竞赛）设复数（i为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为 . 13．（2023高三下·全国·竞赛）复数，且，则实数 . 14．（2022高三·浙江宁波·竞赛）已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ． 15．（2022高三·浙江丽水·竞赛）已知复数满足，若为实数（i为虚数单位），则为 . 16．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知虚数满足为实数，，则实数的值是 . 17．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知：为虚数，且为实数，则 . 18．（2021高三·全国·竞赛）设复数､､满足，则 . 19．（2021高三·全国·竞赛）设，其中为虚数单位，.设，则的实部为 . 20．（2021高三·全国·竞赛）已知实数x、y满足，则 ． 21．（2020高三·江苏·竞赛）已知复数满足，则的最大值为 ． 22．（2021高三·全国·竞赛）已知z为复数，且关于x的方程有实数根，则的最小值为 ． 23．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数，，则n的最小值为 ． 24．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为 数. 25．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，是方程的两个复数根，则 ． 26．（2024高三下·全国·竞赛），求的值. 27．（2014高二·全国·竞赛）若，关于x的一元二次方程有实根，求使复数z的模取得最小值时的复数z. 28．（2024高三上·北京·竞赛）复平面与交点个数 29．（2022高三·浙江金华·竞赛）设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和. 30．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数满足，，则的最小值为？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一复数易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校复数易错题精选 专题二：复数培优题精选 专题三：复数全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校复数易错题精选 1．已知，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算z，再求 【详解】解：因为，所以， 所以，则，所以 故选： 2．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 3．若复数满足，则（   ） A． B． C． D．125 【答案】B 【分析】据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解. 【详解】，则，则，则. 故选：B. 4．设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】A 【分析】由集合相等得出为虚数，然后确定，只能是，再设且，代入求解． 【详解】由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 5．实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式代入计算即得. 【详解】由是方程的3个根，得， 所以 . 故选：B 6．（多选题）已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，设，由共轭复数定义可判断选项正误； 对于B，由复数的向量定义结合三角形三边关系可判断各选项正误； 对于C，通过举特例可判断选项正误； 对于D，由复数模长定义可判断选项正误. 【详解】对于A，设. 则， ，则，故A正确； 对于B，平移向量，，使两复数在复平面对应向量起点相同， 则对应向量为由对应向量终点指向对应向量终点所形成的向量， 若对应的向量不共线，则向量，，对应图形可组成三角形， 由三角形三边关系可得：， 若对应的向量共线，且方向相反，则， 若对应的向量共线同向，则, 综上，，故B正确； 对于C，令，，则， 但，，，故C错误； 对于D，因，， 则. 故D正确. 故选：ABD 7．（多选题）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 8．（多选题）已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 【答案】ABC 【分析】ABC，通过特例即可判断；对于D，通过平方求得，即可求解； 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，令，满足，此时不成立，错误； 对于D，由，，可得， 可得：， 所以, 所以，则，正确； 故选：ABC 9．（多选题）已知z，，是复数，则以下正确的是（    ） A．复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A根据共轭复数的几何意义判断；B利用向量表示复数，再由向量的三角不等式判断；C、D设，，且，应用复数共轭复数、加法、乘法运算化简整理判断. 【详解】对于A：由z对应的点与对应的点关于x轴对称，则复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第二象限，错误； 对于B：设，在复平面对应向量分别为，，则，，正确； 对于C、D：设，，且， 则，C正确； ，D正确， 故选：BCD 10．（多选题）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. 11．（多选题）设，均为模是1的复数，则（    ） A． B． C． D．的最大值为5 【答案】BC 【分析】根据题设，复数和均为模是1的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，利用这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项． 【详解】对于A，设，，则，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，， 则， 所以，， ，所以，故C正确； 对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离， 因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误． 故选：BC． 12．（多选题）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B．若，均不为，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】设，，计算可得可判断A；计算可知不一定恒成立，可判断B；计算可得，可判断C；，不一定为，可判断D. 【详解】设，，则，， 对于A，，， 则，即，所以A选项正确； 对于B，，所以， ，，则， 则不一定恒成立，所以B选项不正确； 对于C， ， 即，即，所以C选项正确； 对于D，若， 即，不一定为，所以D选项不正确. 故选：AC. 13．（多选题）设，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，整理可得.结合选项逐项分析判断即可. 【详解】设，则， 可得， 所以，可知. 对于选项A：因为，故A不可能成立； 对于选项B：因为，方程组无解，故B不可能成立； 对于选项C：因为，方程组无解，故C不可能成立； 对于选项D：因为，解得，故D成立； 故选：ABC. 14．（多选题）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的模计算判断A，根据复数的除法计算判断B，再由纯虚数、实数的概念判断CD. 【详解】，故A正确； ，虚部为，故B错误； 为纯虚数，，即，故C正确； 为实数，，解得，故D正确. 故选：ACD 15．（多选题）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据两个虚数无大小关系判断C；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断D. 【详解】对于A，设，显然，但，故A错误； 对于B，设，，则， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量， 为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度， 所以，故D正确. 故选：BD. 16．（多选题）已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（    ） A． B．与实部之和为 C．为纯虚数 D． 【答案】ACD 【分析】设出两个复数的代数形式，由题解出或，对照选项逐一验证即可． 【详解】对AB：设， 因为，即 ， 由题意可得①，②， 所以， 即，且，与①②联立可得或； 所以，故B错误，A正确； 对C：，或，故C正确； 对D： ，故D正确. 故选：ACD． 17．若复数，则= 【答案】 【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果. 【详解】由， 所以，故. 故答案为： 18．已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据虚根特点及模的几何意义，分两种情况分别求出参数范围即可. 【详解】若方程有两个虚数根，设（）， 所以，，，两个根、满足，， 表示在以为圆心2为半径的圆上，所以，所以， 所以. 若方程有两个实数根，同理有， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 专题二：名校复数培优压轴试题精选 1．设的三个顶点为复平面上的三点，，，满足，，，则内心的复数坐标的虚部所在区间是（    ）. A． B． C． D．前三个选项都不对 【答案】A 【分析】由对称性及，不妨设，则，，根据韦达定理知，是方程，可得方程两根为、，不妨设，，则在复平面上的顶点坐标为，，，设的内心为，根据三角形内心的性质即可求解. 【详解】由对称性及，不妨设， 则，. 由韦达定理知，是方程的两个根， 则方程的两根为、. 不妨设，， 则在复平面上的顶点坐标为，，, 则, 设三角形内心为，由内心的性质知 ， 所以， 解得， 又， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的几何意义及三角形的内心性质，解题的关键是要熟悉三角形内心性质. 2．已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，进而根据方程的虚根和实数根分类讨论，即可求解. 【详解】若是方程的两个虚数根，所以， 且，则， ，解得，（满足）， 若是方程的两个实数根，所以， 且，则， 当时，，， 当时，，， 由可得， 令，由于，所以， 故函数在单调递减，且， 故在无实数根， 综上可得，零点个数为3， 故选：C 3．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键. 4．（多选题）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（    ） A．集合的元素按乘法得到一个八元集合 B．若非零元，则有： C．若，则有： D．若非零元，则有： 【答案】ACD 【分析】对于A，利用已知条件求出所求集合为即可；对于B，直接给出反例，即可；对于C，利用的定义计算即可；对于D，利用C选项的结果验证即可. 【详解】对于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，若，设，，则 ，故C正确； 对于D，根据题目中的定义有，从而. 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题. 5．已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ． 【答案】10 【分析】由一元二次方程，复数根互为共轭复数根，一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），因此圆心在轴上，据此分类讨论可求得结论. 【详解】 ， 对比系数可得，， ，， 复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点 情况1，四个根两两互为共轭复数，故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，， ，， ， 类似计算可得， ，， 因为， 所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个， 情况2，四个根有2个为实数，另外2个为共轭复数故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，，，， 计算可得，， ，， 因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性， 从而可得，此时集合的个数为5个， 综上：满足条件的不同的个数为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：重点在于一元二次方程，复数根互为共轭复数根，进而确定一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，从而4个根两两互为共轭复数根，进而确定圆心，从而分类讨论求解. 6．如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 【答案】 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 7．已知复数，，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设，利用乘方和复数相等列方程解方程即可. 【详解】不妨设，， 由题可知， ①，可知满足条件即n最小值为3（验证可知小于3不满足）． ②，验证可知满足（验证可知小于3不满足）． 综上可知． 故答案为：3. 8．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空. 【详解】，， 所以， 由题意可得， 所以， 又因为，所以， 则 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. 9．设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义确定的轨迹，数形结合计算即可. 【详解】设，其在复平面对应的点为， 易知，，， 所以P在上，Q在以A为圆心，1为半径的圆上， 由圆的对称性，不妨令平分， 即直线上存在点P满足， 如下图所示，显然当与圆相切时，张角最大， 此时可知， 根据图形可知：设直线与轴的交点为B，则，显然， 过A作轴交直线于C，则， 易知，则为等腰直角三角形，即， 故直线上满足的点有两个即或， 显然当点P横坐标小于0或大于2时，可知圆上不存在点满足， 即不符合题意，故 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用复数的几何意义确定动点轨迹，数形结合计算即可. 10．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 11．代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简该方程后借助因式分解结合求根公式计算即可得； （2）化简方程后借助推论三计算即可得； （3）设出中点，代入计算后结合推论三可得点坐标，结合体型菱形对角线垂直计算即可得解. 【详解】（1）由题意，，即，所以， 所以或，对，有， 即复根有. （2）由题意，，化简得，， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得. （3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点， 由得，所以， 即， 化简得：， 由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解， 故，解得，故， 又，故 由菱形，可得， 所以， 故． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于对推论三的理解与运用，从而结合题意得到中点的坐标. 12．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 13．如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. (1)已知，求的三角形式； (2)已知为定值，，将复数化为三角形式； (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【分析】（1）根据复数的乘法运算律计算即可； （2）结合二倍角余弦及正弦公式计算化简即可； （3）应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 【详解】（1） . （2）. （3）正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性可知，共有5个不同的值， 故复数所对应不同点的个数为5． 【点睛】关键点点睛：应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 14．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用共轭复数的定义及复数的相关概念计算即可； （2）根据条件式及共轭复数的意义变形得，再结合第一问的结论证明即可； （3）利用第一问与第二问结论证明即可. 【详解】（1）设， 则，， 显然，得证； （2）由已知， 又由（1）知， 所以，得证； （3）因为，所以，即有， 所以， 由（2）知， 所以，得证. 【点睛】思路点睛：利用共轭复数的定义及几何意义并注意设问之间的递进关系一一证明即可. 15．已知常数，设关于的方程． (1)在复数范围内求解该方程． (2)当时，设该方程的复根分别为，证明： (3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）． (4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据分类讨论得到不同的方程再求解方程的根； （2）在一元二次方程中，根据判别式的不同情况，求解根验证韦达定理即可证明； （3）通过方程分解因式的方法层层递进即可得证； （4）由（3）得复系数二次方程有两个复数根，结合分解因式和对应系数相等，得到证明； 【详解】（1）当时，方程有无数个根，所有根组成的集合是； 当时，方程无根； 当时，方程的根为； 时，配方得． ①当时，方程有两个实根 ． ②当时，方程化为， 由于，因此． 由于，因此， 故方程有两个复根． （如果认为，然后把两种情况合并成一种情况，则只能得1分． 因为我们只曾定义过，但从来没有规定过，而也不能推出． 这是因为开方这种运算本身仅对非负实数而言，对负数是没有意义的． 就算，那为什么不是？我们从来没定义过对负数开根是什么概念，更没有规定过根号下有负数时的运算规则．） 再次强调：不是，“”不能写成“”，i仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足． （2）①当时， ②当时，根据复数的运算法则，得 （如果和（1）一样认为合并情况的话，只能得1分） （3）一元次复系数多项式方程至少有一个复根， 不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即． 由复数的运算法则可知，方程是一元次复系数多项式方程． 不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即． 重复该过程，最终， 其中为常数，．显然有个复数根（重根按重数计）． （4）由（3）得复系数二次方程有两个复数根，分别设为，则原方程可化为， 即， 和原方程比较系数，得 即． 16．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ，其中，读作的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． 数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）； ②设，求集合的元素个数． 【答案】(1) (2)①；②168 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）①利用给定定义计算求解即可；②利用给定定义结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）由， 知，故， 对于复数， 则，且，故可取， 所以的三角形式为； （2）①的近似值为 ； ②解法一： ， 依题可知， 所以， 即，又因为， 所以，即， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168． 解法二： （注：）    所以，即， 因为， 且当时，，当时，， 所以， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168； 解法三： （注：）    所以，即， 因为， 且当时，，当时，， 所以， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168． 【点睛】关键点点睛：本题考查复数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用定义结合三角恒等变换，得到所要求的集合内的元素个数即可． 17．已知关于x的方程（）的两根为、，求实数m的值. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1)-2或； (2)-2或. 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参； （2）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参. 【详解】（1）若、为实数， 则，即. 由韦达定理可得 所以， 解得，符合题意. 若、为虚数，则，即. 由韦达定理可得 设，，a、且， 则，解得. 因为，所以， 所以，符合题意. 综上，m的值为-2或. （2）①当、为实数，即时， ，即，所以，所以. 当时无解；当时，. ②当、为一对共轭虚数，即时，. 由，可知|， 则. 综上，m的值为-2或. 【点睛】方法点睛：分类讨论根据实系数一元二次方程的根为实数或一对共轭虚数分别计算求参. 18．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【详解】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即，所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 专题三：复数全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三上·全国·竞赛）记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，即复数在复平面内对应的点位于第二象限，，即复数在复平面内对应的点位于第二象限，，即复数在复平面内对应的点位于第三象限，，即复数在复平面内对应的点位于第三象限，，即复数在复平面内对应的点位于第四象限，故的最小值为.故选：C. 2．（2024高三上·全国·竞赛）设复数，则的虚部是（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A【详解】依题意：，则，所以其虚部为.故选：A. 3．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知复数（其中为虚数单位），的共轭复数为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】复数，有， ，所以A正确；，所以B正确；，所以C正确；，所以D错误. 故选：D 4．（2017高三下·广西玉林·竞赛）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】，由于是纯虚数，所以，解得，所以.故选：B 5．（2024高二下·浙江·竞赛题）已知复数满足，则 ． 【答案】【详解】设R)，由，得，所以，由，得，所以，，解得或，所以．故答案为： 6．（2024高二下·北京·竞赛）设复数满足，令，则的最大值是 . 【答案】【详解】因为，所以，，复数在复平面上所对应的点在以为圆心，为半径的圆上，是以为圆心，为半径的圆上的点到两点间的距离，到的距离为，所以，的最大值为.故答案为：. 7．（2024高二下·全国·竞赛）设k是实数，若对任意模为1的虚数z，均有不是实数，则k的取值范围是 ． 【答案】或【详解】由模为1的虚数z，设，则，由不是实数，得当时，，整理得，解得，由，得，于是，则或，所以k的取值范围是或.故答案为：或 8．（2024高二下·重庆·竞赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 .（其中i为虚数单位） 【答案】/【详解】设（不同时为且），则，因为为纯虚数，所以，所以或，当时，，则当时，，当时，复数对应的点是以为圆心，为半径的圆（除去实轴、虚轴上的点），而表示点与点的距离，因为，所以点在圆内，所以，综上所述，的最小值为.故答案为：. 9．（2024高三下·上海·竞赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 . 【答案】5【详解】设为方程的模为1的虚根，则.因此，所以，代回原式得.（1）当，（2）当.所以正整数的最小值为5.故答案为：5. 10．（2024高三上·全国·竞赛）设，则 ． 【答案】10【详解】由题意，所以.故答案为：10. 11．（2021高一下·广东佛山·竞赛）设复数满足，则 . 【答案】5【详解】设，则，于是，解得，则.故答案为：. 12．（2023高二·全国·竞赛）设复数（i为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为 . 【答案】2【详解】解：.因，而当时，，故的最大值为2.故答案为：2. 13．（2023高三下·全国·竞赛）复数，且，则实数 . 【答案】【详解】 ，由题意得或或，若，则，不满足，舍去；若，则，不满足，舍去；若，则，满足题意，故，故答案为： 14．（2022高三·浙江宁波·竞赛）已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ． 【答案】【详解】设根为的根为，由题意，即且．①当时，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾；②当时，为实数且为虚数，且，所以；此时，故或，且或， 这四个点为以为中心，且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点.③当时，均为虚数，因为为实数，故为共轭复数且，故的实部为，同理的实部为，，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾．综上：．故答案为：. 15．（2022高三·浙江丽水·竞赛）已知复数满足，若为实数（i为虚数单位），则为 . 【答案】【详解】由得点Z是以，为焦点，长半轴长是5的椭圆，则，所以点Z的轨迹方程为.又为实数，可设，代入轨迹方程得，故.故答案为： 16．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知虚数满足为实数，，则实数的值是 . 【答案】4【详解】设，，则 ，因为且为实数，故，故.故答案为：4. 17．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知：为虚数，且为实数，则 . 【答案】3【详解】设，则，则，则，.故答案为：3. 18．（2021高三·全国·竞赛）设复数､､满足，则 . 【答案】2【详解】解析：.故答案为：2. 19．（2021高三·全国·竞赛）设，其中为虚数单位，.设，则的实部为 . 【答案】【详解】，故，故，故，从而实部为.故答案为：. 20．（2021高三·全国·竞赛）已知实数x、y满足，则 ． 【答案】【详解】解析：令，则原方程组（令）（舍）或．故答案：. 21．（2020高三·江苏·竞赛）已知复数满足，则的最大值为 ． 【答案】3【详解】解析：由题意可得，则表示复平面上点到的距离．如图所示，，由此可得．故的最大值为3．故答案为：3. 22．（2021高三·全国·竞赛）已知z为复数，且关于x的方程有实数根，则的最小值为 ． 【答案】1【详解】解析： x为实数根，若，则，矛盾；故，故，于是我们可以得，当且仅当时等号成立，故所求的最小值为1．故答案为：1. 23．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数，，则n的最小值为 ． 【答案】3【详解】不妨设，，由题可知，①，可知满足条件即n最小值为3（验证可知小于3不满足）．②，验证可知满足（验证可知小于3不满足）．综上可知．故答案为：3. 24．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为 数. 【答案】虚【详解】 ，故，方程两边同乘以得，，这是一个关于的实系数一元二次方程，又三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且 ，故为虚数（当且仅当，即为直角三角形时，为纯虚数）故答案为：虚 25．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，是方程的两个复数根，则 ． 【答案】【详解】将方程整理得，因此，因此，进而，，因此．故答案为：. 26．（2024高三下·全国·竞赛），求的值. 【答案】【详解】令，，则，，有，柯西不等式：，相加得，（一个圆盘），同时，（一个圆环），令，即，两边平方得，解得：，数形结合得. 27．（2014高二·全国·竞赛）若，关于x的一元二次方程有实根，求使复数z的模取得最小值时的复数z. 【答案】【详解】解：设，并设为方程的实根，则，∴，∴，因为时无解，所以由②可得，代入①式有：，（∗） ，当且仅当，即时，等号成立，此时，由（∗）知a，b同号，所以. 28．（2024高三上·北京·竞赛）复平面与交点个数 【答案】0个【详解】当，可设，进而，因为，因此．根据复数的性质可得，因为，因此，所以，，但无论k取哪个整数，对应的均使，故无解，所以复平面与交点个数为0个. 29．（2022高三·浙江金华·竞赛）设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和. 【答案】满足条件的复数之和为.【详解】设则原方程变为，所以若，则，但当时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①②，故满足条件.若，则由②知，但显然不满足①，故只能是，代入①解得，进而，相应有.综上所述，满足条件的复数之和为. 30．（23-24高三下·全国·强基计划）已知复数满足，，则的最小值为？ 【答案】【详解】若，则，得，矛盾；若，则，解得.故是实数，从而由知，代入得或，矛盾；以上讨论表明，必有.而当时，对，有，且有，故满足条件.所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$