专题05 导数的概念与计算（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二导数的概念与计算易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校导数的概念与计算易错题精选 专题二：名校导数的概念与计算培优题精选 专题三：导数的概念与计算全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校导数的概念与计算易错题精选 1．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的．现已知直线与抛物线：交于两点，且为第一象限的点，在处的切线为，线段的中点为，直线轴所在的直线交于点，下列说法错误的是（    ） A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B．切线的方程为 C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 D．若分别取的中点，过且垂直轴的直线分别交于，则 【答案】C 【分析】直接由题目面积新定义求解判断A；联立值域与抛物线求出点的坐标，求导确定切线斜率，求出切线方程判断B；令求解即可判断C；根据条件依次求出各点的坐标，分别计算三角形的面积即可判断D. 【详解】根据题意作出示意图，如图所示． 对于A，内接三角形的面积为，故A正确； 对于B，联立得解得 又为第一象限的点，当时，， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，由，得，令， 弓形面积为不等式不成立，C错误； 对于D，由知，轴，， 又的中点分别为，，成立，D正确. 故选：C． 2．曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意，设切点，利用导数求得切线方程，进而，设，利用导数研究函数的零点个数，即为所求切线条数. 【详解】首先判断点是否在已知曲线上. 因为，所以点不在函数的图象上. 由题意知，， 设曲线过点的切点为， 则     (1)     (2) 切线的方程为， 因为切线过点，代入切线方程：     (3) 由得 整理得. 设，则， 令，或， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 则的极大值为，极小值为， 且， 故的图象与轴有3个不同的交点，即方程有3个不同的根， 所以曲线过点的切线有3条. 故选：D 3．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程结合切线有且仅有1条，令判别式为即可求解. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 4．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标，然后利用平行线间距离公式求解即可． 【详解】由题知，，令，得， 又，可得点， 所以点到直线的距离最短， 为. 故选：A. 5．已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 6．（多选题）已知函数在点处的切线与圆相切于点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先设公切线，再根据直线和圆相切得出，进而得，判断A，B,应用基本不等式计算判断C，D. 【详解】设公切线为，得，所以公切线， 又因为与圆相切，切点为，所以公切线， 故，联立得，故A正确； 因为，所以由式子得，故B错误； 由A可知，又因为，所以， 当且仅当时取等号，此时，该情况下公切线不存在，所以，故C正确； 因为，且，所以，故D正确. 故选:ACD. 7．（多选题）设直线、分别是函数在点、处的切线，若，且、分别与轴相交于点、，则（   ） A． B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；由结合对数运算可判断B选项；求出两切线方程，可求出点、，结合平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项； 【详解】不妨设，设，则， 由题意可知，， 若、，则，矛盾； 若、，则，矛盾. 所以，必有，所以，由， 可得，故A正确； 不恒为，故B错误； 由题意可得，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， ，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， 故，故C正确； 又，故D错误. 故选：AC. 8．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】/0.375 【分析】由题意得出两抛物线在第一象限相切，设两抛物线的公共切点为，借助导数，求出两条曲线在该点处的切线斜率，利用斜率相等建立方程求出切点坐标，代入函数即可得解. 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 9．已知函数，且，则 ，曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 1 【分析】求出导函数，解方程得值，再求出得切线斜率，即可求出切线的方程． 【详解】函数，求导得， 由，得； 函数，，，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：1； 10．过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 . 【答案】 【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线和方程，然后将代入两式得到直线所过定点，再利用两点间距离公式求出结果即可； 【详解】 设，，，则， 方程：化为， 同理方程：，将代入两式：，. 故，都在直线上， 而代入化为： 此为直线方程，恒过点，焦点，即为F到距离最大值. 故答案为：. 11．若直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】 【分析】分别设切点为，，求得切线方程为，，得，，进而可得. 【详解】设直线与曲线与的切点分别为，， 则，， 由，可知 切线方程为，， 即，， 故，， 由得，代入， 得，化简得， 故， 故答案为： 12．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ． 【答案】2 【分析】利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程，再联立方程组，令判别式为，得到，求解参数即可. 【详解】令，则，故切点为， 设切线斜率为，而，则， 则曲线在处的切线方程为， 由题意得曲线在处的切线也是曲线的切线， 联立方程组，， 得到，则，解得. 故答案为：2 13．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 14．已知直线与曲线相切，则直线的方程为： . 【答案】 【分析】根据直线过定点，进而根据单调性可知为切点，求导，即可根据点斜式求解方程,当不是切点时，根据，构造函数求解方程的根即可求解. 【详解】将变形为，故直线恒过点，又经过点， 若直线与相切于点， ，故， 所以直线的方程为，即， 若直线与不相切于点，设切点为，则 ，故， 故， 化简可得， 记， 则， 由于且， 在单调递增，故单调递增，且， 故，因此在单调递减， 由于，结合可知，当时，无实根， 故当不是切点时，无满足条件的切线方程， 综上可知：切线方程为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据直线经过定点，根据切点是否为，结合求导求解. 15．曲线在，两点处的切线互相垂直，则 ． 【答案】1 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义、互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为，， 当时，则有，，此时， 显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 显然，因此不成立，不符合题意； 当，则有，， 此时． 故答案为：1 16．如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；一直继续下去，得到数列． (1)求证：； (2)若函数，记． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据函数在点处的切线斜率为，写出函数在点处的切线方程，再由切线过点求解； （2）（ⅰ）根据，利用结论求解；（ⅱ）由（ⅰ）得到，从而，然后假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，即互不相等求解. 【详解】（1）证明：函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 解得， （2）（ⅰ）因为，所以， ， ， 则， 又，则是以2为首项，2为公比的等比数列，； （ⅱ）由（ⅰ）知， 所以， 所以． 假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列， 则互不相等， 所以，即， 又因为成等差数列，所以，所以． 化简得，所以，又， 所以与已知矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 【点睛】方法点睛：先利用为首项，为末项求得，然后利用反证法，假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，利用等比中项论证. 17．已知曲线和曲线． (1)若为曲线上的一动点，当点到直线的距离最小时，求点的坐标； (2)若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，再借助直线平行，斜率相同，再结合导数求切点即可； （2）设出切点，再运用导数几何意义构造方程组计算即可. 【详解】（1）由题意知，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，对求导，得， 令，得，所以点的坐标为． （2）设直线与曲线的切点坐标为，求导得， 则在点处的切线斜率为，可得切线方程为，整理得 ①. 设直线与曲线的切点坐标为，求导，得， 则在点处的切线斜率为，切线方程为，整理得 ②. 因为①②表示同一条直线，则 ③，且 ④. 由③可得，将其代入④得：，即， 解方程，得. 那么. 把代入①式得切线方程为. 18．已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得切线斜率，由直线的点斜式方程即得， （2）根据对称可知为奇函数，即可利用定义域对称求解. 【详解】（1）当时，， 则 ，又 故在点处的切线方程为，即 （2）由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称， 即为奇函数， 则由的定义域关于原点对称，可得，即， 于是，定义域为，故 联立解得 19．已知函数. (1)求； (2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法求解原函数即可. （2）利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程，再结合给定条件求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，故. （2）因为，所以在处的切线方程 为，即， 设在处切线为， 因为，所以，化简得， 因为，所以，解得，故的值为. 专题二：名校导数的概念与计算培优压轴试题精选 1．过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点得到，令，，依题意与在上有三个交点，求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，说明函数的单调性，求出函数的极值，即可得到需满足的条件，从而得解. 【详解】设切点为，又，所以，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，即， 令，，依题意与在上有三个交点， 又， 当，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则与在上不可能有三个交点，故舍去； 同理可得当时与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时恒成立，则在上单调递增， 与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以且； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又， ，，， 所以且. 综上可得，可能成立的只有. 故选：C 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 3．过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先画出平面图形，求出的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将化简为的形式，由基本不等式即可求得最值. 【详解】如图，设，，， 由于曲线，则， 所以在点的切线方程为， 同理在点的切线方程为， 由于点是两切线的交点，所以， 则为，且过， 且，设，， ， 当且仅当时“”成立， 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为. 4．已知曲线的对称中心为点，曲线上两个不重合的动点、关于点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：计算出，可得出函数的对称中心的坐标，可得出，且，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围； 方法二：分析可知，，可得出，且，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】方法一：因为， 得曲线的对称中心为， 所以，即， ， 又因为、两点不重合，故，得， 所以. 方法二：不妨设点，由题意可得， 等式两边求导得，即， 点、关于点对称，则， 则， 又，所以， 即， 又，化简得，则，可得， 所以，， 因此，的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 5．（多选题）曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D．数列的前项和小于2 【答案】ACD 【分析】利用导数求函数在处的切线方程，令，可得，可判断A的真假；利用A得到的递推公式，探索与的关系，判断B的真假；根据B中的结论，可求数列的通项公式，判断C的真假；根据ABC中的正确结论，对数列进行放缩，再结合等比数列的求和公式，判断D的真假. 【详解】因为，所以. 所以函数在点处的切线方程为：. 对A选项：在切线方程中，令，得：， 所以，故A正确； 对B选项：因为， ， 两边取自然对数，得：. 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，故B错误； 对C选项：由B可知：.故C正确； 对D选项：因为， 又， ，所以， . 设，则， 所以，，，，…，， 所以. 即数列数的前项和小于2.故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用导数求出函数在点处的切线，令得到数列的递推公式后，根据题目的提示，研究数列的性质，进而求出数列的通项公式. 6．（多选题）已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由条件结合奇函数性质可得，取求判断A，由，可得（为常数），结合条件证明，由此证明为周期函数，求判断C，再证明为周期函数，并求，判断C，再结合周期性求，判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以， 取可得，， 所以，A正确； 由，可得， 所以（为常数）， 又，所以， 所以， 取可得，，故， 所以，又， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数为周期为的周期函数， 因为，所以，， 所以，， 所以， 所以，， 又， 所以，又， 所以，C正确； 因为，， 所以， 所以，所以函数的周期为， 所以， 所以函数为周期为的函数， 又，， ，，B错误； 所以， 所以， D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于由条件推出，结合条件消去，可得，由此证明为周期函数，再利用周期性求解结论. 7．（多选题）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求导函数利用奇函数的定义及性质判断A，赋值求值判断B，赋值法结合的周期求值判断C，由及的奇偶性与周期性求和判断D. 【详解】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故， 由，得， 所以，代入， 得， 即，又因为是奇函数， 所以，，即， 所以是周期函数，且周期为4，，故A正确； 对选项B，在中，令得，， 在中，令得，，故，故B正确； 对于C：，令，得， 因为是周期函数，且周期为，， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D：由得， ， 由A选项知，令得，故， 因为是周期函数与奇函数，且周期为， 所以，即， 因为，所以 所以，故D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛： 1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称； 2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称； 3.若，则为周期函数且周期为； 8．（多选题）已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，若是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．4为的周期 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】BCD 【分析】由题意首先得判断A，对求导即可判断C，结合奇函数的导函数是偶函数可得的周期，由此即可判断B，注意到，由此即可判断D. 【详解】由，得，即， 代入，得， 则的图象关于点对称，故A错误； 由，得， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 由，得， 又因为是奇函数，所以是偶函数，则， 所以是的周期，故B正确； ，由，，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛： 1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称； 2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称； 3.若，则为周期函数且周期为； 9．（多选题）若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 【答案】BC 【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断. 【详解】A项，由题意得有三个零点， 则至少有三个单调区间，故有两个不等实根， 所以，解得，故A错误； B项，由题意可知， 则， ， 同理 ，故B正确； C项， ， 若成等差数列，则， 则，，则， 所以，即，故C正确； D项，若成等比数列，则，， 故，， 则，由，可知，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷. 10．（多选题）已知，，是函数的三个零点（，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】因为函数有三个零点，所以极大值大于0，极小值小于0，可求的取值范围，判断A的真假；再根据零点和极值点的关系，结合零点存在性定理，可以判断B的真假；设，求导，假设，推导该结论成立的可能性，判断C的真假；表示出函数在3个零点出的导数，带入，整理，可判断D的真假. 【详解】因为，又， 由或，由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 因为函数有3个零点，所以，故A成立； 又，所以，且， 所以，故成立，即B成立； 因为函数有3个零点，所以可设， 则， 所以，，， 若有，则. 由B可知，可设，，（，） 则， 由，这与矛盾，所以不成立，故C错误； 因为：，故D成立. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对C选项，因为容易判断ABD是正确的，所以估计C是错误的，第一个想法是令取特殊值，验证C不成立.但是该方法的难点是不知道令取多少才能计算零点，所以该问题采用了类似反证法的思想，先假设C是正确的，看看推导出来的结论有无矛盾即可. 11．已知，为曲线上两个不同的点，过、分别作的两条切线，若这两条切线交于点，且这两条切线的斜率之积为，则当取得最小值时， . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入利用基本不等式求出最小值时的值. 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以， 代入上式得，， 所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是表示切线方程，从而求出、，再结合，转化为的式子. 12．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 【答案】 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 13．设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 . 【答案】1 【分析】应用导数几何意义求切线方程，联立抛物线得，结合交点个数有，即有，令并应用导数研究的零点，即可求. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线为， 联立抛物线，得，则， 由切线与抛物线有一个公共点，则， 所以且，则， 令，则，即， 若且，则， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且， 在上，单调递减，在上，单调递增，且， 综上，. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：首先求出切线方程并联立抛物线，根据得到为关键. 14．若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 【答案】 【分析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点，由题意可得，化简可得，则，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点， 由，得；由得. 则， 所以，所以，即. 设，则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数. 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力. 15．已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知构造函数，对其求导可确定函数. 16．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数满足的表达式以及奇偶性利用赋值法可求得，且函数和的周期都为3，代入计算即可得出结果. 【详解】令，可知， 又因为，可得，所以； 令，可得， 所以， 因为是奇函数，可知为偶函数， 因此； 由两式相减可得； 即， 可得； 所以，即函数的周期为3，所以的周期也为3； 可得 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给条件由赋值法并结合函数奇偶性以及导函数性质计算得出函数和导函数的周期，再进行计算即可. 17．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 【答案】2 【分析】为偶函数，则，两边求导得到，即，结合，得到，故是以4为周期的周期函数，由，可得，则可求. 【详解】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】知识点点睛：设函数，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 18．已知函数 (1)当时， 求曲线的斜率为1的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，记过两点的直线的斜率为k，是否存在实数，使得?若存在，求的值，若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，其中 (3)不存在实数，使得，理由见解析 【分析】（1）当时，，设在处的切线斜率为1，进而可求得，可求切线方程. （2）对求导，对参数进行分类讨论即可. （3）由（2）可知当且仅当时，有两个极值点，且，根据题意列出等式，由分析法判断方程的解的情况即可. 【详解】（1）当时，，求导可得， 设在处的切线斜率为1，所以， 整理得，解得，所以，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）对求导得， 令， ①当时，，，故在上单调递增， ②当时，，的两根都小于零，在上，， 故在上单调递增， ③当时，，的两根为正数， 当时，；当时，；当时，； 故分别在上单调递增，在上单调递减.时，上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，其中. （3）不存在实数，使得，理由如下： 由（2）可知当且仅当时，有两个极值点，，， 由题意可得 ， 由（2）可知是的两根， 所以由韦达定理有，所以， 由题意若，则有， 且注意到，所以，又因为，所以有， 不妨设，则， 求导得， 所以函数在上严格单调递减，且注意到， 所以，又，所以，注意到且， 所以不可能成立， 综上所述：不存在实数，使得. 【点睛】关键点点睛：含参单调性问题，常常采用分类讨论的方法，或参变分离，转化为恒成立问题，通过求函数的最值处理. 19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取. (1)求和； (2)求和的关系； (3)证明:. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解； （2）求出直线的方程， 直接求横截距即可. （3）借助第（2）题的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，再进行放缩得，利用不等式的性质和数列分组求和即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 令，得，， ，所以， 令，得. （2）由题意得，， 令，得. （3）由（2）知，， 所以， 由几何意义易知：， 所以， 由得，， 即，所以， 所以， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理. 20．已知函数在和处取得极值. (1)求a，b； (2)曲线在相异的两点，处的切线分别为和，且和的交点在直线上. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意，又得解a，b的值，并检验； （2）（ⅰ）求出切线和的方程，并求其交点，即可得证；（ⅱ）由（ⅰ）的结论，结合基本不等式求范围. 【详解】（1）， 因为在和处取得极值， 所以即解得 经检验，当时，在和处取得极值，符合题意， 所以，. （2）（ⅰ），， 因为，，， 在点A处的切线方程为， 在点B处的切线方程为， 联立两个切线方程，得， 解得， 故两切线交点的横坐标为， 由题意，得， 所以， 即. （ⅱ）由（ⅰ），得， 所以， 结合，所以， 解得.故的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，求出切线和的方程，并求其交点，运算量较大. 21．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值. (2)若正项数列的前项和为，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求，，结合切线方程可得，的值； （2）（i）结合指数与对数的关系，要证转换为，设，不等式化为，构造函数，求导确定单调性与最值即可得结论；（ii）先证明，即证，构造函数即可得证，从而可得，结合等比数列的前项和即可证得结论. 【详解】（1）， 由题意可得，则， 又，切点在切线上， 所以，则，所以，解得； （2）（ⅰ）因为，所以要证，即证 又，所以即证， 因为数列为正项数列，所以可设，不等式化为， 设，则恒成立， 故函数在上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，则原命题得证； （ii）先证明，即证， 设， 则， 又设函数，则，所以时，， 则函数在上单调递增，故， 即当时，恒成立，所以， 所以， 所以，则在上单调递增， 所以，则所证不等式成立， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以当时，， 又当时，， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数h(x)； (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 22．过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【详解】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 专题四：导数的概念与计算全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三上·全国·竞赛）如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：切线方程的斜截式为，斜率， 所以. 故选：C 2．（2013高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解. 【详解】∵，设为所求的点， 则 得，，则点P到直线的最小距离为． 故选:A. 3．（2017高二·全国·竞赛）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的“拐点”是，则点G（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【答案】D 【分析】对函数求导，根据“拐点”定义可得，即可知在直线上. 【详解】由可得， 所以，可得； 因此， 即“拐点”即为，在直线上． 故选：D． 4．（2024高三上·全国·竞赛）若三次函数满足，则（    ） A．38 B．171 C．460 D．965 【答案】B 【分析】设，求导，结合题意列式求，即可得结果. 【详解】设，则， 由题意可得：，解得， 则，所以. 故选：B. 5．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）若可导，，则“是在处可导”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先考虑充分性，即由，利用极限思想可得，，即得在处可导，再考虑必要性，由在处可导，分和两种情况讨论导函数在处附近的取值得到，即得结论. 【详解】若，则，故在处可导； 即“是在处可导”的充分条件； 若在处可导，当时，，则， 当时，，则， 故，， 于是，故得. 即在处可导；即“是在处可导”的必要条件. 故选：A. 6．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），则是在处可导的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】从充分性和必要性两个方面进行推到论证即可. 【详解】充分性： 若， 所以，因此在处是否可导，还需要看在处是否可导，因此不具备充分性； 必要性： ，在处可导只能代表有意义，不能得出，因此不具备必要性； 故选：D. 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边求导可得，C错误，D正确，举出反例得到AB错误. 【详解】CD选项，两边求导得， 故，，C错误，D正确， AB选项，可令，满足， ，即，可以得到，，AB错误. 故选：D 8．（16-17高三·北京·强基计划）满足的实系数多项式的个数为（    ） A．2个 B．4个 C．无穷多个 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用多项式恒等可求满足条件的函数的个数. 【详解】设，， 则， 而， 因为， 故， 的最高次数为， 若，则且，无解； 若，则，故，且，故， 故， 和符合题意． 综上所述，符合题意的实系数多项式的个数为1个． 故选：D 9．（20-21高三·北京·强基计划）已知，若方程有99个实数根，则的值为（    ） A．5050 B．1 C．0 D．100 【答案】C 【分析】根据代数式的对称性可得正确的选项. 【详解】根据题意，有． 故选：C. 10．（15-16高三·北京·强基计划多选题）设函数在区间上有定义，则（    ） A．当导数存在时，曲线在点处存在切线 B．当曲线在点处存在切线时，导数存在 C．当导数存在时，函数在处的导数等于零 D．当函数在处的导数等于零时，导数存在 【答案】AC 【分析】根据导数的几何意义可判断ABC的正误，根据特例可判断D的正误. 【详解】对于选项A，当导数存在时，曲线在点处存在切线， 所以选项A正确． 对于选项B，若曲线在点处的切线是轴，此时导数不存在，所以选项B错误． 对于选项C，令．当导数存在时， 因为， 所以选项C正确． 对于选项D，取， 则，此时在处的导数等于零， 但在处不可导，所以选项D错误． 故选：AC 11．（19-20高三·湖北武汉·强基计划多选题）设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（   ） A． B． C． D．，，成等差数列 【答案】ABC 【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可. 【详解】解：如图所示，函数与函数恰有个交点. 选项A，根据对称性可知，正确； 选项B，考虑在区间内，两函数在时相切，所以， 所以满足， 而， 所以，正确； 选项C，两函数在时相切，所以，所以，正确； 选项D，若，，成等差数列，则因为，关于原点对称，所以必有 ，即，则，则， 故不符合题意，错误. 故选：ABC. 12．（20-21高三下·广东·强基计划）设抛物线与相切，则 ． 【答案】 【分析】设两抛物线在处相切，显然，由题意可得，求解即可． 【详解】设两抛物线在处相切，显然， 问题等价于由线与在相切， 求导, 所以两式相除得， 解得，从而可得． 故答案为： 13．（2016高二·全国·竞赛）定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，可知在内有两个不同的根，结合二次函数根的分布，即可求解. 【详解】由于，则， 在上存在（）， 满足， 得， 即关于的一元二次方程在上有两个不同的根， 令，则等价于. 所以实数a的取值范围是， 故答案是：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果，属于中档题. 14．（2017高二·全国·竞赛）函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则 ． 【答案】 【分析】依题意，过原点的直线与函数在区间内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数的图象与过原点的直线恰有四个交点， 直线与函数在区间内的图象相切， 在区间上，y的解析式为， 故由题意切点坐标为， 切线斜率 由点斜式得切线方程为：， ， 直线过原点，，得， . 故答案为：. 15．（2023高三上·全国·竞赛）设定义在R上的可导函数与的导函数分别为和．若，与均为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】根据已知得，由偶函数得、且，进而有，则，应用累加求. 【详解】由题设，则①， 为偶函数，则，即，则②， 令得，则， 为偶函数，即，则③， 由①，结合②③，即④， 由①④，，则 ，，…… , 累加得，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由偶函数及复合函数的导数得、、，进而得到，最后有为关键. 16．（2017高一·江苏盐城·竞赛）函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足，则的范围是 ． 【答案】 【分析】通过构造辅助函数，根据已知利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性建立不等式求解. 【详解】令， 则， 所以函数在单调递增，函数在单调递减， ， ， 即的范围是. 故答案为：. 17．（16-17高三·北京·强基计划）已知罗尔中值定理：若函数满足：①在上连续；②在上可异；③，则存在，使得． (1)试证明拉格朗日中值定理：若函数满足：①在们上连续；②在上可导，则存在，使得． (2)设的定义域与值域均为且在其定义域上连续且可导．求证：对任意正整数n，存在互不相同的，使得． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用罗尔中值定理可证等式成立. （2）将间划分为n个区间：，对每个小区间分别应该中值定理后可得相应的结论. 【详解】（1）构造函数， 则， 由罗尔中值定理可得：存在，使得， 即即. （2）把区间划分为n个区间：， 对在每个区间应用拉格明日中值定理， 可得存在，使得， 其中，把这n个等式相加即得． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二导数的概念与计算易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校导数的概念与计算易错题精选 专题二：名校导数的概念与计算培优题精选 专题三：导数的概念与计算全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校导数的概念与计算易错题精选 1．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的．现已知直线与抛物线：交于两点，且为第一象限的点，在处的切线为，线段的中点为，直线轴所在的直线交于点，下列说法错误的是（    ） A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B．切线的方程为 C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 D．若分别取的中点，过且垂直轴的直线分别交于，则 2．曲线过点的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 4．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 6．（多选题）已知函数在点处的切线与圆相切于点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）设直线、分别是函数在点、处的切线，若，且、分别与轴相交于点、，则（   ） A． B． C． D．直线的斜率为 8．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 9．已知函数，且，则 ，曲线在点处的切线方程为 . 10．过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 . 11．若直线是曲线与的公切线，则 ． 12．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ． 13．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 14．已知直线与曲线相切，则直线的方程为： . 15．曲线在，两点处的切线互相垂直，则 ． 16．如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；一直继续下去，得到数列． (1)求证：； (2)若函数，记． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 17．已知曲线和曲线． (1)若为曲线上的一动点，当点到直线的距离最小时，求点的坐标； (2)若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线的方程． 18．已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 19．已知函数. (1)求； (2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求 专题二：名校导数的概念与计算培优压轴试题精选 1．过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 3．过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知曲线的对称中心为点，曲线上两个不重合的动点、关于点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D．数列的前项和小于2 6．（多选题）已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，若是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．4为的周期 C．的图象关于直线对称 D． 9．（多选题）若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若成等差数列，则 D．若成等比数列，则 10．（多选题）已知，，是函数的三个零点（，），则（    ） A． B． C． D． 11．已知，为曲线上两个不同的点，过、分别作的两条切线，若这两条切线交于点，且这两条切线的斜率之积为，则当取得最小值时， . 12．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 13．设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 . 14．若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 15．已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ． 16．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则 ． 17．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 18．已知函数 (1)当时， 求曲线的斜率为1的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，记过两点的直线的斜率为k，是否存在实数，使得?若存在，求的值，若不存在，试说明理由. 19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取. (1)求和； (2)求和的关系； (3)证明:. 20．已知函数在和处取得极值. (1)求a，b； (2)曲线在相异的两点，处的切线分别为和，且和的交点在直线上. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的取值范围. 21．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值. (2)若正项数列的前项和为，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 22．过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 专题四：导数的概念与计算全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高三上·全国·竞赛）如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2013高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 3．（2017高二·全国·竞赛）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的“拐点”是，则点G（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 4．（2024高三上·全国·竞赛）若三次函数满足，则（    ） A．38 B．171 C．460 D．965 5．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）若可导，，则“是在处可导”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），则是在处可导的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 8．（16-17高三·北京·强基计划）满足的实系数多项式的个数为（    ） A．2个 B．4个 C．无穷多个 D．前三个答案都不对 9．（20-21高三·北京·强基计划）已知，若方程有99个实数根，则的值为（    ） A．5050 B．1 C．0 D．100 10．（15-16高三·北京·强基计划多选题）设函数在区间上有定义，则（    ） A．当导数存在时，曲线在点处存在切线 B．当曲线在点处存在切线时，导数存在 C．当导数存在时，函数在处的导数等于零 D．当函数在处的导数等于零时，导数存在 11．（19-20高三·湖北武汉·强基计划多选题）设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（   ） A． B． C． D．，，成等差数列 12．（20-21高三下·广东·强基计划）设抛物线与相切，则 ． 13．（2016高二·全国·竞赛）定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 . 14．（2017高二·全国·竞赛）函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则 ． 15．（2023高三上·全国·竞赛）设定义在R上的可导函数与的导函数分别为和．若，与均为偶函数，则 ． 16．（2017高一·江苏盐城·竞赛）函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足，则的范围是 ． 17．（16-17高三·北京·强基计划）已知罗尔中值定理：若函数满足：①在上连续；②在上可异；③，则存在，使得． (1)试证明拉格朗日中值定理：若函数满足：①在们上连续；②在上可导，则存在，使得． (2)设的定义域与值域均为且在其定义域上连续且可导．求证：对任意正整数n，存在互不相同的，使得． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$