广东省中山市中山纪念中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2024-2025年第二学期初三数学学科素养水平测验 （测试时间：120分钟，满分：120分） 一、单项选择题：本大题10小题，每题3分，共30分. 1.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2.下列事件中是必然事件的是　　 A．明天太阳从东方升起 B．投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．平面内，任意一个五边形的外角和等于 3.已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＜4 D．k＞0 4.已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣4 B．a＞﹣3 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6.如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2 7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（﹣3，2）， B（﹣2，0），D（4，0），则点C的坐标是（　　） A． （4，﹣6） B．（6，﹣4） C．（6，﹣5） D．（﹣6，4） 8.如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE为（　　） A．8 B．2 C．3 D．2 9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△ADE，延长BC交DE于点G，则∠EGB为（　　） A．75° B．105° C．115° D．125° 题6图 题7图 题8图 题9图 10.如图，小明从离地面高度为1.5m的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的.现在地上摆放一个底面半径为0.3m，高为0.42m的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　） 题10图 A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 　 　． 12.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黄球可能有　 　个． 13.假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）满足函数关系式y＝50t﹣t2，则经过　 秒后，飞机停止滑行． 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，以点B为圆心，AB为半径画弧，以BC为直径画半圆，则图中阴影部分面积为 　 　. 题14图 题15图 15. 矩形ABCD中，AB＝2，，点E，F分别是边AD和BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.解方程：3x2﹣7x+2＝0． 17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）． （1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C； （2）求点A旋转到点A'的过程中所经过的路径长。（结果保留π）； 题17图 18.九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人． （1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是 　 　； （2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19.如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长． 题19图 20.某经销商购进了一批文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件． （1）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为1050元； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 21.已知等边△OAB，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数y（x＞0）经过AB的中点M，与OB边相交于点N． （1）求k的值； （2）连接OM、MN，求△OMN的面积． 题21图 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG． （1）若∠BAF＝18°，求∠DAG的度数； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若，请求出的值． 题22图 23.如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当MN＝2MP，求t的值； （3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值； 题23图 2024-2025年第二学期初三数学学科素养水平测验 数学评分标准 一、单项选择题：本大题10小题，每题3分，共30分. 1—5：BAACC 6—10：ABDBB 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 4 12. 20 13. 25 14.4 15.1 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.解：∵a＝3，b＝﹣7，c＝2， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×3×2＝49﹣24＝25...............................................................3分 ∴x .............................................................................................5分 ∴x1＝2，x2．..................................................................................................7分 17.解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求； .............................................................3分 （2）①∵AC5，∠ACA′＝90°.................................................5分 ∴点A经过的路径的长为............................................................7分 18.解：（1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是．.............2分 （2）画树状图如下： .........................................................5分 由树状图可得，共有12种等可能的情况，分别为甲乙、甲丙、甲丁、乙甲、乙丙、乙丁、丙甲、丙乙、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙。其中甲同学被选中的结果有6种， ∴甲同学被选中的概率为．.......................................................................................... 7分 4、 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19.解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO， ∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝60°， ∴∠DCO＝∠ACO+∠ACD＝∠ACO+∠OCB＝60°． ∴△OCD为等边三角形． ∴∠ODC＝60°．................................................................................................................3分 （2）由旋转的性质得，AD＝OB＝4．∠ADC＝∠BOC＝150° ∵△OCD为等边三角形， ∴OD＝OC＝5．.....................................................................................................................5分 ∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝90°．..................................................................................................................7分 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO．..............9分 20.解：（1）设销售单价为x元， 由题意可得：（x﹣30）[20+2（70﹣x）]＝1050， 解得x1＝65，x2＝45， ∴当销售单价为65元或45元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为1050元..........4分 （2）设销售这款文化衫每天所获得的利润为w，由题意可得： w＝（x﹣30）[20+2（70﹣x）]＝﹣2x2+220x﹣4800............................................................6分 整理得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250..........................................................................................8分 ∵﹣2＜0， ∴当x＝55时，w取最大值为1250．....................................................................................9分 21.解：（1）∵等边△OAB，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限， ∴B（8，8），即B（4，4）， ∵M是AB的中点， ∴M（2，6），....................................................................................................................2分 ∵反比例函数y（x＞0）经过AB的中点M， ∴k＝26＝12..............................................................................................................4分 （2）作MC⊥x轴于C，ND⊥x轴于D，则S△MOC＝S△NODk， ∵B（4，4）， ∴直线OB为yx， 由解得或（舍去）， ∴N（6，2），........................................................................................................................6分 ∴S△OMN＝S△OMC+S梯形MCDN﹣S△OND＝S梯形MCDN（6+2）（6﹣2）＝12 .............9分 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22.解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°............................................................................................4分 （2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴，， ∴，...................................................................................................................6分 ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD；........................................................................................................8分 （3）∵， 设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k， ∴AFk，ACAB＝3k，.................9分 ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF，........................................................................................................11分 ∴， ∴．..................................................................................................13分 23.解：（1）直线与x轴、y轴交于B，A两点，则点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0）． 由题意得：， 解得： ∴抛物线的解析式为；....................................................................4分 （2）∵点P（t，0），则点，， ∴，， ∵MN＝2MP， ∴， 解得：t＝1或4（与点B重合，舍去）， ∴t＝1；.................................................................................................................................9分 （3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值， 连接NA、NB，如下图所示， ∵点B的坐标为（4，0）、A（0，2）， ∴OB＝4，OA＝2， 由（2）得：MN＝﹣t2+4t， ∴8， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为；..................................................................................................14分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$