3.3  质数和合数（2个知识点+4类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（苏教版）

3.3 质数和合数 学习重难点 学习目标 1、理解质数和合数的意义，“1”的特殊性。(重点) 2、掌握判断一个数是质数还是合数的方法。(难点) 3、能判断一个数是质数还是合数。(难点) 4、理解质因数的意义。(重点) 5、掌握分解质因数的方法。(难点) 6、能够对合数进行质因数分解。(难点) 1、理解质数与合数的意义，会判断一个大于1的自然数是质数还是合数。 2、理解质因数与分解质因数的意义，会把一个合数分解质因数。 知识点一质数与合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。一个数除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数， 知识点二分解质因数 1、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 题型一质数与合数的认识 1．一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 2．北京世界园艺博览会中，中国馆作为核心景观区，不仅外形亮眼，它还是一座“会呼吸，有生命”的绿色建筑。中国馆的钢结构屋盖安装有ABCD块光伏玻璃。ABCD是一个四位数，其中A大于0且不是质数，也不是合数；B是自然数中最小的偶数；C是最小的质数；D是最小的合数。一共安装了( )块光伏玻璃。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】A大于0且不是质数，也不是合数，则A＝1； B是自然数中最小的偶数，则B＝0； C是最小的质数，则C＝2； D是最小的合数，则D＝4； 一共安装了1024块光伏玻璃。 3．把下面各数写成两个质数相加的形式。 25＝( )＋( )        19＝( )＋( ) 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【解答】25＝2＋23        19＝2＋17 题型二质数与合数的综合应用 4．两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。 【分析】质数中，除2以外都是奇数。因为99是奇数，“奇数＋偶数＝奇数”，故这两个质数中一定有一个是2，则另一个是99－2＝97，因此这两个质数的乘积是2×97＝194； 两个质数的和是98，找出和和98的两个质数，再分别计算出两个数的积，最后比较积的大小。 【解答】99＝2＋97，则2×97＝194； 98＝19＋79＝31＋67＝37＋61 19×79＝1501，31×67＝2077，37×61＝2257 1501＜2077＜2257 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是194；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是2257。 5．能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【解答】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【点评】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 6．黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 【分析】人数是合数的数是可以分成排成方队展示的，而人数是质数的数是不可以排成方队的。只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数）；除了1和它本身，还有其他因数的数叫作合数。 【解答】39的因数：1、3、13、39，故39是合数，百灵鸟社团能排成3排，每排13个人的方队； 91的因数：1、7、13、91，故91是合数，航模社团能排成7排，每排13个人的方队； 41的因数：1、41，故41是质数，器乐社团不能排成方队； 23的因数：1、23，故23是质数，益智社团不能排成方队。 题型三质因数的含义 7．在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数。 【解答】在42＝6×7中，6和7都是42的因数；因为6是合数，7是质数，所以7是42的质因数。 因此在42＝6×7中，6和7都是42的因数，其中7是42的质因数。 8．在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。 【分析】一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。 【解答】在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。 9．15的因数有( )，其中是质数的有( )，这几个质数就是15的( )。 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。先应用列乘法算式法找到15的所有因数，再根据质数的概念，找出是质数的因数，据此解答。 【解答】，，所以15的因数有1，3，5，15，其中是质数的是3、5，这几个质数就是15的质因数。 题型四分解质因数 10．分解质因数。 14    38    56    70 57    50    85    135 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式叫做分解质因数；可以用相乘法写成几个质数相乘的形式；据此解答。 【解答】14＝2×7 38＝2×19 56＝2×2×2×7 70＝2×5×7 57＝3×19 50＝2×5×5 85＝5×17 135＝3×3×3×5 11．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 17    27    32    47    51    63    97 【分析】一个数（0除外）除了1和它本身两个因数以外，还有别的因数，这样的数叫合数，据此圈出合数；所谓分解质因数就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，据此解答。 【解答】如图所示： 27＝3×3×3 32＝2×2×2×2×2 51＝3×17 63＝3×3×7 12．将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 一、选择题 1．下面说法正确的是（    ）。 A．所有的偶数都是合数 B．最小的质数乘最小的合数积是6 C．a是一个质数，a＋1一定是一个合数 D．一个不为0的自然数不是奇数就是偶数 2．著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A．4＝1＋3 B．36＝17＋19 C．20＝5＋15 3．杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 4．下列说法（    ）是正确的。 A．42分解质因数是42＝2×21 B．，。数B一定是A的质因数 C．等式的两边各加上一个数，所得到的结果仍然是等式 D．当时，和相等 5．把36分解质因数（    ）。 A．36＝1×36 B．36＝2×2×3×3 C．36＝4×3×3 二、填空题 6．在括号里填上合适的质数。 13＝( )＋( )       15＝( )＋( )        87＝( )×( ) 7．天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是( )。 8．豆包是AI智能助手，能答疑解惑。淘气和笑笑心里分别想了一个数，这两个数的和是10，请豆包来猜。先提示：两个数都是正整数。豆包给出所有答案是( )。又提示：两个数都是质数。豆包给出所有答案是( )。再提示：两个数的积是21，豆包最后给出答案是( )。（答案分组呈现，两个数中间用逗号隔开） 9．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 10．在括号里填合适的质数。 ( )( )    ( )( ) ( )( )    ( )( ) ( )( )    ( )( ) 三、计算题 11．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 17    27    32    47    51    63    97 四、解答题 12．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 13．有一个七位数，各位上的数均为非零自然数，且从左往右依次是：①既是奇数，又是合数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。这个七位数是多少？ 14．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 15．某村大力发展苗木花卉种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）其中一座用于花卉种植的温室大棚长度和跨度（宽）都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米。大棚的底面周长为156米，则大棚的底面面积是多少？ （2）温室大棚产出花卉的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一花卉的面积相同，自然种植每10平方米产出的花卉有91朵，大棚种植每10平方米产出的花卉朵数是自然种植产出花卉朵数的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵？ 参考答案 1．【分析】一个数，除了1和它本身两个因数，这样的数叫做合数；能被2整除的数叫做偶数，据此分析解答； 一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个数，除了1和它本身两个因数，这样的数叫做合数；最小的合适是4，据此求出最小的质数乘最小的合数积； 一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此举例解答； 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。 【解答】A．如：2是偶数，但2不是合数，原题干说法错误。 B．最小的质数是2，最小的合数是4；2×4＝8；最小的质数乘最小的合数积是8，原题干说法错误。 C．如果a＝2；2是质数；2＋1＝3，3是质数，原题干说法错误。 D．一个不为0的自然数不是奇数就是偶数，原题干说法正确。 正确的是一个不为0的自然数不是奇数就是偶数。 故答案为：D 2．【分析】根据猜想的内容主要判断两个信息：一个是否是大于2的偶数；另一个是写成的两个相加的数是否是质数，据此逐项进行分析，即可解答。 【解答】A．4是大于2的偶数，1不是质数，因此该选项不符合这个猜想； B．36是大于2的偶数，17和19都是质数，因此该选项符合这个猜想； C．20是大于2的偶数，15是合数，不是质数，因此该选项不符合这个猜想。 故答案为：B 3．【分析】因数只有1和它本身两个的数是质数；因数除了1和它本身还有其他因数是合数。 一位数的合数：4、6、8、9，则最大的是9；最小的质数是2；3的倍数有3、6、9……，最小的就是3，据此解答即可。 【解答】月份：一位数中最大的合数：9 日子：十位上的最小的质数：2 个位上是3的最小倍数：3 开幕式的日期：9月23日 故答案为：D 4．【分析】根据学过的相关知识逐项分析。 【解答】A．把一个合数分解成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，42＝2×21中，21不是质数，此选项错误； B．数B不一定是质数，则数B一定是A的因数，不一定是A的质因数，此选项错误； C．根据等式的性质，等式的两边各加上一个相同的数，等式仍然成立，此选项错误； D．＝，则当时，和相等，此选项正确。 故答案为：D 【点评】本题考查了分解质因数、质因数的认识、等式的性质等，要牢固掌握相关知识并熟练运用。 5．【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 【解答】把36分解质因数为：36＝2×2×3×3 故答案为：B 6．【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外没有其他因数，这样的数叫质数；根据质数的定义，分别找出13、15和87以内的所有质数，再试着用各自所有的质数进行相加或相乘，直到使等式成立；据此解答。 【解答】13以内的质数有：2，3，5，7，11，根据组合可知2＋11＝13；15以内的质数有：2，3，5，7，11，13，根据组合可知2＋13＝15；87以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53， 59，61， 67，71，73，79， 83，根据组合可知3×29＝87。 因此13＝2＋11；15＝2＋13；87＝3×29。 7．【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】最高位上的数既是偶数又是质数，即2； 百位上的数既是奇数又是合数，即9； 十位上的数比最小的合数大1，最小的合数是4，4＋1＝5，即十位上的数是5； 个位上的数既不是质数也不是合数，即1； 快递取件码是2951。 8．【分析】找出两个正整数相加的和是10，即1＋9＝10、2＋8＝10、3＋7＝10、4＋6＝10、5＋5＝10； 根据质数的因数只有1和它本身，则找出两个加数是质数的式子为：3＋7＝10、5＋5＝10； 再将这两数相乘：3×7＝21；5×5＝25；据此解答即可。 【解答】根据分析： 两个数都是正整数。豆包给出所有答案是（1，9）（2，8）（3，7）（4，6）（5，5）； 两个数都是质数。豆包给出所有答案是（3，7）（5，5）； 两个数的积是21，豆包最后给出答案是（3，7）。 9．【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 10．【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。质数：一个数的因数只有1和它本身两个因数，没有其它因数的数是质数，据此先找这个数的因数，再找到两个因数都是质数即可填空。 【解答】15＝1×15＝3×5；3和5是质数； 38＝1×38＝2×19；2和19是质数； 49＝1×49＝7×7；7是质数； 65＝1×65＝5×13；5和13是质数； 87＝1×87＝3×29；3和29是质数； 91＝1×91＝7×13；7和13是质数。 即15＝3×5；38＝2×19 49＝7×7；65＝5×13 87＝3×29；91＝7×13 11．【分析】一个数（0除外）除了1和它本身两个因数以外，还有别的因数，这样的数叫合数，据此圈出合数；所谓分解质因数就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，据此解答。 【解答】如图所示： 27＝3×3×3 32＝2×2×2×2×2 51＝3×17 63＝3×3×7 12．乐乐数对了 【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。 【解答】68＝2×2×17 70＝2×5×7 77＝7×11 72＝2×2×2×3×3 这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。 答：乐乐数对了。 13．【分析】是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数； 合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，还有其他因数的数； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数； 据此解答即可。 【解答】①既是奇数，又是合数的数是：9 ②既不是质数，也不是合数的数是：1 ③既是质数，又是偶数的数是：2 ④10以内最大的质数的数是：7 ⑤最小的合数的数是：4 ⑥最小奇数是1，最小奇数的5倍的数是：5 ⑦有因数3的偶数的数是：6 答：这个七位数是：9127456 14．【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【解答】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 15．【分析】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知大棚的底面周长为156米，则大棚的长＋宽＝156÷2＝78（米）。大棚的长和宽都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米，据此把78分解成符合要求的两位质数相加的形式为：78＝37＋41，则大棚长41米，宽37米，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 （2）根据题意，先求出91的所有因数，再把它们相加即可求出大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵。 可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是91的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是91的因数。据此解答。 【解答】（1）156÷2＝78（米） 78＝37＋41，则大棚长41米，宽37米。 41×37＝1517（平方米） 答：大棚的底面面积是1517平方米。 （2）91＝1×91＝7×13 1＋91＋7＋13＝112（朵） 答：大棚种植每10平方米产出的花卉有112朵。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$