2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第16讲 三角形

第16讲 三角形 考点1三角形及边角关系 4 题型1 三角形的三边关系 4 题型2 三角形的内角和及内外角关系 5 考点2 三角形中的重要线段 6 题型1 与中点有关的问题 6 题型2 与角平分线有关的问题 7 题型3 与高线有关的问题 8 考点3 等腰三角形 9 考点4 等边三角形 11 考点5 直角三角形 13 题型1 勾股定理及其应用 13 题型2 直角三角形的性质及计算 14 考点6 等腰直角三角形 16 真题过关检测 17 一、三角形的相关概念 概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 表示 三角形有三条边、三个内角和三个顶点，“三角形”可以用符号“”表示 如图，顶点是，，的三角形，记作，的三边，有时也用，，来表示．顶点所对的边用表示，边、边分别用，来表示． 二、三角形的分类 按角分 直角三角形 三角形中有一个角是直角 锐角三角形 三角形中三个角都是锐角 钝角三角形 三角形中有一个角是钝角 按边分 不等边三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的三角形 有两条边相等的三角形 等边三角形（正三角形） 三边相等的三角形 三、三角形三边关系 文字语言 符号语言 图形 三角形任意两边的和大于第三边 ，， 三角形任意两边的差小于第三边 ，， 四、三角形的高线、中线、角平分线 概念 交点 注意点 高 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. 三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心 (1)三角形的高是线段 (2)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (3)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (4)直角三角形三条高的交点是直角的顶点 中线 在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心 (1)三角形的中线是线段 (2)中线把三角形分成面积相等的两个三角形 (3)三角形三条中线全在三角形内 (4)三角形重心把中线分为2:1两部分（重心到顶点距离占2份，到对边距离占1份） 角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心 （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 五、与三角形有关的角 内角和定理 三角形三个内角的和等于. 三角形的 外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 如图，是的一个外角. 三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图，. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和为. 六、等腰三角形 等腰 三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 几何语言：如图，在中，若，则. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”） 几何语言：如图，在中， ①若，平分，则且； ②若，，则平分且； ③若，，则平分且. 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 几何语言：如图，在中，若，则. 七、等边三角形 等边三角形 三条边都相等的三角形，是一种特殊的等腰三角形. 性质 性质1： 三个内角都等于 性质2： 三条边的底边上的中线、底边上的高线、 顶角平分线都三线合一． 判定 判定1：三个边都相等的三角形是等边三角形． 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形． 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 八、直角三角形 直角三角形 有一个角的三角形是直角三角形.可以用符号“”表示. 性质 ①直角三角形两锐角互余． ②勾股定理：直角三角形的两条直角边、的平方和等于斜边的平方，即． ③直角三角形一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ④直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 判定 ①有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形. ②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，有关系，那么这个三角形是直角三角形. ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 考点1三角形及边角关系 题型1 三角形的三边关系 1．（2024·贵州黔东南·二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 5．（2024·贵州贵阳·一模）三边长分别为a，b，c，已知数a，在数轴上的位置如图所示，则数c在数轴上对应的位置是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型2 三角形的内角和及内外角关系 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，，点在上，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 8．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若，交于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 考点2 三角形中的重要线段 题型1 与中点有关的问题 11．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的中线，E，F分别是，的中点，，则的长为 ． 12．（2024·云南昭通·一模）如图，在中，是的中线，E、F分别是、的中点，连接，已知，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2024·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 14．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 题型2 与角平分线有关的问题 16．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 17．（2024·云南昆明·二模）如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（　　） A． B． C． D． 18．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 题型3 与高线有关的问题 19．（2024·河北·模拟预测）如图，D是的边上一点，将折叠，使点C落在上的点处，展开后得到折痕，则是的（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 21．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的； (2)仅用无刻度直尺作出的高． 考点3 等腰三角形 22．（2025·湖南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数为 ． 23．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 25．（2024�福建�中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 26．（2025�湖南�模拟预测）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 27．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（2024�新疆�中考真题）如图，已知平行四边形． 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 在的条件下，求证：是等腰三角形．    考点4 等边三角形 29．（2023·四川达州·模拟预测）如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 31．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 32．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 33．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 34．（9-10八年级上·河南焦作·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 考点5 直角三角形 题型1 勾股定理及其应用 35．（2023�四川广安�中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    36．（2024�四川眉山�中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 37．（2024�浙江�中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 38．（2024�湖北武汉�中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 39．（2024·浙江嘉兴·一模）已知的三边． (1)求证：是直角三角形； (2)利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 题型2 直角三角形的性质及计算 40．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线，于点A，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 41．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则 cm． 42．（2024�四川成都�中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    43．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　）    A．4 B．2．5 C．3 D． 44．（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 45．（2024�湖南长沙�中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 考点6 等腰直角三角形 46．（2023·广东阳江·一模）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．（2023·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点，以点D为顶点作，与交于点，与交于点，，则四边形的面积为（　　） A． B．6 C．9 D． 48．（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 49．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 50．（2024·湖南常德·一模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 51．（2024·北京·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 52．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：在中， ，． (1)【动手操作】 如图①，为斜边上一点，连接并延长到点，使得，过点作于点．根据题意作出图形，则与的数量关系为 ____________________________； (2)【问题探究】 如图②，为边上一点，连接并延长到点，使得，过点作，交直线于点．当点，位于点异侧时，探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若点，位于点同侧，，，求的长. 真题过关检测 一、单选题 1．（2024�湖南长沙�中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024�甘肃兰州�中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 3．（2024�吉林长春�中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024�内蒙古赤峰�中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．（2024�云南�中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 6．（2024�山东泰安�中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（2023�甘肃武威�中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）    A． B． C． D． 8．（2024�四川自贡�中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 9．（2023�山东滨州�中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A． B． C． D． 10．（2024�陕西�中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024�青海�中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 12．（2024�四川南充�中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 13．（2024�天津�中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 14．（2024�安徽�中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 15．（2024广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（2023�江苏徐州�中考真题）如图，在中，若，则 °．    17．（2024�四川凉山�中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 18．（2024�湖南�中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 19．（2024�四川凉山�中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 20．（2024�湖北�中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 21．（2024�四川达州�中考真题）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 三、解答题 22．（2024滨州）某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军的证明过程补充完整． 23．（2024�湖南长沙�中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（2024�福建�中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 三角形 考点1 三角形及边角关系 4 题型1 三角形的三边关系 4 题型2 三角形的内角和及内外角关系 6 考点2 三角形中的重要线段 9 题型1 与中点有关的问题 9 题型2 与角平分线有关的问题 14 题型3 与高线有关的问题 16 考点3 等腰三角形 18 考点4 等边三角形 25 考点5 直角三角形 31 题型1 勾股定理及其应用 31 题型2 直角三角形的性质及计算 36 考点6 等腰直角三角形 41 真题过关检测 50 一、三角形的相关概念 概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 表示 三角形有三条边、三个内角和三个顶点，“三角形”可以用符号“”表示 如图，顶点是，，的三角形，记作，的三边，有时也用，，来表示．顶点所对的边用表示，边、边分别用，来表示． 二、三角形的分类 按角分 直角三角形 三角形中有一个角是直角 锐角三角形 三角形中三个角都是锐角 钝角三角形 三角形中有一个角是钝角 按边分 不等边三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的三角形 有两条边相等的三角形 等边三角形（正三角形） 三边相等的三角形 三、三角形三边关系 文字语言 符号语言 图形 三角形任意两边的和大于第三边 ，， 三角形任意两边的差小于第三边 ，， 四、三角形的高线、中线、角平分线 概念 交点 注意点 高 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. 三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心 (1)三角形的高是线段 (2)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (3)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (4)直角三角形三条高的交点是直角的顶点 中线 在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心 (1)三角形的中线是线段 (2)中线把三角形分成面积相等的两个三角形 (3)三角形三条中线全在三角形内 (4)三角形重心把中线分为2:1两部分（重心到顶点距离占2份，到对边距离占1份） 角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心 （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 五、与三角形有关的角 内角和定理 三角形三个内角的和等于. 三角形的 外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 如图，是的一个外角. 三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图，. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和为. 六、等腰三角形 等腰 三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 几何语言：如图，在中，若，则. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”） 几何语言：如图，在中， ①若，平分，则且； ②若，，则平分且； ③若，，则平分且. 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 几何语言：如图，在中，若，则. 七、等边三角形 等边三角形 三条边都相等的三角形，是一种特殊的等腰三角形. 性质 性质1： 三个内角都等于 性质2： 三条边的底边上的中线、底边上的高线、 顶角平分线都三线合一． 判定 判定1：三个边都相等的三角形是等边三角形． 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形． 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 八、直角三角形 直角三角形 有一个角的三角形是直角三角形.可以用符号“”表示. 性质 ①直角三角形两锐角互余． ②勾股定理：直角三角形的两条直角边、的平方和等于斜边的平方，即． ③直角三角形一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ④直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 判定 ①有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形. ②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，有关系，那么这个三角形是直角三角形. ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 考点1 三角形及边角关系 题型1 三角形的三边关系 1．（2024·贵州黔东南·二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系并运用是解题的关键．根据三角形三边关系定理，即“三角形任意两边之和大于第三边”、“三角形任意两边之差小于第三边”进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴能组成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出三角形第三边长的范围，再根据范围逐一判断即可求解． 【详解】解：设第三边的长为， 由题意可得，， ∴ 观察选项，只有选项C符合题意 故选：C. 3．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出的取值范围，判断各选项即可得的答案．本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即． 只有A选项数值满足上述的范围， 故选：A． 4．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边得到，再利用平方差公式把所求式子因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 5．（2024·贵州贵阳·一模）三边长分别为a，b，c，已知数a，在数轴上的位置如图所示，则数c在数轴上对应的位置是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系逐个判断即可．本题考查了数轴，三角形的三边关系是本题的解题关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为a，b，c， ， 由图得，和，小于，大于， 、、不符合题意， 符合题意， 故选：C 题型2 三角形的内角和及内外角关系 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，，点在上，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由平行线的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后由平角的定义可得答案. 【详解】解：， ， 又， ， ，即， ， ， 故选：B． 7．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，由已知条件可得出，由直角三角形两锐角互余以及平角的定义可得出，，再由三角形三角和定理可得出，最后根据平角的定义可求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选 D．    8．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若，交于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用．先根据平行线的性质，得到的度数，再根据三角形外角性质，求得的度数，利用邻补角即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， 又， ， 故选：C． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 根据旋转得出，则，根据三角形的外交定理，即可解答． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 考点2 三角形中的重要线段 题型1 与中点有关的问题 11．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的中线，E，F分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了三角形的中线和中位线，先利用中位线性质求得，再由中线知即可解答，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：． 12．（2024·云南昭通·一模）如图，在中，是的中线，E、F分别是、的中点，连接，已知，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了中线和中位线的性质，掌握中线和中位线的性质是解题的关键；根据中线的性质可得，再由中位线的性质求解即可 【详解】 是的中线，， E、F分别是、的中点， 是的中位线， 故选：． 13．（2024·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 【答案】①②④ 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 14．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵沿直线翻折得到， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∵的面积为，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 与角平分线有关的问题 16．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的定义，根据角平分线的作法可得平分，即可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，平分， ∴， 故选：C． 17．（2024·云南昆明·二模）如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的作法和性质，由三角形中位线性质可得，，，推导出，又由作图可知为的角平分线，得到，即可得，得到，进而可得，再根据即可求解，掌握角平分线的作法和三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中位线， ∴，，， ∴， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 18．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 题型3 与高线有关的问题 19．（2024·河北·模拟预测）如图，D是的边上一点，将折叠，使点C落在上的点处，展开后得到折痕，则是的（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，三角形的高线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质和三角形的高线的定义即可得到结论． 【详解】解：将折叠，使点落在边上， ∴， ∵， ∴， ， 是的高线， 故选：B． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】∵，， ∴， 解得． ∵是的中线， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 21．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的； (2)仅用无刻度直尺作出的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据网格线的特点取格点G，连接交于点P，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求． 取格点D，连接交于点P，即为所求； 取格点M，N，与相交于点G， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，点P即为所求 考点3 等腰三角形 22．（2025·湖南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，由作图可得垂直平分线，则有，所以，再根据，即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 根据作图可得，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 23．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解： 解得：或， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为， 所以三角形的周长为10， 故答案为：． 24．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接．由等腰三角形三线合一性质可知，，再由勾股定理求出，进而由三角形面积求出高． 【详解】如图，连接． ∵，点E为的中点，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 故选C． 25．（2024�福建�中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 26．（2025�湖南�模拟预测）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 27．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 连接，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：B． 28．（2024�新疆�中考真题）（）解方程：； （）如图，已知平行四边形． 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 在的条件下，求证：是等腰三角形．    【答案】（）；（）作图见解析；证明见解析． 【分析】（）按照解一元一次方程的步骤解答即可求解； （）按照作角平分线的方法作图即可；由平行四边形的性质及角平分线的性质可得，即得，即可求证； 本题考查了解一元一次方程，作角的平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（）解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，； （）解：如图，即为所求；   ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 考点4 等边三角形 29．（2023·四川达州·模拟预测）如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由等边三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 30．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 32．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键．过点作轴于点，由等边三角形的性质可得：，，由旋转的性质可得：，，推出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ，， 由旋转知，，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 33．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，得，可判断出是等边三角形，故可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 由旋转得， ∴， ∴ 而， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴, 故选：B． 34．（9-10八年级上·河南焦作·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质， （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 又， ． ； （2）解：， ， ． 考点5 直角三角形 题型1 勾股定理及其应用 35．（2023�四川广安�中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 36．（2024�四川眉山�中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 37．（2024�浙江�中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 38．（2024�湖北武汉�中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 【答案】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 39．（2024·浙江嘉兴·一模）已知的三边． (1)求证：是直角三角形； (2)利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 【答案】(1)见解析 (2)的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理，通过计算，推导出是解题的关键． （1）由，，求得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （2）由，且为正整数，可以考虑m，n都取完全平方数，且的值尽可能小些，比如，当时，则；当时，则；当时，则． 【详解】（1）证明：∵的三边， ， ， ∴是直角三角形． （2）的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13， 理由：当时，则； 当时，则． 注：答案不唯一，如当时，则，． 题型2 直角三角形的性质及计算 40．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线，于点A，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 41．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则 cm． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中位线以及为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点，由题意得：，再结合是的中位线即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： 42．（2024�四川成都�中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 43．（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　）    A．4 B．2．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，先由三线合一定理得到，再由勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，，是的高线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴点D为的中点， ∴， 故选：B． 44．（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点，连接，，先证明为等腰直角三角形，得出，然后得出当时，取最小值，则也取最小值，最后利用锐角三角函数求出的值即可． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ，， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，此时的值也最小， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 45．（2024�湖南长沙�中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 考点6 等腰直角三角形 46．（2023·广东阳江·一模）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，先利用互余计算出，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形得到，然后根据计算即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 47．（2023·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点，以点D为顶点作，与交于点，与交于点，，则四边形的面积为（　　） A． B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】过点D分别作，垂足分别为N，M，证明，得四边形的面积为正方形的面积，计算边长即可，本题考查了三角形的全等和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，点D为边的中点，， ∴；， 过点D分别作，垂足分别为N，M， ∴；， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 48．（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先证，进而易得出，则点在以为直径的圆上运动，当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小，再解直角三角形求解即可得到答案． 【详解】解：设与交于点，如图所示： 由题易知， ， ， ， ， ， 点四点共圆，且为直径，设圆心为， 当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小， 过点作，过点作于点，如图所示： ， ， ， 与切于点， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ， 故选： C． 【点睛】本题主要考查动点最值-辅助圆问题，涉及旋转的性质、全等三角形得判定和性质、圆的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识处理辅助圆问题是解题的关键． 49．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 50．（2024·湖南常德·一模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求解阴影面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为，面积为， ∴阴影部分的边长为， ∴S阴影cm2， ∴P（该点取到阴影部分）． 故选C 51．（2024·北京·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出，由三角形三边关系得出，即可判断①；利用勾股定理即可判断②；连接，设，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得出，再由得出，再分和对③进行判断即可． 【详解】解：①，， ， 点，分别在直角边，上运动（不与端点重合）， ，即，故结论①正确； ②， 在中，，，， 由勾股定理得：，即，故结论②正确； ③连接，设，如下图所示： 在中，，，点为斜边上的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ，即， ， ， 当且仅当时，即点，分别为，的中点时，， 此时，即， 当时，即点，不是，的中点时，， 此时，即， ，且等号可以取到，故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D． 52．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：在中， ，． (1)【动手操作】 如图①，为斜边上一点，连接并延长到点，使得，过点作于点．根据题意作出图形，则与的数量关系为 ____________________________； (2)【问题探究】 如图②，为边上一点，连接并延长到点，使得，过点作，交直线于点．当点，位于点异侧时，探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若点，位于点同侧，，，求的长． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）根据题意画出示意图，过点作于G，先证明，得到，然后利用等腰直角三角形的性质，即可求出答案； （2）过点作于G，证明，得到，，由勾股定理，即可得到结论； （3）过点C作于G，根据、两种情况，由（2）得结论即可求出答案． 【详解】（1）解：作图如下：过点C作于G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：过点C作于G，如图， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∴； （3）解：过点C作于G，如图， ，， 同理可证， ∵， 当点F在点A、D之间时，有 ∴， ∴； 当点D在点A、F之间时，如图： ∴， ∴； 综合上述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等． 真题过关检测 一、单选题 1．（2024�湖南长沙�中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 2．（2024�甘肃兰州�中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 3．（2024�吉林长春�中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 4．（2024�内蒙古赤峰�中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5．（2024�云南�中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 6．（2024�山东泰安�中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2023�甘肃武威�中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 8．（2024�四川自贡�中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 9．（2023�山东滨州�中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，        ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（2024�陕西�中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 11．（2024�青海�中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 12．（2024�四川南充�中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 13．（2024�天津�中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 14．（2024�安徽�中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    15．（2024九年级上�全国�专题练习）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点．由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 故选：C． 二、填空题 16．（2023�江苏徐州�中考真题）如图，在中，若，则 °．    【答案】/55度 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 17．（2024�四川凉山�中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【答案】42 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 18．（2024�湖南�中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 19．（2024�四川凉山�中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（2024�湖北�中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得； （2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 21．（2024�四川达州�中考真题）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过作于，设，则，利用列出等式即可． 【详解】解：过作于， ，，， 是等腰直角三角形 设，则 解得（舍去）或 经检验是原分式方程的解， ． 故答案为：． 三、解答题 22．（24-25八年级上�上海�阶段练习）某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军的证明过程补充完整． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ， ． （2）解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 23．（2024�湖南长沙�中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 24．（2024�福建�中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图， 直线就是所求作的直线． （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$