2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第15讲 角、相交线与平行线

第15讲 角、相交线与平行线 考点1 直线与线段 5 考点2 角与角平分线 6 考点3 相交线 7 考点4 平行线的判定 8 考点5 平行线的性质求角度 10 题型1 直接利用平行线性质求角度 10 题型2 平行线性质与判断结合 12 题型3 与直角三角板结合 13 真题过关检测 15 一、直线和线段 1、直线、射线、线段 图形 表示方式 端点 个数 延伸性 度量性 相同 点 直线 直线 0 可向两个方向无限延伸 不可度量 都 是 直 的 线 直线 射线 射线（为端点） 1 可向一个方向无限延伸 不可度量 射线 线段 线段(或线段) 2 不可延伸，可以延长 可度量 线段 2、两点之间线段最短 两点确定 一条直线 （1）在正常条件下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标； （2）植树时只要确定同一行的树坑所在的直线； （3）建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿着这根绳就能砌出直的墙。 （4）上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一直线上 …… 两点之间 线段最短 （1）过马路时尽管有天桥地下过街通道,可是很多行人还是宁愿冒着生命危险横过马路 （2）把弯路改直可以缩短路程；…… 3、线段的中点及加减运算 两点的距离 连接两点间的线段的长度 中点 如果点把线段分成相等的两条线段和，点叫做线段的中点． 表示为： 其他等分点 若、是线段的三等分点，则 若、、是线段的四等分点，则 线段的加减 如图，点、、在线段上 则； …… 二、角与角平分线 1、角的概念 静态定义 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两边. 动态定义 角是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置而成的，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边. 2、角的表示 用三个大写英文字母表示 用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点，写在两旁． 用顶点字母表示 当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的也可记为. 用阿拉伯数字表示 在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的可记为. 用希腊字母表示 在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(，，等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的可记为.这种方法与数字表示法实际上是一样的 表示角时的注意事项 ①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”． ②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”． ③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字 母表示法来表示角，如图(2)中以为顶点的角 有，，，就不能用来表示了． 否则，就会产生混乱. 3、角的度量与换算 角的度量单位 （1）度：把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1°． （2）分：把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′． （3）秒：把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″． 角度制 （1）以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． （2）其中，，比较角的大小时，要化为统一单位后再进行比较； （3）进行角的计算时，也要化为统一单位后再进行计算． 角的加减运算要把握以下几点原则 .度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； .相加时，加完以后如果出现了秒或分超过60的，要从右往左依次向上进位，换算成标准的度、分、秒形式； .相减时，如果出现了分或秒不够减的情况，要从左往右依次向上一级借位． 4、角平分线 角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图， 文字语言：是的平分线或平分. 符号语言：①； ②； ③或. 3、 两条直线的位置关系 1、两条直线的位置关系 位置关系 相交 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 平行 在同一平面内，不相交的两条直线为平行线 2、对顶角 概念 如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角． 两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫对顶角． 特征 两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线． 性质 对顶角相等． 3、余角和补角 余角 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等． 补角 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等． 4、垂线相关定义 垂直与垂线定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 垂线的性质 1．同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2．连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 垂线的画法 1．过直线上一点A画已知直线l的垂线 2．过直线外一点B画已知直线l的垂线． 点到直线的距离 直线外一点A到这条直线l的垂线段的长度，线段AB的长叫做点A到直线l的距离. 4、 同位角、内错角、同旁内角 同位角 两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同位角．例如和，和等都是同位角． 内错角 两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样一对角叫做内错角．例如和，和是内错角． 同旁内角 两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同旁内角．例如和，和是同旁内角． 说明 截线是指同时穿过两条或两条以上的直线（或线段）的直线（或线段），例如在下图中直线是截线． 例 五、平行线 1、平行线的概念及公理 平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作． 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的判定与性质 两条直线被第三条直线所截 平行线的判定 平行线的性质 1．如果同位角相等，那么两直线平行； 1．两直线平行，同位角相等； 2．如果内错角相等，那么两直线平行； 2．两直线平行，内错角相等； 3．如果同旁内角互补，那么两直线平行． 3．两直线平行，同旁内角互补． 3、拐点辅助线做法 图形及辅助线 结论 ∠B+∠AEG+∠I=∠BAE+∠EGI ∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFG=720° 考点1 直线与线段 1．（2024·河北邢台·三模）下列图形中，可以表示为“线段”的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北沧州·二模）下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（    ） A．  B．  C．   D．   3．（2024·吉林松原·三模）如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 4．（2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 5．（2024·宁夏银川·一模）如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，点C到原点的距离等于线段的长，则点B表示的数是 . 6．（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    考点2 角与角平分线 7．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 8．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 9．（2024·山东潍坊·二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线．若，则的度数为 度．    10．（2024·四川眉山·二模）如图，是的外角的平分线，若，，则 ． 11．（2024·浙江杭州·一模）已知，与互余的角的度数是(　　) A． B． C． D． 12．（2024·安徽六安·模拟预测）将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点3 相交线 13．（2024·贵州贵阳·二模）如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，点O在直线上，于点O，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 17．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线相交于点，垂足为O，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点4 平行线的判定 18．（2024·陕西渭南·三模）如图，点、分别在、上，连接、，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·山西大同·二模）若，则下列图形一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·河南周口·一模）如图，已知直线，，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 考点5 平行线的性质求角度 题型1 直接利用平行线性质求角度 23．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（2024·湖北孝感·一模）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图直线，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则的数为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，是的平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 直线与两平行直线分别相交于点 M， N，的平分线交于点 P， 若， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·湖南常德·一模）如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 30．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型2 平行线性质与判断结合 31．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图所示，，则等于（    ） A． B． C． D． 33．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形中，，边绕点D顺时针旋转，点C的对应点E落在线段上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 34．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点，分别在线段，上，于点，于点，若，则图中与互余的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型3 与直角三角板结合 35．（2024·辽宁抚顺·一模）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．（2024·湖南·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　） A． B． C． D． 37．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 39．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，将一个直尺和一个含角的直角三角板（）放在一起，使直尺的一边与直角三角板的斜边重合，直尺的另一边与直角三角板的两直角边交于两点，则（    ） A． B． C． D． 40．（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ． 41．（2024·山西大同·一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（    ）    A．10° B．12° C．15° D．20° 42．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 真题过关检测 一、单选题 1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 11．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·湖北·中考真题）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 14．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 16．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 角、相交线与平行线 考点1 直线与线段 5 考点2 角与角平分线 8 考点3 相交线 11 考点4 平行线的判定 14 考点5 平行线的性质求角度 18 题型1 直接利用平行线性质求角度 18 题型2 平行线性质与判断结合 24 题型3 与直角三角板结合 27 真题过关检测 33 一、直线和线段 1、直线、射线、线段 图形 表示方式 端点 个数 延伸性 度量性 相同 点 直线 直线 0 可向两个方向无限延伸 不可度量 都 是 直 的 线 直线 射线 射线（为端点） 1 可向一个方向无限延伸 不可度量 射线 线段 线段(或线段) 2 不可延伸，可以延长 可度量 线段 2、两点之间线段最短 两点确定 一条直线 （1）在正常条件下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标； （2）植树时只要确定同一行的树坑所在的直线； （3）建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿着这根绳就能砌出直的墙。 （4）上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一直线上 …… 两点之间 线段最短 （1）过马路时尽管有天桥地下过街通道,可是很多行人还是宁愿冒着生命危险横过马路 （2）把弯路改直可以缩短路程；…… 3、线段的中点及加减运算 两点的距离 连接两点间的线段的长度 中点 如果点把线段分成相等的两条线段和，点叫做线段的中点． 表示为： 其他等分点 若、是线段的三等分点，则 若、、是线段的四等分点，则 线段的加减 如图，点、、在线段上 则； …… 二、角与角平分线 1、角的概念 静态定义 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是角的两边. 动态定义 角是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置而成的，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边. 2、角的表示 用三个大写英文字母表示 用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点，写在两旁． 用顶点字母表示 当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的也可记为. 用阿拉伯数字表示 在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的可记为. 用希腊字母表示 在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(，，等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的可记为.这种方法与数字表示法实际上是一样的 表示角时的注意事项 ①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”． ②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”． ③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字 母表示法来表示角，如图(2)中以为顶点的角 有，，，就不能用来表示了． 否则，就会产生混乱. 3、角的度量与换算 角的度量单位 （1）度：把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1°． （2）分：把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′． （3）秒：把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″． 角度制 （1）以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． （2）其中，，比较角的大小时，要化为统一单位后再进行比较； （3）进行角的计算时，也要化为统一单位后再进行计算． 角的加减运算要把握以下几点原则 .度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； .相加时，加完以后如果出现了秒或分超过60的，要从右往左依次向上进位，换算成标准的度、分、秒形式； .相减时，如果出现了分或秒不够减的情况，要从左往右依次向上一级借位． 4、角平分线 角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图， 文字语言：是的平分线或平分. 符号语言：①； ②； ③或. 3、 两条直线的位置关系 1、两条直线的位置关系 位置关系 相交 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 平行 在同一平面内，不相交的两条直线为平行线 2、对顶角 概念 如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角． 两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫对顶角． 特征 两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线． 性质 对顶角相等． 3、余角和补角 余角 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等． 补角 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等． 4、垂线相关定义 垂直与垂线定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 垂线的性质 1．同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2．连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 垂线的画法 1．过直线上一点A画已知直线l的垂线 2．过直线外一点B画已知直线l的垂线． 点到直线的距离 直线外一点A到这条直线l的垂线段的长度，线段AB的长叫做点A到直线l的距离. 4、 同位角、内错角、同旁内角 同位角 两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同位角．例如和，和等都是同位角． 内错角 两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样一对角叫做内错角．例如和，和是内错角． 同旁内角 两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同旁内角．例如和，和是同旁内角． 说明 截线是指同时穿过两条或两条以上的直线（或线段）的直线（或线段），例如在下图中直线是截线． 例 五、平行线 1、平行线的概念及公理 平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作． 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的判定与性质 两条直线被第三条直线所截 平行线的判定 平行线的性质 1．如果同位角相等，那么两直线平行； 1．两直线平行，同位角相等； 2．如果内错角相等，那么两直线平行； 2．两直线平行，内错角相等； 3．如果同旁内角互补，那么两直线平行． 3．两直线平行，同旁内角互补． 3、拐点辅助线做法 图形及辅助线 结论 ∠B+∠AEG+∠I=∠BAE+∠EGI ∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFG=720° 考点1 直线与线段 1．（2024·河北邢台·三模）下列图形中，可以表示为“线段”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的性质即可得解．线段是直线的一部分，有两个端点．熟练掌握线段的性质是解题的关键． 【详解】A、是直线，不符合题意； B、是射线，不符合题意； C、是线段，符合题意； D、是射线，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·河北沧州·二模）下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； 、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； 、该图形是由射线绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； 、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：． 3．（2024·吉林松原·三模）如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了线段和直线的性质，根据直线的性质解答即可，解题的关键是掌握两点确定一条直线． 【详解】解：如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是两点确定一条直线， 故选：A． 4．（2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点， 故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点， 故答案为：． 5．（2024·宁夏银川·一模）如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，点C到原点的距离等于线段的长，则点B表示的数是 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据题意可知，点表示的数为，，则点表示的数为：，又因为点到原点的距离等于线段的长，则 ， 因此点表示的数为，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是，是线段的中点，线段， ∴点表示的数为，， ∴点表示的数为， ∵点到原点的距离等于线段的长， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 6．（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【答案】2或4或3 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有、和三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 【详解】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、 三种情况， ①时，，    ②时，，    ③时，．    故答案为：2或4或3． 考点2 角与角平分线 7．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 【答案】B 【分析】此题考查了方位角，钟面角， 首先求出相邻两个数之间的夹角为，进而根据方位角求解即可． 【详解】∵钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向， ∴她可以说学校在家的2点钟方向． 故选：B． 8．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东， 小岛A相对于小岛C的方向是南偏西． 故选C 【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（2024·山东潍坊·二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线．若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】根据题意可得：，从而可得，然后利用度分秒的进制进行计算，即可解答．本题考查了度分秒的换算，角平分线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·四川眉山·二模）如图，是的外角的平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，求出的度数，再根据外角的性质，进行计算即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2024·浙江杭州·一模）已知，与互余的角的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角、度分秒的换算，根据余角的定义以及度分秒的换算解决此题． 【详解】解：∵， ∴互余的角的度数是， 故选：D． 12．（2024·安徽六安·模拟预测）将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和与差，熟练掌握平行线的性质，角的和与差是解题的关键．由，可得，从而，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 考点3 相交线 13．（2024·贵州贵阳·二模）如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．首先求出，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：A． 14．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，点O在直线上，于点O，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直可得，进而得出，再结合邻补角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据求出，再根据角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 16．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，对顶角的性质，由角的和差得，由对顶角的性质即可求解；掌握对顶角的性质，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ； 故选：D． 17．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线相交于点，垂足为O，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键．根据，得，再根据对顶角的性质可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， 直线，相交于点， ， 故选：B． 考点4 平行线的判定 18．（2024·陕西渭南·三模）如图，点、分别在、上，连接、，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 运用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，符合题意； 故选：D ． 19．（2024·山西大同·二模）若，则下列图形一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】A．∵和是同位角， ∴无法推出，不符合题意； B．∵和是内错角， ∴无法推出，不符合题意； C．如图所示， ∵， ∵ ∴ ∴，符合题意； D．如图所示， ∵， ∴ ∵和是同位角， ∴无法推出，故不符合题意； 故选：C． 20．（2024·河南周口·一模）如图，已知直线，，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行公理推论，利用，得到，利用两直线平行，内错角相等，以及邻补角定义即可求出． 【详解】解：如下图： ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 故选：C． 21．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图−作一个角等于已知角；尺规作图−作角的平分线；尺规作图−垂直平分线，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D． 【详解】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于B，此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，符合题意； 对于C，以P为圆心为半径，交于点C、交延长线于点D，此时，再分别以C和D为圆心作出角平分线， 故，易得，即同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于D，以C为圆心，为半径作弧交于点D，即有，再分别以D和P为圆心作出线段的垂直平分线交弧于点G，易得，但无法证明此时，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意 故选：D． 22．（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：C． 考点5 平行线的性质求角度 题型1 直接利用平行线性质求角度 23．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， 由题意知， ， 故选：B． 24．（2024·湖北孝感·一模）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 【详解】根据题意可知， ∴， ∴． 故选：C． 25．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 26．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图直线，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，可得的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 27．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，是的平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 利用两直线平行内错角相等和角平分线的定义可解答． 【详解】解：是的平分线， ， ，， ， ． 故选：B． 28．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 直线与两平行直线分别相交于点 M， N，的平分线交于点 P， 若， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：，， ， 的平分线交于点 P， ， ， ， 故选：C 29．（2024·湖南常德·一模）如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 【答案】20 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，属于基础题． 观察可得平分，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 30．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 题型2 平行线性质与判断结合 31．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得到． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 32．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图所示，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．掌握平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质，是解题的关键． 先证明，再根据两直线平行同位角相等可得，再根据对顶角相等可得． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：D． 33．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形中，，边绕点D顺时针旋转，点C的对应点E落在线段上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判断．根据旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ， ， ，， ，故选项D正确； 不一定平行， 不一定相等，不一定相等， 不一定相等，故选项A，C错误； 不一定相等， 不一定相等， ， 不一定相等，故选项B错误； 故选：D． 34．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点，分别在线段，上，于点，于点，若，则图中与互余的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了余角的概念，直角三角形性质，平行线的性质和判定，根据直角三角形性质，得到，，再结合等量代换，以及平行线的性质，得到，，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，图中与互余的角有个， 故选：． 题型3 与直角三角板结合 35．（2024·辽宁抚顺·一模）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 【详解】解：由三角板可知，，，，， （1）当平分，则， ，故（1）错误； （2）若，且在的上方，则， ，故（2）错误； （3）若时，且在的下方时，则，故（3）错误； （4）若，且，则，故（4）正确， 故选：A． 36．（2024·湖南·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求解．由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C 37．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，再由，即可得到． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 38．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据“对顶角相等”可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，然后根据“两直线平行，同位角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 39．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，将一个直尺和一个含角的直角三角板（）放在一起，使直尺的一边与直角三角板的斜边重合，直尺的另一边与直角三角板的两直角边交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据角的和差关系和平行线的性质，得到，即可求解． 【详解】解：由题意，得：， ， ， 故选：A． 40．（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ． 【答案】/15度 【分析】】把分别向两方延长交直线于点，交直线于点，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，再利用平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：把分别向两方延长交直线于点，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为： 41．（2024·山西大同·一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（    ）    A．10° B．12° C．15° D．20° 【答案】D 【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线． 过点B作交于D，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解． 【详解】解：过点B作交于D，    ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 42．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得°，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 真题过关检测 一、单选题 1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键． 作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案． 【详解】解：如图，作， 则， ， ， ， ， 科技馆位于小亮家的南偏东方向， 故答案为：A． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 3．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 5．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ 故选：B 7．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 8．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 9．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 10．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 11．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 12．（2024·湖北·中考真题）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 14．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$