专题01 平面直角坐标系与函数概念【十二大考点+知识串讲】-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题01 平面直角坐标系与函数概念 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平面直角坐标系中点的坐标特征 （1）各象限点的特征： 第一象限（+，+）； 第二象限（—，+）； 第三象限（一，一）； 第四象限（+，一）． （2）特殊位置点的特征： 若点P在x轴上，则b=0； 若点P在y轴上，则a=0； 若点P在一、三象限角平分线上，则a=b； 若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0． （3）坐标的对称点特征 点P（a，b）关于x轴的对称点P’（a，一b） 点P（a，b）关于y轴的对称点P’（一a，b） 点P（a，b）关于原点的对称点P’（一a，一b）． （4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化 ①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为． ②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为： 点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）； 点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）； ③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为： 点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）； 点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）． ④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c； ⑤点P到点M的距离：PM= ⑥线段PM的中点坐标：（） （二）函数及自变量的取值范围 （1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量． （2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数． （3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法． （4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围： （5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线 （6）函数自变量取值范围 ①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__； ②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__； ③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数； ④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义. 函数的有关知识及其图象： （三）函数图像的分析与判断 分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. 模块三 考点一遍过 考点1：用坐标表示位置 典例1：如果演唱会门票“8排13座”记作，那么表示（   ） A．9排8座 B．8排8座 C．9排9座 D．8排9座 【变式1】在电影院里，如果用表示3排10号，那么7排8号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为，目标B的位置为，现有一个目标C的位置为，且与目标B的距离为10，则目标C的位置为 ． 【变式3】【数对、位置与方向】 （1）如图中，D点的位置为，A点的位置用数对表示是 ． （2）如图中，B点在O点的 偏 °方向上． （3）计算如图阴影部分的周长和面积（图中每小格为边长1cm的正方形，π取3.14）分别为 、 ． 考点2：求点的坐标 典例2：如图，已知其中点在第四象限，将线段绕点逆时针旋转得到，则点坐标可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴的距离是5，则点的坐标是 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 考点3：判断点所在的象限 典例3：如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】若点的坐标满足条件，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知一元二次方程有两个实数根，点在第 象限． 【变式3】已知点，且，，则点P在第 象限； 考点4：象限点的应用——含参 ☆☆☆☆ 典例4：若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（   ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1】已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知，在平面直角坐标系中有一点 （1）若点P在第一象限的角平分线上，则 ；若点P在第四象限的角平分线上，则 ； （2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ； （3）多解法点P不可能在第 象限； （4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标互为相反数，则 ． 【变式3】已知点在第一象限，要使x取值有4个整数，则a的取值范围为 ． 考点5：坐标与图形 典例5：在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： (1)写出A，B，C的坐标； (2)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）； (3)求的面积； (4)在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）． 【变式2】平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值， (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点的坐标 【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； (3)的面积为________； (4)已知点P为坐标系内一点，连接，当为以为斜边的等腰直角三角形时，则点P的坐标为________． 考点6：坐标规律 典例6：在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第2024步时，棋子所处位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 考点7：函数的定义 典例7：下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【变式3】下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤；    ⑥． 考点8：函数的关系式 典例8：弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：）与所挂的物体的质量（单位：）（不超过）间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 … 10 10.5 11 11.5 12 12.5 … 则下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【变式1】如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 【变式2】有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 【变式3】高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为 ． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 考点9：自变量的取值范围 典例9：函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式1】下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】自变量的取值范围 【变式3】函数的自变量的取值范围是 ． 考点10：函数值计算 典例10：定义：自变量为的某个函数记为，当自变量取某个实数时的函数值记为．若已知函数，则 以下结论正确的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【变式1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【变式2】二次函数，当时，则函数值的取值范围为 ． 【变式3】已知二次函数，如果那么 ． 考点11：实际问题与函数图像 典例11：A、B两地之间是一条直路，小红步行从A地往B地，小明跑步从B地往A地，两人同时出发，小明先到达目的地，两人之间距离与小红的运动时间的函数关系是大致如图，下列说法不正确的是（   ） A．两人出发2分钟后相遇 B．小红步行的速度是 C．小明到达目的地时两人相距 D．A、B两地相距 【变式1】为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（   ） A．随着潜水深度的增大，的阻值不断减小 B．随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C．当下潜的深度为时，的阻值为 D．当下潜的深度为时，电压表的示数为 【变式2】甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 【变式3】根据以下素材，完成下面的问题： ［素材1］某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． ［素材2］假设每位游客游玩时，行走速度保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程与时间的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． ［问题1］游客游玩时的行走速度为 米/分． ［问题2］路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 米． 考点12：动点问题 典例12：如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下三个结论：①；②当时，；③当时，；正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【变式1】已知内接于，．点A从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A运动的路线长为l，的面积为S，S随l变化的图象如图所示，其中． ①点A在运动的过程中，始终有； ②点M的纵坐标为； ③存在4个点A的位置，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【变式3】如图1，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点P从点C出发沿向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿向点G运动，连接．设的面积为与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点N的纵坐标为，则的值为 ． 第 1 页 共 79 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系与函数概念 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平面直角坐标系中点的坐标特征 （1）各象限点的特征： 第一象限（+，+）； 第二象限（—，+）； 第三象限（一，一）； 第四象限（+，一）． （2）特殊位置点的特征： 若点P在x轴上，则b=0； 若点P在y轴上，则a=0； 若点P在一、三象限角平分线上，则a=b； 若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0． （3）坐标的对称点特征 点P（a，b）关于x轴的对称点P’（a，一b） 点P（a，b）关于y轴的对称点P’（一a，b） 点P（a，b）关于原点的对称点P’（一a，一b）． （4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化 ①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为． ②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为： 点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）； 点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）； ③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为： 点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）； 点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）． ④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c； ⑤点P到点M的距离：PM= ⑥线段PM的中点坐标：（） （二）函数及自变量的取值范围 （1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量． （2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数． （3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法． （4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围： （5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线 （6）函数自变量取值范围 ①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__； ②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__； ③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数； ④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义. 函数的有关知识及其图象： （三）函数图像的分析与判断 分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. 模块三 考点一遍过 考点1：用坐标表示位置 典例1：如果演唱会门票“8排13座”记作，那么表示（   ） A．9排8座 B．8排8座 C．9排9座 D．8排9座 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了用数对表示位置． 根据题意，电影票上的“8排13座”记作，可知用数对表示位置时，第一个数字表示排，第二个数字表示座，由此即可解答． 【详解】解：∵电影票上的“8排13座”记作， ∴表示9排8座， 故选：A． 【变式1】在电影院里，如果用表示3排10号，那么7排8号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查用有序实数对表示位置，理解题意，弄清排、号的顺序是解题的关键．根据用表示排号，可将排号用有序实数对表示出来． 【详解】解：∵用表示排号， ∴排号可以表示为， 故选：B． 【变式2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为，目标B的位置为，现有一个目标C的位置为，且与目标B的距离为10，则目标C的位置为 ． 【答案】或 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查有序数对在实际生活中的实际应用，理解有序数对所表示的实际意义是做此题的关键．由目标的位置为，可知用这种方法表示物体的位置时，前边的数表示与中心点的距离，后边的数表示角度；观察点的位置，距离中心点有多远，在哪一个角度上，就不难写出的位置怎么标记了． 【详解】解：通过观察图形，点位于图中距离中心点的第3个圈上，且位于角处，它的位置是． 用有序数对确定位置时，第一个数表示该点在距离中心点的第几个圈上，第二个数表示该点在哪个度数的直线上． 目标B的位置为，目标C的位置为，且与目标B的距离为10， 或． 故答案为：或． 【变式3】【数对、位置与方向】 （1）如图中，D点的位置为，A点的位置用数对表示是 ． （2）如图中，B点在O点的 偏 °方向上． （3）计算如图阴影部分的周长和面积（图中每小格为边长1cm的正方形，π取3.14）分别为 、 ． 【答案】 北 东45 【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置、 圆的周长、 圆的面积 【分析】本题考查了平面坐标系中点的坐标、方向角、求阴影部分周长和面积． （1）根据坐标系直接写出坐标即可； （2）根据“上北下南，左西右东”直接可得方向角； （3）阴影部分的周长即为长和两个四分之一圆的长之和，阴影部分的面积即为长方形的面积减两个四分之一圆的面积． 【详解】解：（1）由坐标系可知：A点的位置用数对表示是； （2）B点在O点的北偏东方向上； （3）阴影部分的周长是， 阴影部分的面积是； 故答案为：（1）；（2）北；东45（3）； 考点2：求点的坐标 典例2：如图，已知其中点在第四象限，将线段绕点逆时针旋转得到，则点坐标可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握知识点是解题的关键．过点C、B作轴，轴，垂足为点，证明出，再利用对应边相等，即可求解坐标． 【详解】解：过点C、B作轴，轴，垂足为点，则， ∵， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点的坐标，点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为， 那么可以建立如图所示的平面直角坐标系： 所以点的坐标为 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴的距离是5，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查各象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键．根据各象限内点的坐标的符号特征即可得到答案． 【详解】解：点在第二象限内， 故点的横坐标小于，纵坐标大于， 点到轴的距离是4，到轴的距离是5， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标、线段的和与差 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出，的长，然后利用勾股定理求出的长，于是可得的长，利用线段的和与差可求得的长，于是即可求出点的坐标． 【详解】解：，，， ，， 又， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 考点3：判断点所在的象限 典例3：如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方， 由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第四象限． 故选：D． 【变式1】若点的坐标满足条件，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、平面直角坐标系中点的坐标．首先根据平方的非负性和绝对值的非负性得到，，从而可得点的坐标为，根据坐标判断点所在原象限． 【详解】解： 又，， ，， 解得：，， 点的坐标为， 点在第四象限． 故选：D． 【变式2】已知一元二次方程有两个实数根，点在第 象限． 【答案】四 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断点所在的象限 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及判断点所在的象限，根据一元二次方程有两个实数根，得出，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴点的坐标为， ∴点在第四象限； 故答案为：四． 【变式3】已知点，且，，则点P在第 象限； 【答案】三 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：∵点，且，， ∴，， 点在第三象限， 故答案为：三． 考点4：象限点的应用——含参 ☆☆☆☆ 典例4：若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（   ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，先根据平移得出点B的坐标，再根据点B所在象限列出不等式组，然后结合和是整数，，即可求出答案． 【详解】解： 向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点， ， 点位于第四象限， ， ， 又 ，和是整数， m可能是、，n可能是、， 可能是， 故选：D． 【变式1】已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：，因为点M的坐标都是整数， 所以． 故选：C． 【变式2】已知，在平面直角坐标系中有一点 （1）若点P在第一象限的角平分线上，则 ；若点P在第四象限的角平分线上，则 ； （2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ； （3）多解法点P不可能在第 象限； （4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标互为相反数，则 ． 【答案】 三 【知识点】求不等式组的解集、点坐标规律探索、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点的平移、相反数等知识点，熟练掌握平面内点的坐标特征、角平分线上点的特征是解题的关键． （1）当点P在第一象限的角平分线上求出m即可；当点P在第四象限的角平分线上可得求出m即可； （2）根据第二象限上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零列不等式组求解即可； （3）根据各象限内的坐标特点分别列不等式组求解即可判定； （4）先求出点P平移后点B的坐标，然后再根据点B的横，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：（1）当点P在第一象限的角平分线上，可得，解得：； 当点P在第四象限的角平分线上，可得，解得：． 故答案为：，． （2）当点P在第二象限，可得：，解得：． 故答案为：． （3）当点P在第一象限，可得：，解得：， 当点P在第二象限，可得：，解得：， 当点P在第三象限，可得：，方程组无解，即点P不可能在第三象限， 当点P在第四象限，可得：，解得：． 故答案为：三． （4）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B的坐标为，即， ∵点B的横，纵坐标互为相反数， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式3】已知点在第一象限，要使x取值有4个整数，则a的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据第一象限点的坐标特征可得：，然后进行计算可得，再根据已知易得：，即可解答． 【详解】解：点在第一象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 要使取值有4个整数， ， 故答案为：． 考点5：坐标与图形 典例5：在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形综合 【分析】本题考查直角坐标系，关于、轴对称的点的坐标特点，轴对称变换作图，熟知关于、轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据、两点的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得；分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得； （3）利用由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】（1）解：由，的坐标分别为，， 可得直角坐标系如图： （2）解：如图，和即为所求作； （3）解：由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 得点关于轴对称的点的坐标为； 由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 得点关于轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： (1)写出A，B，C的坐标； (2)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）； (3)求的面积； (4)在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形综合 【分析】（1）根据坐标系的知识，确定点的坐标即可． （2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据分割法计算面积计算即可． （4）根据点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标系中的确定坐标，对称作图，三角形的面积计算，线段和的最小值，熟练掌握对称作图，线段和最小值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 故，画图如下： 则即为所求． （3）解：根据题意，得的面积为： ． （4）解：如图2，作点A关于轴的对称点， 连接，交轴于点P， 则点P即为所求，此时点P的坐标为． 【变式2】平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值， (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点的坐标 【答案】(1)的值为 (2)点的坐标为 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质： （1）根据轴上的坐标特征即可解决； （2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征即可解决． 【详解】（1）因为点在轴上， 所以， 解得， 所以的值为． （2）因为点坐标为且轴， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； (3)的面积为________； (4)已知点P为坐标系内一点，连接，当为以为斜边的等腰直角三角形时，则点P的坐标为________． 【答案】(1)见详解 (2) (3)6 (4)或 【知识点】坐标系中描点、等腰三角形的定义、利用网格求三角形面积、坐标系中的对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，轴对称的性质，点的坐标，等腰直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别描出点，再依次连接，即可作答． （2）因为点D与点C关于y轴对称，所以点D与点C的横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可作答． （3）以为底，点A到的距离为高，列式计算，即可作答． （4）根据等腰直角三角形的性质，且结合网格特征，作图，然后读取点的坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵点D与点C关于y轴对称，且， 则点D的坐标为； 故答案为：． （3）解：依题意，的面积， 故答案为：6； （4）解： ∵当为以为斜边的等腰直角三角形时，且结合网格特征， ∴点如图所示： 则点的坐标分别为． 故答案为：或． 考点6：坐标规律 典例6：在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第2024步时，棋子所处位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用2024除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可． 【详解】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位， ∵， ∴走完第2024步，为第674个循环组的第2步， 所处位置的横坐标为， 纵坐标为， ∴棋子所处位置的坐标是． 故选C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，由可写出第2025个点的坐标． 【详解】解：从正方形的观点考虑，∵， ∴第2025个点是横坐标45时，在x轴上的点， ∴第2022个点的坐标为． 故选：B． 【变式2】如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图像规律，找到横纵坐标变化规律，从而得到点的规律． 根据图形，得到，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移个单位，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：，， ， ∴， 从到的平移为：向上平移3个单位长度， 从到的平移为：向上平移5个单位长度， 依次类推， 从到的平移为：向上平移个单位长度， ∵， ∴的坐标为， ∴向上平移个单位长度，得到， ∴，即：； 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，勾股定理，通过计算发现规律，然后根据规律求解． 【详解】解：由已知，点M每次旋转转动，则转动一周需转动8次， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可求：，，…， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 考点7：函数的定义 典例7：下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【解析】对于每一个x，有且仅有一个y与之对应，所以C符合题意 【变式2】下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 【变式3】下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤；    ⑥． 【答案】②③ 【知识点】函数的概念 【解析】对于每一个x，有且仅有一个y与之对应，所以②③符合题意 考点8：函数的关系式 典例8：弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：）与所挂的物体的质量（单位：）（不超过）间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 … 10 10.5 11 11.5 12 12.5 … 则下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【知识点】函数解析式、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的概念，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键．由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度增加，当不挂重物时弹簧长度为，然后逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A.与都是变量，说法正确，故选项正确，不符合题意； B.弹簧不挂重物时的长度为，故选项正确，不符合题意； C. 物体质量每增加，弹簧长度增加，故选项正确，不符合题意； D.由题意可知，，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了函数关系式的应用，分类讨论思想，根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨论，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答． 【详解】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价格最低的蛋糕免费． ①若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，免费， ∴此时原本结账金额等于后来结账的金额，即； ②如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃蛋糕计费，价格发生变化． 如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，需要付黑樱桃蛋糕，多付10元， 此时，； ③如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元， 此时，． 故选：D． 【变式2】有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水， 由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：； 由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：； 得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为 ． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查确定函数关系式．根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可． 【详解】解：由表得：海拔每上升米，沸点降低1度， ∴与的关系式为； 故答案为：． 考点9：自变量的取值范围 典例9：函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 【变式1】下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式以及分母不为0求解即可． 【详解】A.由可得或，解得或，不符合题意； B.由可得或，解得或，不符合题意； C.由可得，解得，不符合题意； D.由可得，解得，符合题意； 故选：D． 【变式2】自变量的取值范围 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂计算即可得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式3】函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且且 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、负整数指数幂、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 根据题意得不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得 且且． 故答案为：且且． 考点10：函数值计算 典例10：定义：自变量为的某个函数记为，当自变量取某个实数时的函数值记为．若已知函数，则 以下结论正确的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值的计算，解一元二次方程；分别计算出、、及，即可完成． 【详解】解：∵，，， ∴， 故A错误； 若，解得或， 故B错误； ， 故C错误； ， 故D正确； 故选：D． 【变式1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【答案】A 【知识点】求自变量的值或函数值、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，，即， 解得：， 故选：A． 【变式2】二次函数，当时，则函数值的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵，抛物线图象开口向下， ∴时，有最大值为， ∵， ∴当时，有最小值为， ∴当时，， 故答案为：． 【变式3】已知二次函数，如果那么 ． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求函数的函数值，先把代入可得到，然后代入解题即可． 【详解】解：当时，，解得， ∴当时，， 故答案为：． 考点11：实际问题与函数图像 典例11：A、B两地之间是一条直路，小红步行从A地往B地，小明跑步从B地往A地，两人同时出发，小明先到达目的地，两人之间距离与小红的运动时间的函数关系是大致如图，下列说法不正确的是（   ） A．两人出发2分钟后相遇 B．小红步行的速度是 C．小明到达目的地时两人相距 D．A、B两地相距 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在一开始时，两人的距离为，即可判断D，得到A、B两地的距离为，从而可以求出小红的速度，即可判断B；根据在出发后，两人相距为，即可判断A；求出两人的合速度，从而求出小明到达目的地的花费时间，求出此时小红的路程即可判断C． 【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为， ∴A、B两地的距离为， 故选项D正确，不符合题意； ∵小明先到达目的地， ∴小红到目的地花费的时间为， ∴小红的速度为，故B选项正确，不符合题意； ∵在出发后，两人相距为，即此时两人相遇，故A选项正确，不符合题意； ∵两人出发相遇， ∴两人的合速度为， ∴小红的速度为， ∴小明的速度为， ∴小明到目的地花费的时间为， ∵， ∴小明到达目的地时两人相距，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【变式1】为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原理简化电路图，其中的阻值会随下潜深度的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．深度表由电压表改装．已知电压表示数与电阻的关系式是．则下列说法不正确的是（   ） A．随着潜水深度的增大，的阻值不断减小 B．随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C．当下潜的深度为时，的阻值为 D．当下潜的深度为时，电压表的示数为 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图象，解题关键是准确识别图象，正确进行计算．根据图象所给信息，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，A正确，不符合题意； 由于随着潜水深度的增大，的阻值不断减小，所以逐渐减小，不断增大，B不正确，符合题意； 由图象可知，当下潜的深度为时，的阻值为，C正确，不符合题意； 当下潜的深度为时，，，D 正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息；根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以小时，求出甲车出发时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度时间总路程，即可判断出乙车出发后经过或，两车相距的距离，从而判断出④正确． 【详解】解：①甲车的速度为 ，故本选项正确，符合题意； ②乙车到达城用的时间为：，故本选项正确，符合题意； ③甲车出发，所走路程是：，甲车出发时，乙走的路程是： ，则乙车追上甲车，故本选项正确，符合题意； ④当乙车出发时，两车相距：，当乙车出发时，两车相距：，故本选项正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【变式3】根据以下素材，完成下面的问题： ［素材1］某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． ［素材2］假设每位游客游玩时，行走速度保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程与时间的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． ［问题1］游客游玩时的行走速度为 米/分． ［问题2］路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 米． 【答案】 60 4800 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，数形结合是解答本题的关键． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，进而可求出速度； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：（1）由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/秒）． 故答案为：60； （2）由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故答案为：4800． 考点12：动点问题 典例12：如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下三个结论：①；②当时，；③当时，；正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解题的关键．由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③． 【详解】由图知当动点沿匀速运动到点时， ，作于点， 是等边三角形，点在边上，， ， ，， ， ，故①正确； 当时，， ， 是等边三角形， ， ，故②正确； 当时，且时，最小， ， ， 最小值为，即能取到，故③错误； 故选：D． 【变式1】已知内接于，．点A从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A运动的路线长为l，的面积为S，S随l变化的图象如图所示，其中． ①点A在运动的过程中，始终有； ②点M的纵坐标为； ③存在4个点A的位置，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、利用勾股定理的逆定理求解、圆周角定理、求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据题意画出圆，分两种情况求出的度数，即可判断①是否正确；求出点位于优弧中点时，的面积，即可判断②是否正确；求出的面积为时，边上的高，再与弓形高比较，即可判断③是否正确．本题考查动点问题的函数图象，圆的有关概念和性质，解答中还涉及勾股定理的逆定理，理解题意，弄清函数图象中数据的意义是解题的关键． 【详解】解：由随变化的图象，画出内接于，点在圆周上顺时针运动的起始位置，如图， 设点，点分别是优弧和劣弧的中点， 则是的直径，， 设的半径为，与交于点， 由题意，知的长为，的长为， 的长的长的周长， ， ， ， 解得， 当点在上时， 连接，， ，， ，， ， ， ， 当点在上时， ， 故①错误； 当点运动到点位置时， 在中，，， ， 点的纵坐标为， 故②正确； 当时，设边上的高为， 则， 解得， ， 上存在2个点的位置，使得， ， ∴上不存在点的位置，使得， ∴存在2个点的位置，使得， 故③错误， 综上，正确结论的序号为：②． 故选：A． 【变式2】如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，，即， 的面积，解得： ∴， 时,点P运动至点E，即 ∴， 故答案为：6． 【变式3】如图1，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点P从点C出发沿向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿向点G运动，连接．设的面积为与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点N的纵坐标为，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查函数图象，动点与几何图形面积的计算，根据图象可知，设，则，根据二次函数图象的性质可得，由此即可可得或，则可得到，代入计算即可． 【详解】解：∵点的运动速度相同， ∴， 根据旋转的性质可得，， 当点在上时，点在上， ∴ ， 由图象可知当时，为定值， ∴，设， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$