微专题02 等边三角形手拉手模型通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 等边三角形的手拉手模型通关专练 一、单选题 1．如图，在等边中，，点O在上，且，点P在上，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到，要使点D落在边上，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，连接，由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得：，，得出为等边三角形，从而得出，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵为等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，C为线段上一点(不与点A，E重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：为等边三角形；，其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和判定、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得，，，从而可根据得到，再证明，再证得是等边三角形，再分别依次判断即可． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， 又， ，故⑤正确，符合题意； ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 和是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形，故④正确，符合题意； 是等边三角形， ， ， ，故②正确，符合题意； 从现有条件，无法得出，故③错误，不符合题意； 综上所述，正确的结论有①②④⑤， 故选：C． 3．如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 作，使得，连接，证明，即可得到，进而得出当，，三点共线时，的最小值等于的长，再根据△是等边三角形，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，作，使得，连接， ， 在△和△中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为8， 的长为8， ，， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ，，， ． ∴是等边三角形， ． 故选：A． 5．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；证明，都是等边三角形，即可判断正确，根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出⑤错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确． ， 由翻折的性质得，， 又， ， ，故②正确． ∵的对称图形和， ，， ，， ， ， 是等边三角形， 同法也是等边三角形， ；故③正确． ， ，， 边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， 平分，故④正确． 在和中，，，，， ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 6．如图，等边与等边，连接、，的延长线与交于点F，连接，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．证出，根据全等三角形的性质即可得结论①正确；过点作于点，作于点，先根据三角形的外角性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得结论②正确；设交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得结论③正确；在上截取，连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得结论④正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，，则结论①正确； 如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即平分，结论②正确； 如图2，设交于点， ∵， ∴， 即结论③正确； 如图3，在上截取，连接， 由上可知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的有4个， 故选：D． 7．如图，D是等边内部一点，如果将绕点A逆时针方向旋转到的位置，若则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，，，然后证明是等边三角形，，于是得解． 【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转到的位置， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，和是等边三角形，连接，交于点O，连接，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可判断A；记与的交点为，求出即可判断B；在上取一点，使，则是等边三角形，证明，得出，即可判断C；连接，要是，则有，结合题意即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，故A正确，不符合题意； 记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 在上取一点，使， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 连接，要是，则有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而没有办法判断大于，故D不一定正确，符合题意； 故选：D． 9．如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． ①根据，得到，所以，所以①正确； ②由①得，所以，,所以是等边三角形，，，所以，②正确； ③若，则，可证明, 得，而点C不一定是线段的中点，此说法不一定正确； ④，，④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③若，则， , , ，而点C不一定是线段的中点，此说法不一定正确； ， ∴④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 10．如图，在等边中，D，E分别在，上，，与相交于点G，于点F，连接并延长，与交于点O．若O是的中点，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等边三角形判定与性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题关键．先证，证出，再证是等边三角形，从而证明即可求出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，O是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选∶C． 11．如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 12．如图，边长为的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，下列说法正确的有（ ）个． ①；②；③的周长最小值为；④当周长最小时，；⑤的大小随着点的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、轴对称的性质，根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②；当点与重合时，线段最小，即此时周长最小，即可判断③；证明，得到，即可判断⑤；可得，作点关于直线的对称点，连接，，，，设交的延长线于点，当点，，三点共线，即点与点重合时，最小，即的周长最小，证明是等边三角形，推出，即可判断④． 【详解】∵是等边三角形，是边的中点， ∴，故①正确． ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴，故②正确． ∵点在线段上， ∴当点与重合时，线段最小，即此时的周长最小． ∵等边三角形的边长为，是边的中点， ∴． ∴的周长的最小值为，故③正确． ∵、都是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，故⑤错误． ∴，即点在射线上运动． 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，，设交的延长线于点． ∴． ∴的周长． ∴当点，，三点共线，即点与点重合时，最小，即的周长最小． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∵是边的中点， ∴． ∴． 故④错误． 综上，说法正确的为①②③，共3个． 故选B． 13．如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，内角和定理．根据题意可证明，可得，再根据，可得，再证明是等边三角形，是等边三角形，继而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 14．在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 先由绕点逆时针旋转，得到得到，，则可判断是等边三角形；根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得到，所以，则根据平行线的判定方法即可得到；根据等边三角形的性质得，而，则可判断；由是等边三角形得到，再利用绕点逆时针旋转，得到，则，所以的周长． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ，， 是等边三角形，所以①正确； 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ， ， ，所以②正确； ， ， ，所以④错误； 是等边三角形， ， 而绕点逆时针旋转，得到， ， 的周长，所以③正确． 故选：D． 15．如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．点，以相同的速度向点，方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：点，以相同的速度向点，方向运动， ；故选项A正确； 为等边三角形， ，， 又， ；故选项B正确； 当，为，的中点时，， ， 是等边三角形；故选项C正确； ， ， ， 是个定值；故选项D错误； 故选：D． 二、填空题 16．在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．先根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，，所以，则根据平行线的判定方法即可得到；由绕点B逆时针旋转，得到得到，则可判断是等边三角形；根据等边三角形的性质得，而，则可判断；由是等边三角形得到，再利用绕点B逆时针旋转，得到，则，所以的周长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形，所以②正确； ∴， ∵， 又, ∴ ∴，所以③错误； ∵是等边三角形， ∴， 而绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴的周长，所以④错误． 所以，正确的结论是①②， 故答案为：①②． 17．如图，已知是等边三角形，D为外一点，连接，，，E是边上的点，连接，，与交于点F．下面四个结论：①连接，则垂直平分线段； 是等边三角形；③若，，则；④若，则，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②/②① 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 由等边三角形的性质以及即可判断①；由得，即可判断②；由是等边三角形，，即可推出③；求出的度数即可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ， ， ∴点都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段；故①正确； ∵， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵是等边三角形，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ， ， ∴，故④错误； 故答案为：①②． 18．如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．先证明，进而可依据判定，则，证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，则，再求出，即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 19．如图，在中，，以为边向外作等边三角形、把绕着点D 按顺时针方向旋转后得到，若，，的长为 ． 【答案】5 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质证为等边三角形，证，．又证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得． 【详解】解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，， ∴为等边三角形， ∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即A、C、E三点共线， ∵为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 20．如图，边长为2的等边中， 是上中线且，连接，在的右侧作等边，则周长的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，作，连接，可证得出;根据是等边三角形，是上中线，可得，进一步推出；根据条件求出，可得；据此即可求解； 【详解】解：作，连接，如图所示： 由题意得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∴; ∵是等边三角形，是上中线， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， 可得， ∴， ∴； ∵，是上中线， ∴是的中位线， ∴是上中线， ∴， ∴； 故答案为： 21．如图，在等边中，，过边上一点作于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 过点作交于点，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 22．在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号为 ． 【答案】④ 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转性质得，则可判定①正确；由旋转性质得，则可判定②正确；由等边三角形的性质得，则的周长为，则可判定③正确；由及知，，则，故可判定④错误． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，； 由旋转性质得，， ∴是等边三角形； 故①正确； ∵， ∴， ∴； 故②正确； ∵是等边三角形； ∴，， ∴的周长为， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误． 综上，错误的是④； 故答案为：④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定，旋转的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 23．如图，为等边三角形（即，），，分别是，上的一动点，且，连结，交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分；③；④若，则点到的距离等于线段的长． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】证明，得出，再结合三角形外角的定义及性质即可判断①；得出是的垂直平分线，即可判断②；由全等三角形的性质得出，结合即可判断③；作于，证明即可判断④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵为等边三角形， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴，即，故③错误； 如图，作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点到的距离等于线段的长，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点C的对应点与重合得到，若，，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．解题的关键是证明． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 25．和都是等边三角形，将绕点旋转到如图的位置时，连接，相交于点，连接，线段、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．证明和，得，，再证明是等边三角形，最后由线段的和可得结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 三、解答题 26．在等边中，点是线段上一点（不与点，重合），作射线，点关于射线的对称点为点，直线交射线于点． (1)如图1，补全图形，若，求的度数； (2)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)画图见解析， (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据轴对称的基本作图画图即可．连接，由，则，利用等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． （2） 如图，在上截取使得，判定是等边三角形，证明，根据对称性得到，代换证明即可． 【详解】（1）解：如图，作于点G，延长到点E，使得，连接延长，交射线于点F． 连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，则， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段、、之间的数量关系为，理由如下： 如图，在上截取使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴，   ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 27．【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 28．如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 29．如图1，已知，在中，，以、为边向形外作等边三角形、等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点为的中点，连接、、，请直接写出与全等的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 与全等的三角形是，，，． 30．综合与实践： 已知：等边三角形 【观察猜想】如图①：为线段上一点，，交于点．可知三角形为______三角形． 【深入探究】：为线段上一点，为线段延长线上一点，且． （1）特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为的中点时，求线段的长； （2）特例启发：如图③当为上任意一点，其余条件不变，猜想线段与的数量关系？并说明理由． 【答案】【观察猜想】等边；【深入探究】（1）1；（2），理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】[观察猜想] 根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，即可求解； （1）根据题意可得，，如图所示，过点作于点，运用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）过点作，可得是等边三角形，再根据证明，即可求解． 【详解】解：【观察猜想】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 【深入探究】（1）当等边的边长为2，当点为的中点时，，，平分， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； （2） 理由如下：点为上任意一点，如图所示，过点作， ∴由“观察猜想”可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，平行性的性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 31．已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，连接、．求证：； (2)如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数； (3)如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________． (4)如图4，若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 (4) 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据题意得，再证明，即可得结论； （2）由（1）知，可得，，即可求出； （3）连接，证得，从而得出点E的运动轨迹，当垂直于该直线时，最小进而求得最小值． （4）将绕点A逆时针旋转到，连接，由得得到是等边三角形，由，得到，即可求出； 本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，                    ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 即，                            在和中， ∴， ∴； （2）由（1）知 ∴， ∵ ∴是等边三角形，                    ∴， ∵B、D、E三点共线， ∴， ∴，             ∴ ∵ ∴； （3）解：连接， 由（1）知， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点E在过点C且与垂直的直线上运动， ∴当垂直于该直线时，最小图中点，    ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2； （4）解：将绕点A逆时针旋转到，连接． ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，                  ∴， ∴． 32．是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则______°． (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②连接，若，C，P三点共线，，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②8 【知识点】三角形折叠中的角度问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可； （2）①如图1，连接，在上取一点，使，证明，则，证明是等边三角形，则，；②由，C，P三点共线，可得，证明，则，由①知，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： 如图1，连接，在上取一点，使， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ②解：∵，C，P三点共线， ∴， 由折叠可知，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴， 解得，， ∴， ∴的长为8． 33．如图1，在中，，，为边上任一点，连接，延长到，使．设． (1)则的大小为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在的平分线上，连接、，若，判断的形状并加以证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、等边对等角、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质． （1）由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由计算即可得解； （2）证明为等边三角形，得出，，由角平分线的定义结合（1）得出，证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，证明如下： ∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 34．（1）已知，均为等边三角形． ①如图1，求证：； ②如图2，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，连接、、．猜想的形状，并证明； （2）如图3，等腰中，，，为的中线．延长至，使得，延长至，使得，连接、．证明：． 【答案】（1）①见解析；②为等边三角形，理由见解析；（2）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，等量代换思想，证明． ②先证明．再根据等边三角形的判定定理，证明是等边三角形即可； （2）取中点，连接，延长至使得，连接，先证明，再证明，结合等边三角形的判定和性质，证明：． 【详解】（1）①证明：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴． ②猜想为等边三角形，理由如下： 由①得，， 又∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴ ∴为等边三角形． （2）取中点，连接，延长至使得，连接， ∵为中点， ∴， 又，， ∴，， ∴， 且， ∴， 又， ∴，， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，等量代换思想，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 35．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是； (3)证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 等边三角形的手拉手模型通关专练 一、单选题 1．如图，在等边中，，点O在上，且，点P在上，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到，要使点D落在边上，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 2．如图，C为线段上一点(不与点A，E重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：为等边三角形；，其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 5．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，等边与等边，连接、，的延长线与交于点F，连接，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，D是等边内部一点，如果将绕点A逆时针方向旋转到的位置，若则的度数是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，和是等边三角形，连接，交于点O，连接，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在等边中，D，E分别在，上，，与相交于点G，于点F，连接并延长，与交于点O．若O是的中点，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 11．如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 12．如图，边长为的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，下列说法正确的有（ ）个． ①；②；③的周长最小值为；④当周长最小时，；⑤的大小随着点的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 13．如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 14．在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 15．如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 二、填空题 16．在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）． 17．如图，已知是等边三角形，D为外一点，连接，，，E是边上的点，连接，，与交于点F．下面四个结论：①连接，则垂直平分线段； 是等边三角形；③若，，则；④若，则，其中所有正确结论的序号是 ． 18．如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 19．如图，在中，，以为边向外作等边三角形、把绕着点D 按顺时针方向旋转后得到，若，，的长为 ． 20．如图，边长为2的等边中， 是上中线且，连接，在的右侧作等边，则周长的最小值是 ． 21．如图，在等边中，，过边上一点作于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为 ． 22．在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号为 ． 23．如图，为等边三角形（即，），，分别是，上的一动点，且，连结，交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分；③；④若，则点到的距离等于线段的长． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 24．如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点C的对应点与重合得到，若，，则的长度为 ． 25．和都是等边三角形，将绕点旋转到如图的位置时，连接，相交于点，连接，线段、、之间的数量关系是 ． 三、解答题 26．在等边中，点是线段上一点（不与点，重合），作射线，点关于射线的对称点为点，直线交射线于点． (1)如图1，补全图形，若，求的度数； (2)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 27．【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 28．如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 29．如图1，已知，在中，，以、为边向形外作等边三角形、等边三角形，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，点为的中点，连接、、，请直接写出与全等的所有三角形． 30．综合与实践： 已知：等边三角形 【观察猜想】如图①：为线段上一点，，交于点．可知三角形为______三角形． 【深入探究】：为线段上一点，为线段延长线上一点，且． （1）特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为的中点时，求线段的长； （2）特例启发：如图③当为上任意一点，其余条件不变，猜想线段与的数量关系？并说明理由． 31．已知：点D为等边内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，连接、．求证：； (2)如图2，连接，若B、D、E三点共线，求的度数； (3)如图3，点D在的高上运动，连接，若，则的最小值为________． (4)如图4，若，，，求的度数． 32．是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则______°． (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②连接，若，C，P三点共线，，求的长． 33．如图1，在中，，，为边上任一点，连接，延长到，使．设． (1)则的大小为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在的平分线上，连接、，若，判断的形状并加以证明． 34．（1）已知，均为等边三角形． ①如图1，求证：； ②如图2，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，连接、、．猜想的形状，并证明； （2）如图3，等腰中，，，为的中线．延长至，使得，延长至，使得，连接、．证明：． 35．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$