（趣味奥数）第十八讲 长方体和正方体（三）-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

长方体和正方体（三） 积木城堡大冒险 周末，阳光明媚，小明、小红和小刚相约在小区的草坪上玩积木。他们带来了各种各样的积木，有长方体的，有正方体的，五颜六色，十分好看。 小明兴奋地提议：“咱们用这些积木搭一座超级大城堡吧！” 大家纷纷赞同。于是，他们开始动手搭建。小红拿起一块正方体的积木，仔细观察着说：“你们看，正方体的每个面都是正方形，而且这六个面的大小完全一样。” 小刚也拿起一块长方体积木，接着说：“长方体就不一样啦，它有六个面，相对的面是完全相同的长方形，不过也有可能有两个相对的面是正方形哦。” 在搭建城墙的时候，他们发现长方体的积木更适合做长条形的部分。小明一边摆放一边说：“我们得把长的边拼在一起，这样城墙才又长又整齐。” 很快，城堡的轮廓就初步形成了。 这时，小刚提出一个问题：“咱们搭的这个城堡，到底用了多少体积的积木呀？” 小红思考了一下，说：“正方体的体积最好算啦，边长乘边长乘边长就行。比如说这个边长是 3 厘米的正方体，它的体积就是 3×3×3 = 27 立方厘米。” 小明看着长方体的积木，接着说：“长方体体积是长乘宽乘高。这块长 5 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的长方体，体积就是 5×4×2 = 40 立方厘米。” 他们一块一块地计算着积木的体积，然后把所有积木的体积相加，终于算出了城堡的大致体积。随着城堡越建越高，他们又遇到了新问题，城堡的顶部该用什么形状的积木呢？小红灵机一动：“用正方体吧，正方体每个面都一样平，放在顶部刚刚好。” 大家觉得这个主意不错，就按照小红的想法，用正方体的积木为城堡搭好了漂亮的塔顶。 经过一番努力，一座壮观的积木城堡矗立在草坪上。看着自己的杰作，他们开心极了。通过这次搭建城堡，小朋友们不仅收获了快乐，还对长方体和正方体的知识有了更深刻的理解，感受到数学在生活中无处不在。 长方体和正方体的认识: 长方体：由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。它有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的长、宽、高各有4条。 正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，也叫做立方体。它有6个面，每个面都是正方形且完全相同；有12条棱，所有棱的长度都相等；有8个顶点。正方体是特殊的长方体，即长、宽、高都相等的长方体。 长方体和正方体的棱长总和: 长方体：棱长总和=(长+宽+高)×4,用字母表示为L=(a+b+h)×4。由此还可推导出：长=棱长总和÷4-宽-高，即a=L÷4-b-h;宽=棱长总和÷4-长-高；高=棱长总和÷4-长-宽。正方体：棱长总和=棱长×12,用字母表示为L=12a,则棱长=棱长总和÷12,即a=L÷12。 长方体和正方体的表面积: 定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 计算公式：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,用字母表示为 S=(ab+ah+bh)×2;正方体的表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a²。此外，无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2;无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽× 高)×2。长方体和正方体的体积: 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 计算公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh;正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³。长方体(或正方体)的体积还可以用统一公式表示为：体积=底面积×高，即V=Sh。 体积单位及进率: 常用体积单位：立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方米(m³)。 进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000000立方厘米。 容积和容积单位③④: 容积单位与体积单位的关系：1升(L)=1立方分米，1毫升(ml)=1立方厘米，1升=1000毫升。 容积的计算方法：与体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。 1： 如图，将一个长方体的高减少5厘米，正好得到一个正方体，这个长方体的表面积减少了160平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】 根据题意，长方体的高减少5厘米，表面积减少160平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是5厘米，长是原来长方体的长或宽；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以5，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上5厘米，求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原来长方体的表面积。 【标准答案】 长方体的长、宽是： 160÷4÷5 ＝40÷5 ＝8（厘米） 原来长方体的高是：8＋5＝13（厘米） 原来长方体的表面积： （8×8＋8×13＋8×13）×2 ＝（64＋104＋104）×2 ＝272×2 ＝544（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是544平方厘米。 点睛：本题考查长方体表面积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 1. 1．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 2．实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 3．将一个长方体木块分别从上部和下部裁去高为4厘米和高为3厘米的小长方体后，得到了一个正方体。如果这个正方体表面积比原来减少了140平方厘米，那么，原长方体的体积是多少立方米？ 2： 一个装有水的长方体容器长13厘米，宽10厘米，把一个圆柱和一个圆锥都放入容器中，水面上升了2厘米。已知圆柱和圆锥等底等高，圆锥完全浸入水中，圆柱有的高露出水面，则圆柱的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】 水面上升的体积就是圆柱和圆锥浸入水中的体积和，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝圆柱和圆锥浸入水中的体积和。等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆柱体积看作单位“1”，圆锥体积是圆柱体积的，1－露出水面的对应分率＝水中圆柱体积对应分率，水中圆柱体积对应分率＋圆锥体积对应分率＝圆柱和圆锥浸入水中的体积对应分率，圆柱和圆锥浸入水中的体积和÷对应分率＝圆柱体积，据此列式解答。 【标准答案】 13×10×2＝260（立方厘米） （立方厘米）    答：圆柱的体积是240立方厘米。 点睛：关键是掌握并灵活运用长方体、圆柱和圆锥的体积公式，理解分数除法的意义。 2． 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．如图所示，SA＝32平方分米，SB＝8平方分米，h＝5分米。现在要把处的铁块熔到处。使、处同样高，这时处比原来升高了多少分米？ 3．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 3： 有4个直径是4厘米的乒乓球，它们正好能放在一个有盖的盒子里．请你先猜想一下，这是一个怎么样的盒子，做这样的一个盒子需要用多少平方厘米的纸板？(纸板厚度忽略不计) 要求：①先画出草图，再解决问题． ②至少体现两种不同的想法． 【思路分析】 答案不唯一．如： 想法一：画草图 4×4×2＋4×16×4＝288（平方厘米） 想法二：画草图 8×8×2+8×4×4＝256（平方厘米） 想法三: 画草图 3.14×4×16+3.14××2 ＝226.08(平方厘米) 说明： 考虑两种情况：一种是做成方体，一种是做成圆柱体． （一）盒子做成方体：（以下为底面平面图，小正方形的边长为2厘米．） （1）底面摆1个小球，即解法一． （2）底面摆2个小球， 即解法二． （3）底面摆3个小球，此时长方体的长为  8厘米，宽比8厘米小． （4）底面摆4个小球，即解法二． （学生这样摆放的话，目前没办法解答）． （二）盒子做成圆柱体： （1）底面摆1个小球，即解法三． （2）底面摆2个球，此时圆柱的底面半径为4厘米，高会略小于8厘米．（学生这样摆放的话，目前没办法解决） （3）底面摆3个小球，圆柱体的底面半径比4厘米多一些，高比8小一些． （学生这样摆放的话，目前没办法解答）． （4）底面摆4个小球，图1方式摆放的话，圆柱底面半径约4.8厘米． 图2方式摆放的话，圆柱底面半径约5.6厘米． （学生这样摆放的话，目前没办法解答）． 3． 1．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图所示的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？ 2．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．问：这个立体图形由多少个小正方体组成？ 3．如图是一个5×5×5的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成1×1×1的小正方体．取出全部至少有一个面是红色的小正方体，组成表面全部是红色的实心长方体．求可以组成的长方体的最大体积． 4： 有一个长方体玻璃容器，从里面量长6分米，宽5分米，高8分米，向这个容器注水时，能出现几次相对的水面是正方形的情况？当第二次出现相对的水面是正方形时，水所形成的长方体的体积是多少升？ 【思路分析】 出现相对的水面是正方形时，水的高度和长方体玻璃容器的宽相等，或者是和长方体玻璃容器的长相等。是当第一次出现相对的水面是正方形时的情况；是当第二次出现相对的水面是正方形时的情况。长方体体积＝长×宽×高，把数据代入算出水的体积，再根据1立方分米＝1升转化单位即可。 【标准答案】 6×5×6 ＝30×6 ＝180（立方分米） ＝180（升） 答：能出现2次相对的水面是正方形的情况。当第二次出现相对的水面是正方形时，水所形成的长方体的体积是180升。 点睛：出现相对的水面是正方形时，水的高度和长方体玻璃容器的宽相等，或者是和长方体玻璃容器的长相等。画图简洁易懂。 4. 1．有一个花坛，高0.6米，底面是边长为1.5米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，中间填满泥土。需要泥土多少立方米？ 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢出水） 排水法求不规则物体的体积 我们知道用“排水法可以求不规则物体的体积。但同学们知道吗，关于这个问题，还有一个与古希腊科学家阿基米德有关 的流传甚广、为人称道的有趣故事呢。 古希腊叙拉古国的一位国王为显示自己的丰功伟业，决定制 造一顶金王冠放入一座圣庙，献给不朽的神灵。为了使这件事做 得完美，国王挑选了优秀的制造商，并精确地称量出黄金交给这 位制造商。不久，一顶精美别致的金王冠被呈献给国王。国王观 后十分高兴，心满意足。不料后来有人告发说，在做王冠时商人 盗窃了金子，加上了等量的银子。国王认为自己受了骗，蒙受了奇耻大辱，同时也 感到事情果真如此，那是对神灵的亵渎，罪过实在深重。但又苦于无法将商人的窃 贼嘴脸揭露于众，因为王冠的重量与所给的黄金的重量完全相符。为此，国王召见 了宫廷科学家，就是当时最著名的力学家阿基米德，让他想想办法。阿基米德了解 了这一事情的原委后，日夜冥思苦想。一天，他在洗澡，当身体慢慢浸入水中时，澡盆中的水逐渐溢出澡盆外。这一简单现象使阿基米德的思路豁然开朗。他一下子 从澡盆里跳出来，光着身子欣喜若狂地大叫：“找到了！找到了！”他找到了解决 问题的办法。 根据洗澡这一事实所受的启发，阿基米德设计了一个实验。他做了两件物 体，每件的重量与王冠相同，一件是黄金的，另一件是白银的。他把一个大容器 装满水，首先把银制品放进去，而后再取出来，再用量杯把水注入容器，直到恢 复原来的满度。这样，阿基米德根据溢出的水的体积与沉入容器中的银制品的体 积应当相等的道理，求出了银制品的体积。在此之后，阿基米德又把金制品放入 装满了水的容器中，再取出来，并像上一次一样用量杯把水再装满。他发现第二 次溢出的水没有第一次那么多，稍微少了一点点。这说明金制品的体积比相同重量的银制品的体积要小，两者之差恰好是两次溢出的水的体积之差。最后，他又 用水装满容器，并把制造商制造的王冠放入，发现王冠排出的水比同样重的金制品排出的水要多些，而比同样重的银制品排出的水要少些。由此他断定制造商在金子里掺进了银子，从而帮助国王判定了制造商窃取金子的罪行。 1： 如图，将一个长方体的高减少5厘米，正好得到一个正方体，这个长方体的表面积减少了160平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】 根据题意，长方体的高减少5厘米，表面积减少160平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是5厘米，长是原来长方体的长或宽；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以5，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上5厘米，求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原来长方体的表面积。 【标准答案】 长方体的长、宽是： 160÷4÷5 ＝40÷5 ＝8（厘米） 原来长方体的高是：8＋5＝13（厘米） 原来长方体的表面积： （8×8＋8×13＋8×13）×2 ＝（64＋104＋104）×2 ＝272×2 ＝544（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是544平方厘米。 点睛：本题考查长方体表面积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 1. 1．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 答案：256平方厘米 分析：由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。 详解：长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是256平方厘米。 点睛：一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 2．实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 答案：（1）315平方分米；（2）34.75厘米 分析：（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出做一个鱼缸需要和玻璃的面积，然后再乘3即可。 （2）根据题意可知，把这根铁棒从鱼缸中取出后，水面下降的体积等于铁棒被水淹没的体积，说明下降的高等于铁棒被水淹没的体积除以鱼缸的底面积，然后用鱼缸的高减去水面下降的高即可。 详解：（1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2 ＝28＋49＋28 ＝105（平方分米） 105×3＝315（平方分米） 答：做这些鱼缸需要315平方分米的玻璃。 （2）4×7＝28（平方分米） 28平方分米＝2800平方厘米 3.5分米＝35厘米 35×20＝700（立方厘米） 700÷2800＝0.25（厘米） 35－0.25＝34.75（厘米） 答：这时水面的高度是34.75厘米。 点睛：此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．将一个长方体木块分别从上部和下部裁去高为4厘米和高为3厘米的小长方体后，得到了一个正方体。如果这个正方体表面积比原来减少了140平方厘米，那么，原长方体的体积是多少立方米？ 答案：0.0003立方米 分析：如图，减少的表面积是前后左右4个面的面积，用减少的面积÷两次减少的高的和＝底面周长，底面周长÷4＝底面边长，即长和宽，再确定原来的高，根据长方体体积＝底面积×高，列式解答即可。 详解：140÷（4＋3） ＝140÷7 ＝20（厘米） 20÷4＝5（厘米） 5×5×（5＋4＋3） ＝25×12 ＝300（立方厘米） ＝0.0003（立方米） 答：原长方体的体积是0.0003立方米。 点睛：关键是掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式。 2： 一个装有水的长方体容器长13厘米，宽10厘米，把一个圆柱和一个圆锥都放入容器中，水面上升了2厘米。已知圆柱和圆锥等底等高，圆锥完全浸入水中，圆柱有的高露出水面，则圆柱的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】 水面上升的体积就是圆柱和圆锥浸入水中的体积和，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝圆柱和圆锥浸入水中的体积和。等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆柱体积看作单位“1”，圆锥体积是圆柱体积的，1－露出水面的对应分率＝水中圆柱体积对应分率，水中圆柱体积对应分率＋圆锥体积对应分率＝圆柱和圆锥浸入水中的体积对应分率，圆柱和圆锥浸入水中的体积和÷对应分率＝圆柱体积，据此列式解答。 【标准答案】 13×10×2＝260（立方厘米） （立方厘米）    答：圆柱的体积是240立方厘米。 点睛：关键是掌握并灵活运用长方体、圆柱和圆锥的体积公式，理解分数除法的意义。 2． 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 答案：360立方分米 分析：一个长方体木块，从上部截去高为4分米的长方体，便成为一个正方体，说明原来长方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且每个侧面都是形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4＝24（平方分米），因为截去的小长方体的高是4分米，所以小长方体的长＝24÷4＝6（分米），则原来大长方体的长为6分米，宽是6分米，高为：6＋4＝10（分米），再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 详解：96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（分米） 6×6×（6＋4） ＝6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方分米） 答：原来长方体的体积是360立方分米。 点睛：一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部分就是小长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 2．如图所示，SA＝32平方分米，SB＝8平方分米，h＝5分米。现在要把处的铁块熔到处。使、处同样高，这时处比原来升高了多少分米？ 答案：4分米 分析：与的高度相差5分米的那部分铁块的体积是：（32×5）立方分米；要使与两处同样高，则将相差部分的体积熔铸成底面积是（32＋8）平方分米的长方体体积；根据长方体的体积÷底面积＝高，代入数据即可求出熔铸后B处升高的体积。 详解：（立方分米） （分米） 答：这时处比原来升高了4分米。 点睛：本题考查了体积的等积变形，明确哪部分体积被变形是解答本题的关键。 3．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 答案：400立方厘米 分析：根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体容器的容积，正方体容器的底面积×水面高度＝水的体积，正方体容器的容积－水的体积＝高6厘米的镇尺体积。高6厘米的镇尺体积÷6＝镇尺底面积，镇尺底面积×镇尺高＝镇尺体积，据此列式解答。 详解：10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（立方厘米） 300÷6＝50（平方厘米） 50×8＝400（立方厘米） 答：这个镇尺的体积是400立方厘米。 点睛：关键是先求出镇尺底面积，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 3： 有4个直径是4厘米的乒乓球，它们正好能放在一个有盖的盒子里．请你先猜想一下，这是一个怎么样的盒子，做这样的一个盒子需要用多少平方厘米的纸板？(纸板厚度忽略不计) 要求：①先画出草图，再解决问题． ②至少体现两种不同的想法． 【思路分析】 答案不唯一．如： 想法一：画草图 4×4×2＋4×16×4＝288（平方厘米） 想法二：画草图 8×8×2+8×4×4＝256（平方厘米） 想法三: 画草图 3.14×4×16+3.14××2 ＝226.08(平方厘米) 说明： 考虑两种情况：一种是做成方体，一种是做成圆柱体． （一）盒子做成方体：（以下为底面平面图，小正方形的边长为2厘米．） （1）底面摆1个小球，即解法一． （2）底面摆2个小球， 即解法二． （3）底面摆3个小球，此时长方体的长为  8厘米，宽比8厘米小． （4）底面摆4个小球，即解法二． （学生这样摆放的话，目前没办法解答）． （二）盒子做成圆柱体： （1）底面摆1个小球，即解法三． （2）底面摆2个球，此时圆柱的底面半径为4厘米，高会略小于8厘米．（学生这样摆放的话，目前没办法解决） （3）底面摆3个小球，圆柱体的底面半径比4厘米多一些，高比8小一些． （学生这样摆放的话，目前没办法解答）． （4）底面摆4个小球，图1方式摆放的话，圆柱底面半径约4.8厘米． 图2方式摆放的话，圆柱底面半径约5.6厘米． （学生这样摆放的话，目前没办法解答）． 3． 1．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图所示的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？ 答案：17块． 详解：试题分析：从下向上分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木6+5+4+2=17块． 解：6+5+4+2=17（块）， 答：图中共有黑色积木17块． 点评：本题关键是分层画出俯视图，结合黑白间隔排列画出黑色积木． 2．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．问：这个立体图形由多少个小正方体组成？ 答案：38个 详解：试题分析：由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 解：从前往后分层数，如图所示： 共有13+6+6+13=38个， 答：这个立体图形由38个小正方体组成． 点评：解答此题的关键是弄清第二、三层还剩几个． 3．如图是一个5×5×5的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成1×1×1的小正方体．取出全部至少有一个面是红色的小正方体，组成表面全部是红色的实心长方体．求可以组成的长方体的最大体积． 答案：96； 详解：试题分析：可以先求出这个立方体可以切割的小正方体的总个数和长方体中没有涂色的小正方体个数，而没有涂色的小正方体都在长方体的内部，然后根据长方体的体积公式看组成长方体的体积最大是多少，由此即可解答． 解：5×5×5﹣（5﹣2）×（5﹣2）×（5﹣2） =125﹣27 =98（个）， 8个三面涂色的在长8个三面涂色的在长方体8个顶点处，（5﹣2）×12=36个两面涂色的在长方体的12条棱上，一面涂色的98﹣8﹣36=54个只能放在面的中间和里面，如图， 98=2×7×7，两面涂色的需要（7﹣2）×8=40，40＞35，不可以； 96=4×4×6，两面涂色的需要（4﹣2）×8+（6﹣2）×4=32，32＜35，可以； 答：可组成的长方体的体积最大是96； 点评：此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部． 4： 有一个长方体玻璃容器，从里面量长6分米，宽5分米，高8分米，向这个容器注水时，能出现几次相对的水面是正方形的情况？当第二次出现相对的水面是正方形时，水所形成的长方体的体积是多少升？ 【思路分析】 出现相对的水面是正方形时，水的高度和长方体玻璃容器的宽相等，或者是和长方体玻璃容器的长相等。是当第一次出现相对的水面是正方形时的情况；是当第二次出现相对的水面是正方形时的情况。长方体体积＝长×宽×高，把数据代入算出水的体积，再根据1立方分米＝1升转化单位即可。 【标准答案】 6×5×6 ＝30×6 ＝180（立方分米） ＝180（升） 答：能出现2次相对的水面是正方形的情况。当第二次出现相对的水面是正方形时，水所形成的长方体的体积是180升。 点睛：出现相对的水面是正方形时，水的高度和长方体玻璃容器的宽相等，或者是和长方体玻璃容器的长相等。画图简洁易懂。 4. 1．有一个花坛，高0.6米，底面是边长为1.5米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，中间填满泥土。需要泥土多少立方米？ 答案：0.726立方米 分析：求需要泥土的体积，就是求长方体花坛的容积。因为花坛的底面是边长为1.5米的正方形，四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，那么花坛里面的边长是（1.5－0.2×2）米，根据正方形的面积S＝a2，求出花坛的底面积；然后根据长方体的体积（容积）V＝Sh，即可求解。 详解：1.5－0.2×2 ＝1.5－0.4 ＝1.1（米） 1.1×1.1×0.6 ＝1.21×0.6 ＝0.726（立方米） 答：需要泥土0.726立方米。 点睛：本题考查长方体体积（容积）公式的运用，关键是理解花坛里面的边长要减去2个砖墙的厚度。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 答案：（1）7.5分钟 （2）60升 分析：本题可以先解答第（2）小题，求出水槽的容积，根据“水槽正中间有一块高6厘米的隔板”可知，长方体水槽被隔板分成容积相同的两部分，可设右面的注水速度是每分钟x升，根据左右两部分容积相同列出方程，求出右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积，最后用长方体水槽容积除以左右两面注水的速度和，即可求出注满水槽共需的时间。 详解：解：设右面每分钟注水x升，根据分析列方程如下： 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 1.5x＝9 x＝6 3x＝3×6＝18（升）＝18000（立方厘米） 18000÷6÷40＝75（厘米） 长方体水槽长：75×2＝150（厘米） （2）长方体水槽容积：150×40×10＝60000（立方厘米）＝60（升） （1）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟，水槽的容积是60升。 点睛：本题考查长方体体积（容积）的应用，关键是根据右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积。 3．一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢出水） 答案：0.6分米 分析：铁块高5分米，而玻璃缸高4分米，所以肯定不会完全淹没，放进去以后水面肯定会上升，可以考虑先放铁块，再倒水，这样容器的底面积被占了一部分。 详解：容器底面积：（平方分米） 铁块底面积：（平方分米） 水的体积：（立方分米） （分米） （分米） 答：水面会上升0.6分米。 点睛：本题考查的是排水问题，总共有完全淹没水未溢出，完全淹没水溢出，不完全淹没这三种情况，注意区分。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$