（趣味奥数）第七讲 最小公倍数（一）-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

最小公倍数（一） 花果山的训练日程 在花果山，孙悟空为了让猴子猴孙们强身健体，制定了严格的训练计划。他把猴子们分成了两队，一队负责在山上跳跃攀爬，锻炼敏捷性；另一队则在平地练习棍棒技巧。 负责跳跃攀爬的猴子们，每 3 天进行一次高强度的山间特训，因为这样能让它们充分适应不同地形，提升能力。而练习棍棒技巧的猴子们，每 4 天会有一次集中的棍棒对练，以此来打磨实战能力。 一开始，两队的训练安排得井井有条。可是没过多久，问题就出现了。有一天，孙悟空发现当攀爬队进行山间特训时，棍棒队也在进行对练，导致场地十分拥挤，猴子们施展不开。孙悟空皱着眉头想：“这可不行，得想个办法让两队的训练时间能错开，又不影响训练效果。” 这时，上次表现出色的小猴灵灵又站了出来，它说：“大王，我知道该怎么办。我们可以用最小公倍数的知识来解决这个问题。” 孙悟空好奇地问：“灵灵，啥是最小公倍数啊？” 灵灵耐心地解释道：“大王，3 的倍数有 3、6、9、12、15、18……4 的倍数有 4、8、12、16、20…… 您看，它们公有的倍数有 12、24…… 其中最小的就是 12，这就是 3 和 4 的最小公倍数。” 孙悟空挠挠头，还是不太明白：“那这 12 有啥用呢？” 灵灵接着说：“大王，这就意味着我们可以以 12 天为一个周期来安排训练。在这 12 天里，攀爬队可以进行 12÷3 = 4 次山间特训，棍棒队可以进行 12÷4 = 3 次棍棒对练。这样，两队的训练时间就不会冲突啦。” 孙悟空听后，眼睛一亮，高兴地说：“灵灵，你太聪明啦！就按你说的办。” 按照新的训练周期安排，花果山的训练场地再也没有出现过拥挤的情况，猴子们的训练效果也越来越好。 通过这次训练日程的调整，猴子们都深刻体会到了最小公倍数在生活中的奇妙用处。孙悟空也常常提醒大家：“数学知识无穷无尽，学好它，咱们花果山才能变得更强大！” 从那以后，猴子们在生活中遇到问题，都会尝试用数学知识去思考、去解决。 1.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求两个数的最小公倍数的方法 （1）列举法：先从小到大分别写出两个数的一些倍数，再从它们公有的倍数中找到最小的即是最小公倍数。 （2）筛选法：先写出较大数的一些倍数，再从中找出较小数的倍数，最小的一个即是它们的最小公倍数。 （3）分解质因数法：先把两个数分别分解质因数，再找出他们共有的质因数，用他们公有的质因数的乘积再与非公有的质因数相乘，所得的结果即是它们的最小公倍数。 方法点睛： （1）两个数的最小公倍数是它们公倍数的因数。 （2）当两个数的最大公因数是1 （互质）时，这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。 （3）当两个数中较大的数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是较大数。 （4）两个非0自然数的乘积等于他们的最大公因数乘最小公倍数 1： 甲、乙两数分别是32和24，它们的最大公因数是8，它们的最小公倍数是多少？ 【思路分析】 两个数的乘积除以它们的最大公因数，得到的商就是他们的最小公倍数。因为这两个数的乘积就是它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。 【标准答案】 32×24÷8 ＝32×（24÷8） ＝32×3 ＝96 1. 1．已知两个自然数的积是768，最大公因数是16，求这两个数的最小公倍数是多少？ 2．两个互质的自然数的最小公倍数是432。求这两个数。 3．两个互质的自然数（不为1）的最小公倍数是1125。求这两个数。 2： 两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180。这两个数不是倍数。求这两个数？ 【思路分析】 本题实际是考查求最小公倍数方法的逆用，首先计算出两个数独有质因数的连乘积。再根据两个数不是倍数关系，求出合适的数即可。 【标准答案】 两个数独有的质因数的乘积是：180÷12＝15 因为15＝3×5＝1×15 因为两个数不是倍数，所以不可能是1和15； 所以这两个数是12×3＝36，12×5＝60 答：这两个数分别是36和60。 2． 1．已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。 2．两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少。 3．两个自然数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144，这两个数各是多少？ 3： 两个质数的最小公倍数是77，这两个质数的和是多少？ 【思路分析】 把77分解质因数，求出两个质数，然后再把这两个质数相加即可． 【标准答案】 这两个质数是7和11．两个质数的和是：7＋11=18． 3． 1．两个数的最大公因数是15，最小公倍数是360，且这两个数相差75，那么这两个数中的较小数是多少？ 2．两个自然数的差是14，它们的最大公因数是14，最小公倍数是84。这两个数各是多少？ 3．从6、7、8、9这四个数里取出两个互质的数，你可以取几组？每组两个数的最小公倍数是几？ 4： 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，这两个数可能是多少？ 【思路分析】 首先要知道最大公约数和最小公倍数是如何求得的，最大公约数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以用最小公倍数除以最大公约数就得到了两个数的独有因数的积，并且两个数的独有因数应该是互质的。 【标准答案】 因为180÷15＝12，12分解成两个互质的数有两种情况即1和12、3与4， 所以这两个数有几种情况： 15×3×2＝90、15×2＝30（不符合题意） 15×3＝45、15×4＝60， 15×1＝15，15×12＝180， 所以这两个数可能是45和60或15和180。 答：这两个数可能是45和60或15和180。 4. 1．已知两个自然数的积是5766,它们的最大公因数是31,这两个自然数分别是多少? 2．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？ 3．已知甲、乙两数的最大公因数和最小公倍数分别是6和126，且甲数是18。乙数是多少？ 最早提出了最小公倍数 在世界上，中国最早提出了最小公倍数的概念。由于分数加、减运算上的需要，也是在《九章算术》中就提出了求分母的最小公倍数的问题。在西方，到13世纪时意大利数学家斐波那契才第一个论述了这一概念，比中国至少要迟一千二百多年。 从中国最小公倍数起源的论述中可以看出，张邱建是中国历史上第一个提出最小公倍数的人。他的最小公倍数与最大公约数关系在“封山周栈”中完美展示，并深入发掘 。张邱建的最小公倍数理论同样应用于分数通分。这与“合分术”、“少广术”有本质的区别，也是对“合分术”的发展。 国外最小公倍数的起源中古希腊独树一帜 ，从数论中得到最小公倍数概念 并对最小公倍数概念进行应用。如《几何原本》卷，阐述求解两个数最小公倍数的方法命题，提出“两数最小公倍数可以量尽两个数的任意倍数”，所以欧几里得是古希腊提出最小公倍数概念的第一人。 1： 甲、乙两数分别是32和24，它们的最大公因数是8，它们的最小公倍数是多少？ 【思路分析】 两个数的乘积除以它们的最大公因数，得到的商就是他们的最小公倍数。因为这两个数的乘积就是它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。 【标准答案】 32×24÷8 ＝32×（24÷8） ＝32×3 ＝96 1. 1．已知两个自然数的积是768，最大公因数是16，求这两个数的最小公倍数是多少？ 答案：48 分析：根据最大公因数和最小公倍数的概念可知，两个自然数的积＝最大公因数×最小公倍数，据此求出求这两个数的最小公倍数。 详解：两个数的最小公倍数： 答：这两个数的最小公倍数是48。 点睛：本题考查最大公因数和最小公倍数，解答本题的关键是掌握两个数的乘积与它们的最大公因数和最小公倍数之间的数量关系。 2．两个互质的自然数的最小公倍数是432。求这两个数。 答案：27和16或1和432 分析：互质的两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，可以先把432分解质因数，然后把质因数分配给两个数，分配时两个数中不能含有相同的质因数。 详解：432＝2×2×2×2×3×3×3 由于两个数中不能有相同质因数，所以两个数分别为： 2×2×2×2＝16和3×3×3＝27 或1和2×2×2×2×3×3×3＝432 答：这两个数是16和27，或者1和432。 3．两个互质的自然数（不为1）的最小公倍数是1125。求这两个数。 答案：9和125 分析：互质的两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，可以先把1125分解质因数，然后把质因数分配给两个数，分配时两个数中不能含有相同的质因数。据此解答。 详解：根据分析可得: 1125=3×3×5×5×5 3×3=9   5×5×5=125 答：这两个数分别是9和125。 2： 两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180。这两个数不是倍数。求这两个数？ 【思路分析】 本题实际是考查求最小公倍数方法的逆用，首先计算出两个数独有质因数的连乘积。再根据两个数不是倍数关系，求出合适的数即可。 【标准答案】 两个数独有的质因数的乘积是：180÷12＝15 因为15＝3×5＝1×15 因为两个数不是倍数，所以不可能是1和15； 所以这两个数是12×3＝36，12×5＝60 答：这两个数分别是36和60。 2． 1．已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。 答案：65或13 详解：因为78÷13＝6，6分解成两个互质的数有两种情况即1和6、2和3，所以这两个数有几种情况：13×1＝13、13×6＝78，13×2＝26、13×3＝39，所以这两个数可能是13和78或26和39。78﹣13＝65，39﹣26＝13。答：这两个数的差是65或13。 2．两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少。 答案：这两个数分别是15和90，或者是30和45 分析：最大公因数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以分解最大公因数和最小公倍数找出两个数的公有质因数和独有的因数，并且两个数独有的因数是互质的，即可求出原数。 详解：15＝3×5 90＝2×3×3×5 3×5×2＝30 3×5×3＝45 答：这两个数分别是15和90，或者是30和45。 3．两个自然数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144，这两个数各是多少？ 答案：16和36 分析：把4分解质因数，一定是这两个数的公共质因数；把144分解质因数，含有这两个数的公共质因数和各自的独有质因数。 详解：52÷4＝13 144÷4＝36＝4×9 4×4＝16 4×9＝36 答：这两个数分别是16和36。 点睛：此题考查了将合数分解质因数和求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数。 3： 两个质数的最小公倍数是77，这两个质数的和是多少？ 【思路分析】 把77分解质因数，求出两个质数，然后再把这两个质数相加即可． 【标准答案】 这两个质数是7和11．两个质数的和是：7＋11=18． 3． 1．两个数的最大公因数是15，最小公倍数是360，且这两个数相差75，那么这两个数中的较小数是多少？ 答案：45 分析：最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和每一个数的独有因数的连乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有因数的积，并且两个数的独有因数应该是互质的。 详解：360÷15＝24 24＝1×24＝3×8 ①两数分别为：15×1＝15、15×24＝360，360－15＝345，不满足相差75； ②两数分别为：15×3＝45、15×8＝120，120－45＝75，满足条件；较小的数是45。 答：两个数中的较小数是45。 2．两个自然数的差是14，它们的最大公因数是14，最小公倍数是84。这两个数各是多少？ 答案：28和42 分析：已知两个自然数的最大公因数是14，最小公倍数是84，先列举出84以内14的所有倍数，再从中找出哪两个数的差是14，即可找到这两个数。 详解：84以内14的倍数有：14，28，42，84； 28－14＝14，28与14最大公因数是14，最小公倍数是28，这两个数不符合条件。 42－28＝14，42与28最大公因数是14，最小公倍数是84，这两个数符合条件。 答：这两个数分别是28和42。 3．从6、7、8、9这四个数里取出两个互质的数，你可以取几组？每组两个数的最小公倍数是几？ 答案：见详解 分析：互质的定义是：公因数只有1的两个数，叫做互质数，互质的数的最小公倍数就是它们的乘积。 详解：两个互质的数是6和7、7和8、7和9、8和9共四组； 其中6和7的最小公倍数是42，7和8的最小公倍数是56，7和9的最小公倍数是63，8和9的最小公倍数是72。 点睛：此题主要考查了互质的定义和两个互质数最小公倍数的特点。 4： 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，这两个数可能是多少？ 【思路分析】 首先要知道最大公约数和最小公倍数是如何求得的，最大公约数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以用最小公倍数除以最大公约数就得到了两个数的独有因数的积，并且两个数的独有因数应该是互质的。 【标准答案】 因为180÷15＝12，12分解成两个互质的数有两种情况即1和12、3与4， 所以这两个数有几种情况： 15×3×2＝90、15×2＝30（不符合题意） 15×3＝45、15×4＝60， 15×1＝15，15×12＝180， 所以这两个数可能是45和60或15和180。 答：这两个数可能是45和60或15和180。 4. 1．已知两个自然数的积是5766,它们的最大公因数是31,这两个自然数分别是多少? 答案：31和186或93和62 详解：5766÷31=186,186=2×3×31,31是两个数的最大公因数，所以这两个自然数是31和186或93和62． 2．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？ 答案：72 分析：用最小公倍数504除以已知的一个数42，得到所求数的独有质因数的积，然后乘上最大公因数6即可得解。 详解：504÷42＝12 12×6＝72 答：另一个数是72。 3．已知甲、乙两数的最大公因数和最小公倍数分别是6和126，且甲数是18。乙数是多少？ 答案：42 分析：根据两个数的最大公因数乘最小公倍数等于甲、乙两数的积，再除以甲，就是乙。 详解：6×126÷18 ＝756÷18 ＝42 答：乙数是42。 点睛：重点掌握两数的最大公因数乘最小公倍数等于两数乘积这一性质。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$