（趣味奥数）第六讲 最大公因数-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

最大公因数 花果山的礼物分配 在花果山，孙悟空带着猴子猴孙们过上了欢乐又富足的生活。有一天，千里眼顺风耳给花果山送来了许多礼物，有 84 个鲜嫩多汁的桃子，还有 56 根香甜可口的香蕉。 孙悟空看着这些礼物，打算把它们平均分给花果山的小猴子们，让大家都能开心享受。可他心里犯起了嘀咕：“到底要把这些礼物分成多少份，才能让每份里的桃子和香蕉数量都刚好合适，既不浪费，又能让每个小猴子拿到的都一样多呢？” 这时，聪明的小猴灵灵站了出来，说：“大王，我们得先找出 84 和 56 的最大公因数，这样就能知道怎么平均分啦。” 孙悟空一听，来了兴致，问道：“灵灵，那这最大公因数该怎么找呢？” 灵灵不慌不忙地说：“大王，我们可以用列举法。84 的因数有 1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84；56 的因数有 1、2、4、7、8、14、28、56。您看，它们相同的因数有 1、2、4、7、14、28，其中最大的就是 28 啦。” 孙悟空挠挠头，思考了一会儿，又问：“那这 28 有啥用呢？” 灵灵笑着解释：“大王，这就表示我们可以把礼物分成 28 份。这样每份里桃子的数量就是 84÷28 = 3 个，香蕉的数量就是 56÷28 = 2 根。每个小猴子都能拿到 3 个桃子和 2 根香蕉，这样既公平又不会有剩余。” 孙悟空听后，哈哈大笑：“灵灵，你可真聪明！就按你说的办。” 于是，花果山的小猴子们都兴高采烈地领到了自己的礼物。 通过这次分礼物，猴子们都明白了最大公因数在生活中的重要作用。孙悟空也感慨道：“没想到这小小的数学知识，用处可真不小！孩儿们，以后咱们可得多学数学，用它来解决更多好玩的问题。” 从那以后，花果山的猴子们对数学更加热爱了，常常在生活中寻找各种数学问题来挑战自己。 1.公因数和最大公因数的概念。①几个数公有的因数，就是它们的公因数。②几个数的公因数中最大的一个公因数，就是它们的最大公因数。 2.求最大公因数的方法。①根据两数关系判断②分解质因数③筛选法④列举法温馨提醒：在求最大公因数的时候，如果两个数属于特殊关系，可以直接写出最大公因数。 3.公因数和最大公因数的关系。①两个数的最大公因数是公因数的倍数。②两个数的公因数是最大公因数的因数。 1： 王爷爷有一个长方形的花园，长35米，宽15米。他想把这个花园分成若干个大小相同的正方形区域（正方形边长为整米数）来种植不同的花卉。王爷爷最少可以将花园分成多少个这样的正方形区域？边长是多少米？ 【思路分析】 要想将花园分成的正方形区域越少，分成的正方形就要尽可能的大。求出长方形长和宽的最大公因数，是分成的最大正方形的边长，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝分成的正方形个数，据此列式解答。 【标准答案】 35＝5×7 15＝3×5 35和15的最大公因数是5，因此正方形边长是5米。 35×15÷（5×5） ＝525÷25 ＝21（个） 答：王爷爷最少可以将花园分成21个这样的正方形区域，边长是5米。 1. 1．把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 2．大理石是重结晶的石灰岩，因最初产地在我国云南大理而得名，主要用于加工成各种形材。当地一家加工厂将一块长60厘米、宽4分米、高32厘米的大理石截成同样大小的正方体（棱长为整厘米数），且没有剩余，截成的正方体的棱长最长是多少？一共可以截成多少个这样的正方体？ 3．五年级同学参加社会实践活动，男同学有54名，女同学有48名。现在要把男、女同学混合编组，要求各组中男生人数相等，女生人数也相等，最多可以编成多少个组？若编成的组数最多，每组中男生、女生各有多少人？ 2： 同缘小学成立了一个合唱团，男生有48人，女生有56人。排练时，男女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多站多少人？这时男、女生分别站成几排？ 【思路分析】 根据题意，男女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，那么每排站的人数是男生和女生人数的公因数；求每排最多站的人数，就是求男生、女生人数的最大公因数； 把48和56分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是48和56的最大公因数，即每排最多站的人数，再分别用男生、女生的人数除以每排最多站的人数，求出这时男、女生分别站成的排数。 【标准答案】 48＝2×2×2×2×3 56＝2×2×2×7 48和56的最大公因数是2×2×2＝8； 即每排最多站8人。 男生：48÷8＝6（排）   女生：56÷8＝7（排） 答：每排最多站8人。这时男生站成6排，女生站成7排。 2． 1．男生54人，女生48人。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 2．学校组织打扫卫生，一班来了48人，二班来了36人，如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 3．阳光小学运动会上，五年级派出48名女生和64名男生参加队列表演，要使男生队列和女生队列每列人数都相同，那么每列最多站多少人？至少可以站成几列？ 3： 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【思路分析】 因为这两根木棒不能有剩余，那么每段最长的长度是这两根木棒长度的最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此求出两个木棒长度的最大公因数，也就是每段最长厘米数。 【标准答案】 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是6厘米。 3． 1．五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了45人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 2．学校举行广播操比赛，男生有30人，女生有42人，分别站成若干排。要使样排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生共有几排？ 3．同学们用同样大小的正方形手抄报，贴满一个长28分米、宽24分米的长方形“科技创新”宣传栏。手抄报的边长最大是多少分米？这时一共需要多少张这样的手抄报？（边长是整分米数） 4： 李刚和王明逛鱼市，都看中了热带观赏鱼，李刚花了48元，王明花了54元。如果这些热带鱼的单价都相同，算一算鱼的单价最高是多少元？（鱼的单价是整元数） 【思路分析】 单价×数量＝总价，因为如果这些热带鱼的单价都相同，则鱼的最高单价是李刚和王明花的总钱数的最大公因数，求出两个总钱数的最大公因数即可。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【标准答案】 48＝2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 2×3＝6（元） 答：鱼的单价最高是6元。 4. 1．要在一间长9.6米，宽5.6米的教室里铺瓷砖。选用边长是多少的正方形瓷砖不用切割、并且块数最少？最少是多少块？ 2．计算能力是小学生必备的一项基本能力，为提高学生的计算速度和准确率，光明小学五年级数学组举办了“计算小达人”比赛活动。 （1）此次比赛试题包括：“直接写得数”75道题，“递等式计算”25道题。“递等式计算”占这份试题的几分之几？“直接写得数”是“递等式计算”的几倍？ （2）在这次比赛中，五一班有部分同学荣获了“计算小达人”称号。张老师准备了36个笔记本和48支中性笔平均分给这些同学作为奖励，最后笔记本和铅笔都没有剩余，且每位获奖同学得到的笔记本和中性笔数量都是相同的。 请问五一班获得“计算小达人”称号的同学最多有多少名？每人分别获得几个笔记本和几支中性笔？ 3．为助力秦安县一年一度的“桃花会”，秦安一小从五年级挑选48名女生和72名男生排成队列去刘坪镇参加合唱表演，要使女生队列和男生队列每列人数相等，那么每列最多有多少人？这时一共有几列？ 中国古代求最大公因数的方法 ---------更相减损术 同学们，在这一单元中我们学习了用短除式的方法求两个数的最大公因数，你知道中国古代人是怎么求最大公因数的吗？看一看下面的介绍吧！ 更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公因数的算 法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公因数的场合。它的方法被归纳为：“可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”翻译出来为： 第一步：任意给出两个非０自然数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约分；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数与较小数相等为止，则这个数（相等的数）就是所求的最大公因数。 如果没看明白就来看看下面这个例子吧： 例如：用更相减损术求91与49的最大公因数. 解：由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减， 即：91－49＝42 49－42＝7 42－7＝35 35－7＝28 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，91与49的最大公因数是7。 聪明的小朋友们你能看出其中的奥秘吗？想一想为什么这样可以求出最大公因数？这种方法与我们所学的短除式的方法有没有联系？哪种方法更好呢？ 1： 王爷爷有一个长方形的花园，长35米，宽15米。他想把这个花园分成若干个大小相同的正方形区域（正方形边长为整米数）来种植不同的花卉。王爷爷最少可以将花园分成多少个这样的正方形区域？边长是多少米？ 【思路分析】 要想将花园分成的正方形区域越少，分成的正方形就要尽可能的大。求出长方形长和宽的最大公因数，是分成的最大正方形的边长，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝分成的正方形个数，据此列式解答。 【标准答案】 35＝5×7 15＝3×5 35和15的最大公因数是5，因此正方形边长是5米。 35×15÷（5×5） ＝525÷25 ＝21（个） 答：王爷爷最少可以将花园分成21个这样的正方形区域，边长是5米。 1. 1．把42朵玫瑰和36朵康乃馨插在花瓶里，要使每瓶里玫瑰的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，且所有的花正好分完，最多能插几个花瓶？每个花瓶里至少插多少朵花？ 答案：6个；13朵 分析：要求所有的花正好分完，且每个花瓶里玫瑰花和康乃馨的朵数都分别相同，最多能插几个花瓶，也就是求42和36的最大公因数；先求出这两个数的最大公因数，就是最多能插多少个花瓶；再分别用玫瑰花和康乃馨的数量除以花瓶的个数，分别得到每个花瓶中玫瑰花和康乃馨各有多少朵，两种花的数量相加即为每个花瓶里至少插多少朵花。 详解：42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 因此42和36的最大公因数是2×3＝6。 玫瑰花：42÷6＝7（朵） 康乃馨：36÷6＝6（朵） 7＋6＝13（朵） 答：最多能插6个花瓶，每个花瓶里至少插13朵花。 2．大理石是重结晶的石灰岩，因最初产地在我国云南大理而得名，主要用于加工成各种形材。当地一家加工厂将一块长60厘米、宽4分米、高32厘米的大理石截成同样大小的正方体（棱长为整厘米数），且没有剩余，截成的正方体的棱长最长是多少？一共可以截成多少个这样的正方体？ 答案：4厘米；1200个 分析：4分米＝40厘米，由题意可知，求截成的正方体的棱长最长是多少，就是求60、40、32的最大公因数，先把60、40、32分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；用60、40、32分别除以它们的最大公因数，再把它们的商相乘即可解答。 详解：4分米＝40厘米 60＝2×2×3×5 40＝2×2×2×5 32＝2×2×2×2×2 60、40、32的最大公因数是2×2＝4   所以正方体棱长最长是4厘米； （60÷4）×（40÷4）×（32÷4） ＝15×10×8 ＝150×8 ＝1200（块） 答：截成的正方体的棱长最长是4厘米，一共可以截成1200个这样的正方体。 3．五年级同学参加社会实践活动，男同学有54名，女同学有48名。现在要把男、女同学混合编组，要求各组中男生人数相等，女生人数也相等，最多可以编成多少个组？若编成的组数最多，每组中男生、女生各有多少人？ 答案：6组；9人；8人 分析：要想各组中男生人数相等，女生人数也相等，组数必须是男女人数的公因数，求出男女生人数的最大公因数是最多编成的组数；分别用男女生人数除以组数，即可求出每组男女生人数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 详解：54＝2×3×3×3 48＝2×2×2×2×3 所以54和48的最大公因数是：2×3＝6，即最多可编6组。 54÷6＝9（名） 48÷6＝8（名） 答：最多可编6个组，每组中男生有9人、女生有8人。 2： 同缘小学成立了一个合唱团，男生有48人，女生有56人。排练时，男女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多站多少人？这时男、女生分别站成几排？ 【思路分析】 根据题意，男女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，那么每排站的人数是男生和女生人数的公因数；求每排最多站的人数，就是求男生、女生人数的最大公因数； 把48和56分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是48和56的最大公因数，即每排最多站的人数，再分别用男生、女生的人数除以每排最多站的人数，求出这时男、女生分别站成的排数。 【标准答案】 48＝2×2×2×2×3 56＝2×2×2×7 48和56的最大公因数是2×2×2＝8； 即每排最多站8人。 男生：48÷8＝6（排）   女生：56÷8＝7（排） 答：每排最多站8人。这时男生站成6排，女生站成7排。 2． 1．男生54人，女生48人。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 答案：6人；男生9排，女生8排 分析：每排的人数相同，求每排最多有多少人，就是求男女生人数的最大公因数，分别用男女生人数÷最大公因数，就是分别站的排数。 详解：54＝2×3×3×3 48＝2×2×2×2×3 54和48的最大公因数是6。 54÷6＝9（排） 48÷6＝8（排） 答：每排最多有6人，这时，男生有9排，女生8排。 2．学校组织打扫卫生，一班来了48人，二班来了36人，如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 答案：12人 分析：根据题意可知，求每组最多的人数，就是求48和36的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此解答。 详解：48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是2×2×3＝12；每组最多有12人。 答：每组最多有12人。 3．阳光小学运动会上，五年级派出48名女生和64名男生参加队列表演，要使男生队列和女生队列每列人数都相同，那么每列最多站多少人？至少可以站成几列？ 答案：16人；7列 分析：全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出女生和男生人数的最大公因数，就是每列最多站的人数；总人数÷每列站的人数＝站成的列数。 详解：48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 2×2×2×2＝16（人） （48＋64）÷16 ＝112÷16 ＝7（列） 答：每列最多站16人，至少可以站成7列。 3： 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【思路分析】 因为这两根木棒不能有剩余，那么每段最长的长度是这两根木棒长度的最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此求出两个木棒长度的最大公因数，也就是每段最长厘米数。 【标准答案】 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是6厘米。 3． 1．五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了45人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 答案：9人 分析：要使两个班每个小组的人数相同，每个小组的人数是两个班总人数的公因数，求出两个班总人数的最大公因数，是每组最多人数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 详解：54＝2×3×3×3 45＝3×3×5 3×3＝9（人） 答：每组最多有9人。 2．学校举行广播操比赛，男生有30人，女生有42人，分别站成若干排。要使样排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生共有几排？ 答案：6人；12排 分析：全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出男女生人数的最大公因数，就是每排最多人数，总人数÷每排人数＝总排数，据此列式解答。 详解：30＝2×3×5 42＝2×3×7 2×3＝6（人） （30＋42）÷6 ＝72÷6 ＝12（排） 答：每排最多有6人，这时男、女生共有12排。 3．同学们用同样大小的正方形手抄报，贴满一个长28分米、宽24分米的长方形“科技创新”宣传栏。手抄报的边长最大是多少分米？这时一共需要多少张这样的手抄报？（边长是整分米数） 答案：4分米；42张 分析：根据题意，正方形手抄报的边长应是28和24的公因数；求手抄报的最大边长，就是求28和24的最大公因数；用分解质因数的方法求出手抄报的最大公因数，再分别用除法求出长、宽里各有几张手抄报的最大边长，最后相乘就是一共需要手抄报的张数。 详解：28＝2×2×7 24＝2×2×2×3 28和24的最大公因数是：2×2＝4 即手抄报的边长最大是4分米。 28÷4＝7（张） 24÷4＝6（张） 一共：7×6＝42（张） 答：手抄报的边长最大是4分米，这时一共需要42张这样的手抄报。 4： 李刚和王明逛鱼市，都看中了热带观赏鱼，李刚花了48元，王明花了54元。如果这些热带鱼的单价都相同，算一算鱼的单价最高是多少元？（鱼的单价是整元数） 【思路分析】 单价×数量＝总价，因为如果这些热带鱼的单价都相同，则鱼的最高单价是李刚和王明花的总钱数的最大公因数，求出两个总钱数的最大公因数即可。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【标准答案】 48＝2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 2×3＝6（元） 答：鱼的单价最高是6元。 4. 1．要在一间长9.6米，宽5.6米的教室里铺瓷砖。选用边长是多少的正方形瓷砖不用切割、并且块数最少？最少是多少块？ 答案：边长：8分米；84块 分析：要求正方形瓷砖不切割且所用块数最少，则该正方形瓷砖的边长应是长和宽的最大公因数；先把长和宽换算成整数，求出长和宽的最大公因数，再根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，分别求出教室和瓷砖的面积，用教室面积除以瓷砖面积，所得结果即为需要瓷砖的数量。 详解：9.6米＝96分米 5.6米＝56分米 96＝2×2×2×2×2×3 56＝2×2×2×7 96和56的最大公因数为2×2×2＝8，所以选用正方形瓷砖的边长是8分米。 96×56÷（8×8） ＝5376÷64 ＝84（块） 答：选用边长是8分米的正方形瓷砖不用切割，且块数最少，最少是84块。 2．计算能力是小学生必备的一项基本能力，为提高学生的计算速度和准确率，光明小学五年级数学组举办了“计算小达人”比赛活动。 （1）此次比赛试题包括：“直接写得数”75道题，“递等式计算”25道题。“递等式计算”占这份试题的几分之几？“直接写得数”是“递等式计算”的几倍？ （2）在这次比赛中，五一班有部分同学荣获了“计算小达人”称号。张老师准备了36个笔记本和48支中性笔平均分给这些同学作为奖励，最后笔记本和铅笔都没有剩余，且每位获奖同学得到的笔记本和中性笔数量都是相同的。 请问五一班获得“计算小达人”称号的同学最多有多少名？每人分别获得几个笔记本和几支中性笔？ 答案：（1）；倍； （2）12名；个笔记本和支中性笔 分析：（1）求“递等式计算”占这份试题的几分之几，用“递等式计算”题数÷这份试题的题数即可；求“直接写得数”是“递等式计算”的几倍，用“直接写得数”题数÷“递等式计算”题数即可； （2）由题意可知：获得“计算小达人”称号的同学最多人数等于36和48的最大公因数；根据求最大公因数的方法求出最大公因数，再用笔记本和中性笔数量除以人数即可求出每人分别获得几个笔记本和几支中性笔。 详解：（1）（道）        答：“递等式计算”占这份试题的，“直接写得数”是“递等式计算”的3倍。 （2）36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48最大公因数是2×2×3＝12，即获得“计算小达人”称号的同学最多有12名。 （个） （支） 答：获得“计算小达人”称号的同学最多有12名，每人分别获得3个笔记本和4支中性笔。 3．为助力秦安县一年一度的“桃花会”，秦安一小从五年级挑选48名女生和72名男生排成队列去刘坪镇参加合唱表演，要使女生队列和男生队列每列人数相等，那么每列最多有多少人？这时一共有几列？ 答案：24人；5列 分析：根据题意，女生队列和男生队列每列人数相等，求每列最多有多少人就是求48和72的最大公因数，总人数除以每列人数即可求出一共有几列，据此解答。 详解： 48和72的最大公因数是，所以每列最多有24人。 （列） 答：每列最多有24人；这时一共有5列。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$