（趣味奥数）第九讲 最大最小问题-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

最大最小问题 数学竞赛的挑战 阳光小学迎来了一年一度的数学竞赛，五年级的同学们都跃跃欲试，想要在赛场上一展身手。明明、亮亮和其他几位同学代表班级参加了这次竞赛。 竞赛的题目难度不小，同学们都在认真思考、奋笔疾书。就在大家紧张答题的时候，一道难题出现在了试卷上，难住了不少同学。题目是这样的：有两个自然数，它们的和是 15，要是想让这两个自然数的乘积最大，这两个数应该是多少呢？乘积最小的时候，这两个数又分别是多少？ 明明读完题目，皱起了眉头，小声嘀咕着：“这可怎么算呀？” 坐在旁边的亮亮也被这道题难住了，一时没有头绪。 这时，明明突然灵机一动，他想到可以通过列举的方法来试试。他开始在草稿纸上写起来：1 和 14，它们的乘积是 1×14 = 14；2 和 13，乘积是 2×13 = 26；3 和 12，乘积是 3×12 = 36…… 写着写着，明明发现随着两个数越来越接近，它们的乘积在不断变大。当写到 7 和 8 时，乘积是 7×8 = 56 。 亮亮看到明明的做法，也受到了启发，他接着说：“那要是想让乘积最小，肯定是这两个数相差越大越好。你看 1 和 14，它们相差 13，乘积就是最小的 14。” 他们俩赶紧把答案写在了试卷上，顺利解决了这道难题。 竞赛结束后，明明和亮亮把解题思路分享给了其他同学。大家这才明白，原来在解决这类最大最小问题时，两个数的和一定，它们越接近，乘积就越大；相差越大，乘积就越小。 这次数学竞赛，让同学们深刻体会到了数学的奇妙和有趣。大家都明白了，只要善于思考，运用合适的方法，再难的数学问题也能迎刃而解。而最大最小问题，也成为了同学们在数学探索道路上的一个有趣的里程碑，激励着他们继续去挑战更多的数学难题 。 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 1： 有一盒乒乓球，其中一个较重的是次品，用天平称，保证3次能找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能是多少个？ 【思路分析】 若干个乒乓球，其中一个较重的是次品，采用三分法可以最快找出次品。 【标准答案】 当总数n个乒乓球里面只有一个次品时，下面给出至少需要称的次数； ，1次； ，2次； ，3次； ，4次； 所以，保证3次能找出次品，乒乓球的数量大于等于10个，小于等于27个； 答：这盒乒乓球可能大于等于10个，小于等于27个。 点睛：当次品比正品重或比正品轻这个条件已知时，采用三分法是找出次品最便捷的方法，每一步都尽量三等分。 1. 1．有9件产品，其中一件是次品（重一些），现在要用天平称出次品．小明说：“我一次就能称出次品．”小华说：“不一定能找到次品．”你认为他们谁说的对？是说出你的理由． 2．中秋节那天，马阿姨买了一些月饼，其中一盒质量不足．用天平称，保证称2次就能找出质量不足的那盒．马阿姨至少买了几盒月饼？最多买了几盒月饼？ 3．有49瓶同样的水，往其中1瓶中加10克糖．如果用天平称，那么至少称多少次能保证找出加糖的那瓶水？ 2： 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。试问，怎样利用这架天平称两次，来达到目的？ 【思路分析】 把101枚硬币，尽可能三等分，根据找次品的常用方法解答即可。 【标准答案】 把101枚硬币，分成34， 34， 33三组，①把两个34的放到天平上称，如天平平衡，则假币在33的－组中，从34－组中任取一枚硬币，再放到天平。上和33枚一组进行称量，若33枚一组重，则假币重，若33的一组轻，则假币轻；②若天平不平衡，则33的－组全是真币，取下轻的一端的34个，分成17、17放在天平两端，如果平衡，说明这34个是真币，之前重的－堆中有假币，假币比真的重；如果不平衡，说明这34个中有假币，因为这34个是轻的一堆，所以假币比真币的轻。 点睛：本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解决问题的能力。 2． 1． 一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 2．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问：怎样利用这架天平称两次，就能弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重？ 3．有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？ 3： 有6箱小球，每个箱子里有100个。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。每个箱了里的小球由同一车间生产，一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。如果只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次就把这个箱子找出来？ 【思路分析】 找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【标准答案】 给每个箱子编号1到6，从编号为1到6的箱子里分别取出1、2、3、4、5、6个球，并编号。与对应箱号相同，共21个。称21个球的重量（如果都是正品，共重210克）。重量比210克重几克，则对应箱子里的就是次品。 3． 1．已知一堆物品中有一个是次品（比正品轻），如果用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 2．有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 3．一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？ 4： 有212个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 【思路分析】 找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：3n＜物品的数量≤3n＋1，至少称（n＋1）次能保证找出次品，解答此题。 【标准答案】 根据3n＜物品的数量≤3n＋1，至少称（n＋1）次能保证找出次品。 34＜212≤35，至少称5次能保证找出次品。 答：至少称5次能保证找出次品。 4. 1．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 2．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 3．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 最大的数字是多少 你知道最大的数字是多少吗？无穷大，这显然不是最终的答案。 无穷大只是一个概念，数学中无穷大的定义表明，无论数有多大，都可以让它再加个1使它变得更大。通过不断地这样做，一个数总是可以一直永远或“无限”变大。 原来，在正式数学证明中使用过的最大数是葛立恒数，它此前作为世界上最大的数被收入于吉尼斯世界纪录之中。它到底有多大呢？其无法用科学记数法表示，就连a^(b^(c^(…)))这样的指数塔形式也无济于事，甚至连数学家都难以理解它。 葛立恒数是拉姆齐理论中一个极其异乎寻常问题的上限解，其问题表述为：连接n维超立方体的每对几何顶点，获得一个有着2^n个顶点的完全图（每对顶点之间都恰连有一条边的简单图）。将该图每条边的颜色填上红色或蓝色。那么，使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色完全子图的最小n值为多少？ 虽然这个数太大了而无法完全计算出，但葛立恒数的最后几位数可以通过简单的算法导出。其最后12位数是262464195387。那么，葛立恒问题的答案是多少？根据一些数学家的看法，他们怀疑答案是“6”。 1： 有一盒乒乓球，其中一个较重的是次品，用天平称，保证3次能找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能是多少个？ 【思路分析】 若干个乒乓球，其中一个较重的是次品，采用三分法可以最快找出次品。 【标准答案】 当总数n个乒乓球里面只有一个次品时，下面给出至少需要称的次数； ，1次； ，2次； ，3次； ，4次； 所以，保证3次能找出次品，乒乓球的数量大于等于10个，小于等于27个； 答：这盒乒乓球可能大于等于10个，小于等于27个。 点睛：当次品比正品重或比正品轻这个条件已知时，采用三分法是找出次品最便捷的方法，每一步都尽量三等分。 1. 1．有9件产品，其中一件是次品（重一些），现在要用天平称出次品．小明说：“我一次就能称出次品．”小华说：“不一定能找到次品．”你认为他们谁说的对？是说出你的理由． 答案：小华说的对;因为小明的方法只是一次偶然的情况，不能保证一定能找到次品，9件产品中有1件是次品，至少需要称2次. 2．中秋节那天，马阿姨买了一些月饼，其中一盒质量不足．用天平称，保证称2次就能找出质量不足的那盒．马阿姨至少买了几盒月饼？最多买了几盒月饼？ 答案：4盒   9盒 3．有49瓶同样的水，往其中1瓶中加10克糖．如果用天平称，那么至少称多少次能保证找出加糖的那瓶水？ 答案：4次 2： 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。试问，怎样利用这架天平称两次，来达到目的？ 【思路分析】 把101枚硬币，尽可能三等分，根据找次品的常用方法解答即可。 【标准答案】 把101枚硬币，分成34， 34， 33三组，①把两个34的放到天平上称，如天平平衡，则假币在33的－组中，从34－组中任取一枚硬币，再放到天平。上和33枚一组进行称量，若33枚一组重，则假币重，若33的一组轻，则假币轻；②若天平不平衡，则33的－组全是真币，取下轻的一端的34个，分成17、17放在天平两端，如果平衡，说明这34个是真币，之前重的－堆中有假币，假币比真的重；如果不平衡，说明这34个中有假币，因为这34个是轻的一堆，所以假币比真币的轻。 点睛：本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解决问题的能力。 2． 1． 一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 答案：45次 分析：要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；……第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。 详解：最多试验次数为：9＋8＋7……＋2＋1＝45（次） 点睛：本题的关键是考虑最差的情况，依次找出可能性。 2．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问：怎样利用这架天平称两次，就能弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重？ 答案： 见详解 分析：先任意拿两个硬币，分别放在天平的两边，会产生如下两种情况： 第一种情况：天平平衡，那么这两个是真币，把这两个一起放在天平的一边，把剩下的两个放在天平的另一边，这两个中有一个是伪币，这时天平不平衡，有伪币的那边天平偏低，则伪币比真币重，否则伪币比真币轻。 第二种情况：天平不平衡，则这两个中有一个伪币，把它们一起放在天平的一边，剩下的两个真币放在天平的另一边，这时天平不平衡，有伪币的那边天平偏低，则伪币比真币重，否则伪币比真币轻。 详解：答：先任意拿两个硬币，分别放在天平的两边。如果天平平衡，那么这两个是真币，把这两个一起放在天平的一边，把剩下的两个放在天平的另一边，这两个中有一个是伪币，此时天平不平衡，若有伪币的那边偏低，则伪币比真币重，否则真币比伪币重。如果天平不平衡，则这两个中有一个伪币，把它们一起放在天平的一边，剩下的两个真币放在天平的另一边，此时天平不平衡，若有伪币的那边偏低，则伪币比真币重，否则真币比伪币重。 点睛：在解决“找次品”此类问题时，应该注意合理分类，并将所有可能出现的情况考虑全面。 3．有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？ 答案：能；3次 分析：有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，我们把这1袋不是400克的糖称为次品。 将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较，即可得出次品在哪一份中；再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较，即可得出次品在哪一份中；最后将含有次品的2袋，任取一袋，称重与400克作比较，即可得出次品为哪一袋。 详解：第一次称：将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较。如果这一份重量是1600克，则次品在未称重的4袋中，如果这一份重量不是1600克，则次品在称重的这4袋中。这样次品被锁定在了4袋中。 第二次称：再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较。如果这一份重量是800克，则次品在未称重的2袋中，如果这一份重量不是800克，则次品在称重的这2袋中。这样次品被锁定在了2袋中。 第三次称：将含有次品的2袋，任取1袋，称重与400克作比较，如果这一份重量是400克，则次品是未称重的那一袋，如果这一份重量不是400克，则次品就是称重的这一袋。这样次品被找到了。 因此，总共称3次就能找出来。 点睛：本题考查找次品，关键是次品不知轻重，但是知道非次品的标准重量，本题可通过称重的比较的方式进行求解，会比常规找次品解法更简洁明了。 3： 有6箱小球，每个箱子里有100个。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。每个箱了里的小球由同一车间生产，一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。如果只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次就把这个箱子找出来？ 【思路分析】 找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【标准答案】 给每个箱子编号1到6，从编号为1到6的箱子里分别取出1、2、3、4、5、6个球，并编号。与对应箱号相同，共21个。称21个球的重量（如果都是正品，共重210克）。重量比210克重几克，则对应箱子里的就是次品。 3． 1．已知一堆物品中有一个是次品（比正品轻），如果用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 答案：82个；243个 2．有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 答案：最少有82个，最多243个 分析：根据找次品的规律，当物品个数最多在3n时，至少需要n次即可找到次品。所以如果5次才能找到次品，则物品的个数应大于34＝81（个），小于或等于35＝243（个）。 详解：34＝81（个） 81+1＝82（个） 35＝243（个） 即：81＜乒乓球的个数≤243 答：这个箱子中最少有82个乒乓球，最多243个。 3．一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？ 答案：至少称4次； 将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。 分析：找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 详解：将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。 答：至少称4次。 点睛：本题考查了找次品，不知道轻重，要确定次品是轻还是重。 4： 有212个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 【思路分析】 找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：3n＜物品的数量≤3n＋1，至少称（n＋1）次能保证找出次品，解答此题。 【标准答案】 根据3n＜物品的数量≤3n＋1，至少称（n＋1）次能保证找出次品。 34＜212≤35，至少称5次能保证找出次品。 答：至少称5次能保证找出次品。 4. 1．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 答案：82个；81个 分析：因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 详解：第一堆零件需要称5次。 ＝9×9＋1 ＝81＋1 ＝82（个） ＝9×9×3 ＝81×3 ＝243（个） 第一堆零件的个数在82个与243个之间； 第二堆零件需要称4次。 （个） ＝9×9 ＝81（个） 则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 点睛：此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。 2．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 答案：27个 分析：（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品； （2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品； （3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。 详解：当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。 答：这堆玻璃球最多有27个。 点睛：掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 3．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 答案：第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为150克。 分析：由题可知，小芳和小丽合买了一袋500克的果糖，小芳只要150克，但天平只有一个100克的砝码，又限制分糖次数为两次。先将500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；然后在天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，最后在100克砝码那边加糖，使天平平衡。据此即可解答。 详解：第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。 点睛：此题考查的是对解决实际问题的能力，理解分两次，利用天平两边平衡，100克的砝码是解题的关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$