（趣味奥数）第二十讲 行程问题-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

行程问题 森林探险的行程趣事 在一片神秘的大森林里，住着活泼机灵的小猴子淘淘和温顺可爱的小兔子跳跳。有一天，他们听闻森林深处有一处神奇的花园，里面开满了五彩斑斓的花朵，便决定一同前往探险。 小猴子淘淘的速度是每分钟 50 米，小兔子跳跳的速度是每分钟 30 米。他们从森林入口同时出发，朝着花园的方向前进。 走着走着，淘淘突然想到一个问题，于是问跳跳：“跳跳呀，咱们都走了 10 分钟啦，你知道咱俩现在相距多远吗？” 跳跳歪着脑袋想了想，说：“这简单呀，你每分钟比我多走 50 - 30 = 20 米，走了 10 分钟，那咱俩相距的距离就是 20×10 = 200 米。” 淘淘听了，竖起大拇指夸赞跳跳：“跳跳，你真聪明！” 又走了一会儿，他们遇到了一条小溪拦住了去路。在小溪边，他们发现了一张破旧的地图，地图上显示距离花园还有 300 米。淘淘兴奋地说：“跳跳，我们加快速度，看谁先跑到花园！” 说完，淘淘以每分钟 60 米的速度冲了出去，跳跳也不甘示弱，以每分钟 40 米的速度奋力追赶。 没过多久，淘淘就跑到了花园。他回头一看，跳跳还在后面呢。淘淘心想：“跳跳还要多久才能到呀？” 他计算起来，自己跑到花园用的时间是 300÷60 = 5 分钟，跳跳 5 分钟跑了 40×5 = 200 米，还剩下 300 - 200 = 100 米，跳跳跑完这 100 米需要的时间是 100÷40 = 2.5 分钟。 过了一会儿，跳跳也气喘吁吁地跑到了花园。看着美丽的花园，他们开心地欢呼起来。这次森林探险，不仅让他们欣赏到了美丽的风景，还让他们在行程中运用数学知识解决了不少问题，收获满满。 1.相遇问题 公式：相遇路程 = 速度和 × 相遇时间；相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和；速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间。 2.追及问题 公式：追及路程 = 速度差 × 追及时间；追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差；速度差 = 追及路程 ÷ 追及时间。 3.流水行船问题 顺水速度：船顺着水流方向行驶的速度，顺水速度 = 船速 + 水速。 逆水速度：船逆着水流方向行驶的速度，逆水速度 = 船速 - 水速。 船速 =（顺水速度 + 逆水速度）÷2 水速 =（顺水速度 - 逆水速度）÷2 1： 姐姐和妹妹同时从家里出发，如果反向而行，那么5分钟后两人相距480米；如果同向而行，那么8分钟后，姐姐在妹妹前面32米。请问：姐姐和妹妹每分钟各走多少米？ 【思路分析】 根据题意可知，两人的速度和为：480÷5＝96（米/分），两人的速度差为：32÷8＝4（米/分），再根据（和＋差）÷2＝较大数，和－较大数＝较小数，即可求出姐姐、妹妹每分钟走的路程，据此即可解答。 【标准答案】 480÷5＝96（米/分） 32÷8＝4（米/分） （96＋4）÷2 ＝100÷2 ＝50（米/分） 96－50＝46（米/分） 答：姐姐每分钟走50米，妹妹每分钟走46米。 1. 1．六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时骑行15千米，2小时后，女同学坐汽车从校门口出发，经过半小时追上了男同学。汽车每小时行驶多少千米？ 2．六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时骑行12千米，2小时后，女同学坐汽车从校门口出发，每小时行驶60千米。那么经过多少时间女同学可以追上男同学？ 3．芳芳和红红家相距540米，两人约定同时出发向对方家走去。芳芳走了3分钟后遇到同学，于是停下来聊天，这时两人相距240米。红红用原来的速度继续往前走，4分钟后与芳芳会合。那么芳芳每分钟走多少米？ 2： 一列火车长450米，车身通过铁道旁边的一棵树，用了9秒。火车以同样的速度通过一条隧道（从车头进隧道到车尾离开隧道）用了1分钟。这条隧道长多少米？ 【思路分析】 根据题意可知，火车9秒行驶的路程等于车长，车长除以9等于火车的速度，火车1分钟行驶的路程等于隧道长度加车长，减去车长即等于这条隧道的长度，据此即可解答。 【标准答案】 450÷9＝50（米/秒） 1分钟＝60秒 50×60－450 ＝3000－450 ＝2550（米） 答：这条隧道长2550米。 2． 1．从王叔叔家到县城有60千米。王叔叔骑自行车到县城办事，原定用5小时到达县城。骑了一半路程后，车子坏了，花了半个小时修车。如果王叔叔还想按预定时间到达县城，那么后半段路程应比原来的速度每小时快多少千米？ 2．明明去外婆家，如果去时坐车，回来时步行，那么来回路上一共花80分钟；如果他往返都步行，那么来回路上一共花120分钟。如果明明往返都坐车，那么来回路上一共要多少时间？ 3．甲、乙两地相距600千米，小汽车和货车同时从两地出发，相向而行，小汽车每小时行驶120千米，货车每小时行驶80千米。几小时后两车相距200千米？ 3： 王叔叔骑着自行车在铁道旁的小路上前行。一列火车从他对面开过来，从他身边经过的时间是8秒。已知火车长300米，王叔叔的骑车速度是每小时14.4千米。那么火车的速度是多少？ 【思路分析】 根据题意可知，火车和王叔叔8秒共行驶了300米，300除以8等于王叔叔和火车的速度和，再减去王叔叔骑车速度即等于火车的速度，据此即可解答。 【标准答案】 144.4千米＝14400米 14400÷60÷60 ＝240÷60 ＝4（米/秒） 300÷8－4 ＝37.5－4 ＝33.5（米/秒） 答：火车的速度是33.5米/秒。 3． 1．小林和爸爸在400米长的环形跑道上散步，他们同时从同一地点出发，爸爸每分钟走20米，40分钟后第一次追上小林。小林每分钟走几米？ 2．一列火车通过600米长的桥用了20秒，以同样的速度通过一条长3000米的隧道用了80秒，求火车的速度与车身长。 3．一列客车长250米，一列货车长350米，两车分别以每秒50米和每秒30米的速度相向而行，在双轨铁路上交会时，从车头相遇到车尾相离共需多少时间？ 4： 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每6分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，则每隔2分钟相遇一次，问：这两人跑一圈分别需要几分钟？ 【思路分析】 根据题意可知，把环形跑道的长度看作单位“1”，两人的速度差为，两人的速度和为，再根据（和＋差）÷2＝较大数，和－较大数＝较小数，即可求出两人的速度，用1分别除以两人的速度即等于两人跑一圈分别需要的时间，据此即可解答。 【标准答案】 （＋）÷2 ＝÷2 ＝ －＝ 1÷＝3（分钟） 1÷＝6（分钟） 答：跑一圈一人需要3分钟，另一人需要6分钟。 4. 1．小丁和小林拿了两个秒表测量飞驰而过的火车的长度和速度。小丁测得火车从他面前通过的时间是8秒，小林测得火车车头通过第一根电线杆至车尾通过第二根电线杆所花的时间是9秒。已知两根电线杆之间的距离是20米。问：这列火车的全长和速度各是多少？ 2．有甲、乙两列火车，甲车每秒行50米，乙车每秒行40米，若车尾离开车头便为超过。两车齐头并进，则甲车行20秒超过乙车；两车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙车。问：两车的车长各是多少米？ 3．一列客车以每小时160千米的速度行驶，车窗边的一位旅客发现对面驶来一列货车，货车经过他的身旁用了4秒。经询问知一列货车长300米。那么货车每小时行多少千米？ 祖冲之 祖冲之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这样的家庭里，从小就读了不少书，人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。 宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。 我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”(“大明”是宋孝武帝的年号)。这种历法测定的每一回归年(也就是两年冬至点之间的时间)的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒;测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。 公元462年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说:“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说:“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行。 尽管当时社会十分动乱不安，但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。他更大的成就是在数学方面。他曾经对古代数学着作《九章算术》作了注释，又编写一本《缀术》。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在3。1415926和3。1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。 祖冲之造过指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人总是指着南方;他又造过“千里船”，一天可以航行一百多里。他利用水力转动石磨，舂米碾谷子，叫做“水碓磨”。 1： 姐姐和妹妹同时从家里出发，如果反向而行，那么5分钟后两人相距480米；如果同向而行，那么8分钟后，姐姐在妹妹前面32米。请问：姐姐和妹妹每分钟各走多少米？ 【思路分析】 根据题意可知，两人的速度和为：480÷5＝96（米/分），两人的速度差为：32÷8＝4（米/分），再根据（和＋差）÷2＝较大数，和－较大数＝较小数，即可求出姐姐、妹妹每分钟走的路程，据此即可解答。 【标准答案】 480÷5＝96（米/分） 32÷8＝4（米/分） （96＋4）÷2 ＝100÷2 ＝50（米/分） 96－50＝46（米/分） 答：姐姐每分钟走50米，妹妹每分钟走46米。 1. 1．六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时骑行15千米，2小时后，女同学坐汽车从校门口出发，经过半小时追上了男同学。汽车每小时行驶多少千米？ 答案：75千米 分析：男同学先骑行2小时，女同学才出发，男同学先行了15×2＝30（千米），女同学半小时就追上了男同学，说明半小时里女同学比男同学多走了30千米，用30除以0.5等于女同学每小时比男同学多行了多少千米，再加上男同学每小时骑行的路程，即等于汽车小时行驶的路程，据此即可解答。 详解：15×2÷0.5＋15 ＝30÷0.5＋15 ＝60＋15 ＝75（千米） 答：汽车每小时行驶75千米。 2．六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时骑行12千米，2小时后，女同学坐汽车从校门口出发，每小时行驶60千米。那么经过多少时间女同学可以追上男同学？ 答案：0.5小时 分析：考查追及问题，关键是要求出追及路程。由题意可知，追及路程是男同学提前出发2小时走的路程，即：12×2＝24（千米）；速度差＝60－12＝48（千米）；根据“追及时间＝追及路程÷速度差” 代入数据求解即可。 详解：12×2＝24（千米） 60－12＝48（千米） 24÷48＝0.5（小时） 答：经过0.5小时女同学可以追上男同学。 3．芳芳和红红家相距540米，两人约定同时出发向对方家走去。芳芳走了3分钟后遇到同学，于是停下来聊天，这时两人相距240米。红红用原来的速度继续往前走，4分钟后与芳芳会合。那么芳芳每分钟走多少米？ 答案：40米 分析：根据题意可知，3分钟两人走了（540－240）米，所以（540－240）除以3等于两人的速度和，芳芳遇到同学时两人相距240米，芳芳停下，红红继续走，4分钟后与芳芳相遇，所以240除以4等于红红的速度，两人的速度和减去红红的速度即等于芳芳的速度，据此即可解答。 详解：（540－240）÷3－240÷4 ＝300÷3－60 ＝100－60 ＝40（米） 答：芳芳每分钟走40米。 2： 一列火车长450米，车身通过铁道旁边的一棵树，用了9秒。火车以同样的速度通过一条隧道（从车头进隧道到车尾离开隧道）用了1分钟。这条隧道长多少米？ 【思路分析】 根据题意可知，火车9秒行驶的路程等于车长，车长除以9等于火车的速度，火车1分钟行驶的路程等于隧道长度加车长，减去车长即等于这条隧道的长度，据此即可解答。 【标准答案】 450÷9＝50（米/秒） 1分钟＝60秒 50×60－450 ＝3000－450 ＝2550（米） 答：这条隧道长2550米。 2． 1．从王叔叔家到县城有60千米。王叔叔骑自行车到县城办事，原定用5小时到达县城。骑了一半路程后，车子坏了，花了半个小时修车。如果王叔叔还想按预定时间到达县城，那么后半段路程应比原来的速度每小时快多少千米？ 答案：3千米 分析：根据题意可知，60除以5等于原来的速度，前面一半的时间行了一半的路程，后面一半的路程只用了（5÷2－0.5）小时，用一半的路程除以（5÷2－0.5）等于后半段路程骑行的速度，再减去原来的速度，即等于后半段路程应比原来的速度每小时快的路程，据此即可解答。 详解：60÷2÷（5÷2－0.5）－60÷5 ＝30÷2－12 ＝15－12 ＝3（千米） 答：后半段路程应比原来的速度每小时快3千米。 2．明明去外婆家，如果去时坐车，回来时步行，那么来回路上一共花80分钟；如果他往返都步行，那么来回路上一共花120分钟。如果明明往返都坐车，那么来回路上一共要多少时间？ 答案：40分钟 分析：根据题意可知，单程步行的时间为：120÷2＝60（分钟），单程坐车的时间为：80－60＝20（分钟），所以往返坐车一共要20×2＝40（分钟），据此即可解答。 详解：（80－120÷2）×2 ＝（80－60）×2 ＝20×2 ＝40（分钟） 答：坐车来回路上一共要40分钟。 3．甲、乙两地相距600千米，小汽车和货车同时从两地出发，相向而行，小汽车每小时行驶120千米，货车每小时行驶80千米。几小时后两车相距200千米？ 答案：2小时、4小时 分析：此题应分两种情况：（1）两车没相遇：两车相距200千米，说明两车行了600－200＝400（千米），要求几小时后两车行了400千米，列式为400÷（120＋80），根据“路程÷速度和＝时间”列式解答即可； （2）相遇后又相距200千米，此时两车行了（600＋200）千米，列式为：（600＋200）÷（120＋80）解决问题。 详解：（1）两车没相遇：（600－200）÷（120＋80） ＝400÷200 ＝2（小时） （2）相遇后又相距200千米：（600＋200）÷（120＋80） ＝800÷200 ＝4（小时） 答：2小时后、4小时后两车相距200千米。 3： 王叔叔骑着自行车在铁道旁的小路上前行。一列火车从他对面开过来，从他身边经过的时间是8秒。已知火车长300米，王叔叔的骑车速度是每小时14.4千米。那么火车的速度是多少？ 【思路分析】 根据题意可知，火车和王叔叔8秒共行驶了300米，300除以8等于王叔叔和火车的速度和，再减去王叔叔骑车速度即等于火车的速度，据此即可解答。 【标准答案】 144.4千米＝14400米 14400÷60÷60 ＝240÷60 ＝4（米/秒） 300÷8－4 ＝37.5－4 ＝33.5（米/秒） 答：火车的速度是33.5米/秒。 3． 1．小林和爸爸在400米长的环形跑道上散步，他们同时从同一地点出发，爸爸每分钟走20米，40分钟后第一次追上小林。小林每分钟走几米？ 答案：10米 分析：根据题意可知，第一次追上小林时，爸爸比小林多走400米，追及的路程÷追及的时间＝速度差，把数据代入即可求出爸爸和小林的速度差，再用爸爸的速度减去爸爸和小林的速度差，即可求出小林的速度，据此即可解答。 详解：20－400÷40 ＝20－10 ＝10（米） 答：小林每分钟走10米。 2．一列火车通过600米长的桥用了20秒，以同样的速度通过一条长3000米的隧道用了80秒，求火车的速度与车身长。 答案：40米/秒，200米 分析：隧道比桥长了3000－600＝2400（米），多用了80－20＝60（秒），路程÷时间＝速度，用隧道和桥的长度差除以过隧道和桥的时间差即等于火车的速度，火车的速度乘20等于20秒火车行驶的路程，再减去桥长600米，即等于火车车身的长度，据此即可解答。 详解：（3000－600）÷（80－20） ＝2400÷60 ＝40（米/秒） 40×20－600 ＝800－600 ＝200（米） 答：火车的速度为40米/秒，车身长为200米。 3．一列客车长250米，一列货车长350米，两车分别以每秒50米和每秒30米的速度相向而行，在双轨铁路上交会时，从车头相遇到车尾相离共需多少时间？ 答案：7.5秒 分析：从车头相遇到车尾相离两车共行驶了（250＋350），再除以两车的速度和即等于两车从车头相遇到车尾相离共需的时间，据此即可解答。 详解：（350＋250）÷（50＋30） ＝600÷80 ＝7.5（秒） 答：从车头相遇到车尾相离共需7.5时间。 4： 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每6分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，则每隔2分钟相遇一次，问：这两人跑一圈分别需要几分钟？ 【思路分析】 根据题意可知，把环形跑道的长度看作单位“1”，两人的速度差为，两人的速度和为，再根据（和＋差）÷2＝较大数，和－较大数＝较小数，即可求出两人的速度，用1分别除以两人的速度即等于两人跑一圈分别需要的时间，据此即可解答。 【标准答案】 （＋）÷2 ＝÷2 ＝ －＝ 1÷＝3（分钟） 1÷＝6（分钟） 答：跑一圈一人需要3分钟，另一人需要6分钟。 4. 1．小丁和小林拿了两个秒表测量飞驰而过的火车的长度和速度。小丁测得火车从他面前通过的时间是8秒，小林测得火车车头通过第一根电线杆至车尾通过第二根电线杆所花的时间是9秒。已知两根电线杆之间的距离是20米。问：这列火车的全长和速度各是多少？ 答案：全长160米；速度20米/秒 分析：根据题意可知，火车行驶车身长度需要8秒，行驶车身长度加20米需要9秒，火车的速度等于20除以9减8的差，即每秒行20米，20乘8等于火车的全长，据此即可解答。 详解：20÷（9－8） ＝20÷1 ＝20（米/秒） 20×8＝160（米） 答：这列火车全长160米，速度为20米/秒。 2．有甲、乙两列火车，甲车每秒行50米，乙车每秒行40米，若车尾离开车头便为超过。两车齐头并进，则甲车行20秒超过乙车；两车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙车。问：两车的车长各是多少米？ 答案：甲车200米；乙车300米 分析：两车齐头并进，则甲车行20秒超过乙车，这时甲车比乙车多行的路程等于甲车长度，两车的速度差乘20即等于甲车的长度；两车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙车，这时甲车比乙车多行的路程等于乙车长度，用两车的速度差乘30即等于乙车的长度；据此即可解答。 详解：（50－40）×20 ＝10×20 ＝200（米） （50－40）×30 ＝10×30 ＝300（米） 答：甲车长200米；乙车长300米。 3．一列客车以每小时160千米的速度行驶，车窗边的一位旅客发现对面驶来一列货车，货车经过他的身旁用了4秒。经询问知一列货车长300米。那么货车每小时行多少千米？ 答案：110千米 分析：根据题意可知，货车长度除以经过旅客身旁所用的时间等于两列火车的速度和，然后把单位换算成每小时多少千米，再减去客车的速度，即等于货车的速度，据此即可解答。 详解：300÷4＝75（米/秒） 75×60×60÷1000 ＝4500×60÷1000 ＝270000÷1000 ＝270（千米/时） 270－160＝110（千米/时） 答：货车每小时行110千米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$