（趣味奥数）第八讲 最小公倍数（二）-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

最小公倍数（二） 校园活动的时间安排 新学期开学，阳光小学五年级的同学们都满怀期待地准备参加各种校园活动。学校为了丰富同学们的课余生活，组织了趣味数学社团和活力足球社团。 明明特别喜欢数学，毫不犹豫地报名了趣味数学社团。社团的活动时间很有规律，每 4 天开展一次。而他的好朋友亮亮是个足球迷，自然加入了活力足球社团，这个社团每 6 天进行一次训练。 开学后的前几周，明明和亮亮各自愉快地参加着社团活动。可是有一天，明明发现这周四趣味数学社团有活动，而亮亮也说足球社团那天同样有训练。两人都很苦恼，因为他们既不想错过自己喜欢的社团活动，又想和好朋友一起玩耍。 于是，他们去找数学老师王老师帮忙。王老师微笑着说：“孩子们，这其实是一个关于最小公倍数的问题。” 明明和亮亮一脸疑惑，齐声问道：“王老师，什么是最小公倍数呀？” 王老师耐心地解释：“就像 4 的倍数有 4、8、12、16、20……6 的倍数有 6、12、18、24…… 在这些倍数中，12 是 4 和 6 公有的倍数，而且是最小的，这就是 4 和 6 的最小公倍数。” 接着，王老师引导他们思考：“咱们想一想，从这次冲突开始，下一次两个社团活动时间再次重合会是多久以后呢？” 明明眼睛一亮，说：“我知道了，是 12 天后！因为 12 是 4 和 6 的最小公倍数。” 亮亮也兴奋地说：“那我们可以在这 12 天里，合理安排参加社团活动和一起玩耍的时间啦。” 从那以后，明明和亮亮学会了用最小公倍数来规划自己的校园生活，再也没有因为社团活动时间冲突而烦恼过。他们还把这个方法分享给了其他同学，大家都发现，数学知识在生活中真的非常有用，能帮助我们解决很多实际问题呢！ 1.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求两个数的最小公倍数的方法 （1）列举法：先从小到大分别写出两个数的一些倍数，再从它们公有的倍数中找到最小的即是最小公倍数。 （2）筛选法：先写出较大数的一些倍数，再从中找出较小数的倍数，最小的一个即是它们的最小公倍数。 （3）分解质因数法：先把两个数分别分解质因数，再找出他们共有的质因数，用他们公有的质因数的乘积再与非公有的质因数相乘，所得的结果即是它们的最小公倍数。 方法点睛： （1）两个数的最小公倍数是它们公倍数的因数。 （2）当两个数的最大公因数是1 （互质）时，这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。 （3）当两个数中较大的数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是较大数。 （4）两个非0自然数的乘积等于他们的最大公因数乘最小公倍数 1： 五（2）班同学到校外参加植树活动，无论18人一组还是12人一组都多2人。这个班的人数在30到60之间，这个班有学生多少人？ 【思路分析】 无论18人一组还是12人一组都多2人，说明总人数比18和12的公倍数多2人。先求出18和12的最小公倍数，再通过最小公倍数找到30到60之间的公倍数，加2就是这个班的人数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【标准答案】 18＝2×3×3 12＝2×2×3 2×2×3×3＝36（人） 36＋2＝38（人） 30＜38＜60 答：这个班有学生38人。 1. 1.在“美丽中国行，我是行动者”生态环保主题绘画比赛中，实验小学五（1）班大部分同学热情参与、踊跃投稿。把他们的绘画作品平均分成6组或10组，都多5幅（每人限投一幅作品）。五（1）班至少有多少人参与投稿？ 2．有一批苹果，每筐装30千克或33千克，都正好装完。这批苹果至少有多少千克？ 3．学校有一条甬路，长度为96米，计划在路两边种柳树，每隔4米挖好了一个树坑（两头都种）。由于买不到柳树苗，现改种梧桐树，树间距由4米改为6米。需要填埋多少个树坑？需要重新挖多少个树坑？ 2： 五年级同学参加植树活动的人数在100人至130人之间，如果按6人一组分或8人一组分，都少3人。五年级参加植树活动的同学有多少名？ 【思路分析】 根据题意，如果按6人一组分或8人一组分，都少3人，说明五年级参加植树活动的总人数比6、8的公倍数少3；先求出6和8的最小公倍数，再求最小公倍数在100～130之间的倍数，最后减去3，就是五年级参加植树活动的总人数。 【标准答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 24在100～130之间的公倍数是：24×5＝120 120－3＝117（名） 答：五年级参加植树活动的同学有117名。 2． 1．小智、小文去阅览室看书，小智每3天去一次，小文每5天去一次。6月1日这天他俩同去阅览室看书之后，哪天再次一起到阅览室看书？ 2．商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 3．为了备战比赛，羽毛球队队员们带来一些羽毛球进行训练，不管是2个2个地数，3个3个地数，还是5个5个地数，都正好数完。队员们至少带来多少个羽毛球？ 3： 同学们在操场上排队，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余。至少有多少人？如果人数在120～180人之间，那么有多少人？ 【思路分析】 根据题意，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余，那么总人数是4、7和8的公倍数；先求出4、7和8的最小公倍数，即是至少有的总人数； 再求最小公倍数在120～180之间的倍数，即是总人数在120～180之间的人数。 【标准答案】 4＝2×2 8＝2×2×2 4、7和8的最小公倍数是：2×2×2×7＝56 即至少有56人。 56×2＝112（人） 56×3＝168（人） 56×4＝224（人） 120＜168＜180 答：至少有56人。如果人数在120～180人之间，那么有168人。 3． 1．一种长方形瓷砖长12厘米，宽10厘米。要用这种瓷砖铺一块正方形地面，这块正方形地面的边长最小是多少厘米？用这种瓷砖能否正好铺成边长是4米的正方形地面？为什么？ 2．一个电子钟，每天整点响一次铃，每18分钟亮一次灯。下午2时整，它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是几时？ 3．百货商店新到一批不同样式的书包，每个书包的价格刚好都是2、3、5的倍数。 （1）这批书包中，价格最低的书包是多少元？ （2）如果这些书包的价格不超过100元，可能会有几种价格？分别是多少元？ 4： 周六上午9：00，阳阳和爸爸在“学府街关林路口”公交车站等车，正好看到65路公交车和95路公交车同时到达车站。根据这两路公交车的发车信息（如图），你知道下一次这两路公交车同时到“学府街关林路口”公交车站是几时几分吗？ 65路：每20分钟一班车 95路：每25分钟一班车 【思路分析】 从图中可知，65路公交车每20分钟一班，95路公交车每25分钟一班，那么这两车同时到站的时间间隔是20、25的最小公倍数，再加上第一次同时到站的时刻，就是下一次这两路公交车同时到站的时刻。 【标准答案】 20＝2×2×5 25＝5×5 20和25的最小公倍数是2×2×5×5＝100； 即每100分钟这两路公交车同时到站。 100分钟＝1时40分 9时＋1时40分＝10时40分 答：下一次这两路公交车同时到“学府街关林路口”公交车站是10时40分。 4. 1．一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 2．插一排彩旗共21面，原来每相邻两面之间的距离是6米，现在改为8米。除两端的彩旗不需要移动外，还有多少面彩旗不用移动？ 3．去年暑假期间，小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，7月31日两人在游泳馆相遇，八月份他们一共相遇了几次？ 走进伟大的科学家—牛顿 在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。据牛顿本人回忆，他是在1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的。 大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。  微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为"流数术"。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。 1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为《普遍算术》。他主要讨论了代数基础及其（通过解方程）在解决各类问题中的应用。书中陈述了代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行了深入探讨，引出了方程论方面的丰硕成果，如，他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式”。 牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心，给出密切线圆（或称曲线圆）概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》，于1704年发表。此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。 1： 五（2）班同学到校外参加植树活动，无论18人一组还是12人一组都多2人。这个班的人数在30到60之间，这个班有学生多少人？ 【思路分析】 无论18人一组还是12人一组都多2人，说明总人数比18和12的公倍数多2人。先求出18和12的最小公倍数，再通过最小公倍数找到30到60之间的公倍数，加2就是这个班的人数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【标准答案】 18＝2×3×3 12＝2×2×3 2×2×3×3＝36（人） 36＋2＝38（人） 30＜38＜60 答：这个班有学生38人。 1. 1.在“美丽中国行，我是行动者”生态环保主题绘画比赛中，实验小学五（1）班大部分同学热情参与、踊跃投稿。把他们的绘画作品平均分成6组或10组，都多5幅（每人限投一幅作品）。五（1）班至少有多少人参与投稿？ 答案：35人 分析：他们的绘画作品平均分成6组或10组，都多5幅，由此可知，他们的作品的总数量减去5就是6和10的公倍数，由于每人限投一幅作品，则五（1）班至少人数是6和10的最小公倍数，再加上5，根据求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数连乘积，就是最小公倍数，如果两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，如果两个数为互质数，则最小公倍数为两个数的乘积，据此解答。 详解：6＝2×3 10＝2×5 6和10的最小公倍数是2×3×5＝30 30＋5＝35（人） 答：五（1）班至少有35人参与投稿。 2．有一批苹果，每筐装30千克或33千克，都正好装完。这批苹果至少有多少千克？ 答案：330千克 分析：由题意可知：苹果的总质量是30和33的公倍数，应用分解质因数的方法求出30和33的最小公倍数即可。 详解：30＝2×3×5 33＝3×11 30和33的最小公倍数为： 2×3×5×11 ＝6×5×11 ＝30×11 ＝330 答：这批苹果至少有330千克。 3．学校有一条甬路，长度为96米，计划在路两边种柳树，每隔4米挖好了一个树坑（两头都种）。由于买不到柳树苗，现改种梧桐树，树间距由4米改为6米。需要填埋多少个树坑？需要重新挖多少个树坑？ 答案：填埋32个，新挖16个 分析：由题意知：计划在路两边植树，先分析路的一边，最后再乘2。 植树问题中两端都栽：树坑的个数＝间隔数＋1，间隔数＝总长÷间隔长，因此用总长除以间隔长再加上1就是树坑的个数，由题意知：路长度为96米，每隔4米挖种柳树的坑，则路的一边种柳树需要的树坑数＝总长÷4＋1； 后改为每隔6米种梧桐树需要的坑，则路的一边种梧桐树需要的树坑数＝总长÷6＋1； 因为先是每隔4米挖好了一个树坑，后面树间距由4米改为6米，4和6的最小公倍数为12，所以间距为12米点上的树坑不需要填埋也不需要新挖。路的一边不需要填埋的坑＝总长÷12＋1； 路的一边需要填埋的树坑数＝路的一边柳树需要的树坑数－路的一边不需要填埋的树坑数； 路的一边新挖的树坑数＝路的一边梧桐树需要的树坑数－路的一边不需要填埋的树坑； 注意：计划在路两边种树，所以结果乘2即可解决本题。 详解：4的倍数：4、8、12、16、… 6的倍数：6、12、18、… 则4米和6米的最小公倍数是12米。 需要填埋： （96÷4＋1）－（96÷12＋1） ＝（24＋1）－（8＋1） ＝25－9 ＝16（个） 16×2＝32（个） 需要新挖： （96÷6＋1）－（96÷12＋1） ＝（16＋1）－（8＋1） ＝17－9 ＝8（个） 8×2＝16（个） 答：需要填埋32个树坑，需要重新挖16个树坑。 点睛：植树问题中，两端都栽，棵数＝间隔数＋1；只栽一端，棵数＝间隔数；两端都不栽，棵数＝间隔数－1。 此类问题结合实际情况考虑，一般是找出公倍数是解题的关键，也可借助画图分析。 2： 五年级同学参加植树活动的人数在100人至130人之间，如果按6人一组分或8人一组分，都少3人。五年级参加植树活动的同学有多少名？ 【思路分析】 根据题意，如果按6人一组分或8人一组分，都少3人，说明五年级参加植树活动的总人数比6、8的公倍数少3；先求出6和8的最小公倍数，再求最小公倍数在100～130之间的倍数，最后减去3，就是五年级参加植树活动的总人数。 【标准答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 24在100～130之间的公倍数是：24×5＝120 120－3＝117（名） 答：五年级参加植树活动的同学有117名。 2． 1．小智、小文去阅览室看书，小智每3天去一次，小文每5天去一次。6月1日这天他俩同去阅览室看书之后，哪天再次一起到阅览室看书？ 答案：6月16日 分析：由题意可知，再经过的天数是3和5的最小公倍数，求出3和5的最小公倍数，再用6月1日加上这个最小公倍数就是他们再次一起到阅览室看书的日期。 详解：3和5互质，所以3和5的最小公倍数是：3×5＝15 6月1日＋15日＝6月16日 答：6月16日他俩再次一起到阅览室看书。 2．商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 答案：72个 分析：从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。 详解：12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 3．为了备战比赛，羽毛球队队员们带来一些羽毛球进行训练，不管是2个2个地数，3个3个地数，还是5个5个地数，都正好数完。队员们至少带来多少个羽毛球？ 答案：30个 分析：根据题意，不管是2个2个地数，3个3个地数，还是5个5个地数，都正好数完，说明羽毛球的总个数是2、3、5的公倍数；求至少带来多少个羽毛球，就是求2、3、5的最小公倍数，因为2、3、5是互质数，所以它们的最小公倍数是它们的乘积。 详解：2×3×5＝30（个） 答：队员们至少带来30个羽毛球。 3： 同学们在操场上排队，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余。至少有多少人？如果人数在120～180人之间，那么有多少人？ 【思路分析】 根据题意，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余，那么总人数是4、7和8的公倍数；先求出4、7和8的最小公倍数，即是至少有的总人数； 再求最小公倍数在120～180之间的倍数，即是总人数在120～180之间的人数。 【标准答案】 4＝2×2 8＝2×2×2 4、7和8的最小公倍数是：2×2×2×7＝56 即至少有56人。 56×2＝112（人） 56×3＝168（人） 56×4＝224（人） 120＜168＜180 答：至少有56人。如果人数在120～180人之间，那么有168人。 3． 1．一种长方形瓷砖长12厘米，宽10厘米。要用这种瓷砖铺一块正方形地面，这块正方形地面的边长最小是多少厘米？用这种瓷砖能否正好铺成边长是4米的正方形地面？为什么？ 答案：60厘米；不能 分析：（1）根据题目，要求这块正方形地面的边长最小是多少，就是求12和10的最小公倍数，据此用分解质因数的方法求出12和10的最小公倍数即可； （2）先根据1米＝100厘米，把4米换算成400厘米，若400是长方形长和宽的公倍数，则可以正好铺成，若不是则不能正好铺成。 详解：12＝2×2×3 10＝2×5 12和10的最小公倍数是：2×2×3×5＝60，所以这块正方形地面的边长最小是60厘米。 4米＝400厘米 400÷12＝33……4 400÷10＝40 400是10的倍数，但不是12的倍数，所以用这种瓷砖不能正好铺成边长是4米的正方形地面。 答：这块正方形地面的边长最小是60厘米，因为400是10的倍数，但不是12的倍数，所以用这种瓷砖不能正好铺成边长是4米的正方形地面。 2．一个电子钟，每天整点响一次铃，每18分钟亮一次灯。下午2时整，它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是几时？ 答案：下午5时 分析：根据题意，先把1小时化成60分钟，下一次既响铃又亮灯需要的时间应该是60和18的最小公倍数，据此先用分解质因数的方法求出18和60的最小公倍数，再根据结束的时刻＝开始的时刻＋经过的时间即可得到下一次既响铃又亮灯的时间。 详解：1小时＝60分钟 18＝2×3×3 60＝2×2×3×5 18和60的最小公倍数是：2×3×2×3×5＝180 180分钟＝3小时 下午2时＋3时＝下午5时 答：下一次既响铃又亮灯是下午5时。 3．百货商店新到一批不同样式的书包，每个书包的价格刚好都是2、3、5的倍数。 （1）这批书包中，价格最低的书包是多少元？ （2）如果这些书包的价格不超过100元，可能会有几种价格？分别是多少元？ 答案：（1）30元 （2）3种；30元；60元；90元 分析：（1）根据题意，每个书包的价格刚好都是2、3、5的倍数，那么这批书包中价格最低的是2、3、5的最小公倍数；2、3、5是互质数，则它们的最小公倍数是2、3、5的乘积，据此解答。 （2）如果这些书包的价格不超过100元，那么这些书包的价格是2、3、5最小公倍数在100以内的倍数，据此解答。 详解：（1）2×3×5＝30（元） 答：价格最低的书包是30元。 （2）30×1＝30（元） 30×2＝60（元） 30×3＝90（元） 答：可能会有3种价格，分别是30元、60元、90元。 4： 周六上午9：00，阳阳和爸爸在“学府街关林路口”公交车站等车，正好看到65路公交车和95路公交车同时到达车站。根据这两路公交车的发车信息（如图），你知道下一次这两路公交车同时到“学府街关林路口”公交车站是几时几分吗？ 65路：每20分钟一班车 95路：每25分钟一班车 【思路分析】 从图中可知，65路公交车每20分钟一班，95路公交车每25分钟一班，那么这两车同时到站的时间间隔是20、25的最小公倍数，再加上第一次同时到站的时刻，就是下一次这两路公交车同时到站的时刻。 【标准答案】 20＝2×2×5 25＝5×5 20和25的最小公倍数是2×2×5×5＝100； 即每100分钟这两路公交车同时到站。 100分钟＝1时40分 9时＋1时40分＝10时40分 答：下一次这两路公交车同时到“学府街关林路口”公交车站是10时40分。 4. 1．一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 答案：13：26 分析：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。求出外层和内层间隔时间的最小公倍数是外层和内层同时喷的间隔时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时喷水时间。 详解：12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是13：26。 2．插一排彩旗共21面，原来每相邻两面之间的距离是6米，现在改为8米。除两端的彩旗不需要移动外，还有多少面彩旗不用移动？ 答案：4面 分析：根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，（彩旗数量－1）×原来间距＝总长度。再求出前后间距的最小公倍数，位于公倍数的位置的彩旗不用移动，因为两端的彩旗不需要移动，相当于植树问题中的两端不植，棵数＝段数－1，总长度÷现在间距－1＝不用移动的数量，据此列式解答。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 详解：（21－1）×6 ＝20×6 ＝120（米） 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（米） 120÷24－1 ＝5－1 ＝4（面） 答：还有4面彩旗不用移动。 3．去年暑假期间，小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，7月31日两人在游泳馆相遇，八月份他们一共相遇了几次？ 答案：2次 分析：已知小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，那么两人同时去游泳的间隔天数就是4和3的公倍数。4和3是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积12。用八月的总天数除以它们的最小公倍数得到的整数商就是两人相遇的次数。 详解：4和3的最小公倍数是：4×3＝12 即每12天他们相遇了一次。 8月份有31天。 31÷12＝2（次）……7（天） 答：八月份他们一共相遇了2次。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$