（趣味奥数）第五讲 分数的基本性质-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

分数的基本性质 分数的秘密 在美丽的花果山，住着一群活泼可爱的猴子，它们的大王是聪明机智的孙悟空。有一天，天气格外晴朗，孙悟空决定给猴子们分饼吃，大家都高兴得欢呼起来。 孙悟空拿出三张同样大小的饼，对猴子们说：“孩儿们，今天我给大家分饼吃。” 说完，他把第一张饼平均分成了两份，给了小猴聪聪其中的一份，聪聪拿到饼后，看了看，心里有些不太满意，小声嘟囔着：“就这么一点呀。” 孙悟空又把第二张饼平均分成了四份，给了小猴明明其中的两份，明明接过两份饼，脸上露出了笑容，觉得自己比聪聪多拿了一些。 这时，小猴皮皮眼巴巴地看着第三张饼，孙悟空把第三张饼平均分成了八份，给了皮皮其中的四份，皮皮拿到四份饼，开心得跳了起来，心想自己拿到的饼最多。 就在这时，一直在旁边观察的老猴子灵机一动，笑着问其他猴子：“你们觉得聪聪、明明和皮皮谁拿到的饼多呢？” 猴子们开始纷纷讨论起来，有的说皮皮拿的份数最多，所以皮皮的饼最多；有的说不对，要仔细想想。 老猴子不紧不慢地说：“我们来看看，聪聪拿到的是第一张饼的二分之一，明明拿到的是第二张饼的四分之二，皮皮拿到的是第三张饼的八分之四。” 说着，老猴子在地上画了三个同样大小的圆，分别把它们按照分饼的方式进行了划分。 猴子们看着地上的圆，恍然大悟。原来，虽然每张饼被分的份数不一样，每个人拿到的份数也不一样，但是通过对比圆里被划分出来的部分，它们发现二分之一、四分之二和八分之四所代表的饼的大小是一样的。 老猴子接着说：“这就是分数的一个神奇性质，分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。就像我们今天分的饼，第一张饼的二分之一，分子分母同时乘 2，就变成了第二张饼的四分之二，分子分母再同时乘 2，就变成了第三张饼的八分之四，但是它们表示的饼的大小始终是一样的。” 猴子们听了老猴子的讲解，都明白了这个有趣的数学知识。孙悟空看着大家，笑着说：“孩儿们，数学知识无处不在，只要你们善于观察和思考，就能发现很多像这样有趣的秘密。” 从此，猴子们对数学产生了更浓厚的兴趣，在花果山的生活中，也常常会用数学知识来解决各种问题。 本课时围绕分数的基本概念，学习灵活运用分数的基本性质，通过推理、分析，解答相关的分数问题。 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 1： 一个分数约简后等于，原来分子与分母的和是60，原分数是多少？ 【思路分析】 已知一个分数，分子和分母的和是60，约分后得，即分子和分母的比是2∶13，总份数是（2＋13）份，再求出分子、分母各占和的几分之几，根据一个数乘分数的意义列式解答即可。 【标准答案】 总份数是：2＋13＝15（份） 分子：60×＝8 分母：60×＝52 这个分数原来是。 答：原来的分数是。 1. 1．一个分数的分子加上1，这个分数等于1。 （1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于九分之八，原分数是多少？ （2）如果把这个分数的分母加上2，就等于九分之八，原分数是多少？ 2．一个最简分数，如果分子加1，分数就等于1；如果分母加1，分数就等于。原分数是多少？ 3．化简一个分数，用2约分了两次，用3和5分别约分了一次，得，原分数是多少？ 2： 一个最简分数，分子比分母小12，如果分母减少1，分子增加3，所得的新分数为，原分数是多少？ 【思路分析】 原分子比原分母小12，当分母减少1，分子增加3时，新分子比新分母少：12－1－3＝8，因为所得新分数为，所以8÷（2－1）＝8，新分子为：8×1＝8，新分母为8×2＝16，新分子减去3，新分母加上1，即为原分子和原分母。 【标准答案】 （12－1－3）÷（2－1） ＝8÷1 ＝8 8×1－3 ＝8－3 ＝5 8×2＋1 ＝16＋1 ＝17 所以原分数为：。 答：原分数为：。 2． 1．一个分数的分子扩大四倍，分母缩小7倍之后是，原分数是多少？ 2．一个分数的分子扩大4倍，分母缩小7倍之后是。原分数是多少？ 3．一个最简分数，分子比分母少12．如果分子减少1，分子加3，所得新分数为．原分数是多少？ 3： 一个分数约分，先用2约了一次，再用3约了一次得，原分数是多少？ 【思路分析】 5×2×3=30  6×2×3=36  所以原分数是． 3． 1．把一个分数化简成最简分数是,化简时,用2约了两次,用3约了一次．求原分数． 2．一个分数，分子与分母的和是37，如果分母减去5，这个分数就等于1．原分数是多少？ 3．一个分数约分后是，原分数的分子、分母之和是72，那么原分数是多少？ 4： 一个分数的分子和分母的和是18，如果将分子加上8，分母加上9，新分数约分后是，原分数是多少？ 【思路分析】 根据“原分数分子与分母的和是18，如果分数的分子加上8，分母加上9”，可知得到的新分数的分子与分母的和就是18+8+9=35；再根据分数的性质通分，找出分子与分母的和是35的分数，进而用逆推法把这个分数的分子减去8，分母减去9，即可求得原分数． 解：新分数的分子与分母的和是18+8+9=35， 所以得到的新分数为：， 那么原分数为：． 答：原分数是． 4. 1．一个分数、约分后是，已知原分数的分子比分母小42，求原分数． 2．把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1 （1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数等于，原分数是多少？ （2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数等于，原分数是多少？ 3．一个最简分数分子缩小为原来的，分母扩大9倍后是，原分数是多少？ 分数的表示法是怎样产生的？ 你在三年级就知道了分数，但你知道分数是怎样产生的吗？ 在我国古代，很早数学家 就用筹算法记分数和除法了。 在《九章算术》（约公元 一世纪左右）一书中，已有完 整的分数四则运算法则，以及 约分法则。这是世界上最早的 分数四则运算法则，而且和现在所用的几乎一样。 在印度，人们用笔算的形式，把分数记作 ，这和我国筹算记法相同。 阿拉伯人在印度人的分数记法基础上，在分子、分母中间填上一条横线。并且把带分数的整数部分写在分数部分的前面，如，三又七分之二写成3 。这种记法在13世纪传到意大利，在15世纪中开始在欧洲各国通行，最后成为世界各国的通用记法，我们现在所用的记法是阿拉伯人首先采用的。在古代，分数四则计算被人们认为是很难的事，可在今天，我们在小学就开始学习分数四则运算了，这部分内容已成为小学数学的基础知识。 1： 一个分数约简后等于，原来分子与分母的和是60，原分数是多少？ 【思路分析】 已知一个分数，分子和分母的和是60，约分后得，即分子和分母的比是2∶13，总份数是（2＋13）份，再求出分子、分母各占和的几分之几，根据一个数乘分数的意义列式解答即可。 【标准答案】 总份数是：2＋13＝15（份） 分子：60×＝8 分母：60×＝52 这个分数原来是。 答：原来的分数是。 1. 1．一个分数的分子加上1，这个分数等于1。 （1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于九分之八，原分数是多少？ （2）如果把这个分数的分母加上2，就等于九分之八，原分数是多少？ 答案：（1） （2） 分析：（1）由题意可知，这个分数的分子分母只相差1，并且分母不是8。所以，把化为，再用分母减去1即可； （2）同理，把化为，再用分母减去2即可。 详解：（1）＝ 18－1＝17 答：原分数是。 （2）＝ 27－2＝25 答：原分数是。 点睛：本题考查分数的基本性质，熟练运用分数的基本性质是解题的关键。 2．一个最简分数，如果分子加1，分数就等于1；如果分母加1，分数就等于。原分数是多少？ 答案： 分析：分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 最简分数是指分子和分母只有公因数1的分数。 根据“如果分子加1，分数就等于1”可知，原分母比分子大1；先根据分数的基本性质，把化成，分母6－1＝5即是原来的分母，分数变成，再看是否符合题意，如符合，那么就是原分数；如不符合，再利用分数的基本性质，把化成其他大小不变的分数继续验证。 详解：＝＝ 的分母6－1＝5，分数变成； 是最简分数，且分子加1，分数就等于1，符合题意。 答：原分数是。 3．化简一个分数，用2约分了两次，用3和5分别约分了一次，得，原分数是多少？ 答案： 2： 一个最简分数，分子比分母小12，如果分母减少1，分子增加3，所得的新分数为，原分数是多少？ 【思路分析】 原分子比原分母小12，当分母减少1，分子增加3时，新分子比新分母少：12－1－3＝8，因为所得新分数为，所以8÷（2－1）＝8，新分子为：8×1＝8，新分母为8×2＝16，新分子减去3，新分母加上1，即为原分子和原分母。 【标准答案】 （12－1－3）÷（2－1） ＝8÷1 ＝8 8×1－3 ＝8－3 ＝5 8×2＋1 ＝16＋1 ＝17 所以原分数为：。 答：原分数为：。 2． 1．一个分数的分子扩大四倍，分母缩小7倍之后是，原分数是多少？ 答案： 详解：= 2．一个分数的分子扩大4倍，分母缩小7倍之后是。原分数是多少？ 答案： 分析：根据题意，将分子分母还原，给分母乘7，分子除以4，即可解答。 详解：原数的分子：20÷4＝5        原数的分母：7×7＝49       答：原分数是。 点睛：解答此题应根据分数的基本性质逆向思维，从结论出发，依次向前推，进而得出结论。 3．一个最简分数，分子比分母少12．如果分子减少1，分子加3，所得新分数为．原分数是多少？ 答案： 详解：试题分析：由原来分子比分母小12，分子减去1分母加上3后，可知分子比分母少12+1+3=16，又于由所得新分数为可知，现在的分子比分母少5﹣3=2份，1份是16÷2=8，现在的分母是8×5=40，分子是8×3=24，原来的分子是24+1=25，分母是40﹣3=37．据此解答．也可用比例解． 解：12+1+3=16，16÷2=8，原分数的分子是：8×3+1=25，分母是：8×5﹣3=37， 因此原分数为； 故答案为 点评：解答此题的关键是求出原分数的分子、分母，而求出原分数的分子、分母的关键是求出现在分数的分子、分母．现在分数的分子、分母由已知条件即可求得． 3： 一个分数约分，先用2约了一次，再用3约了一次得，原分数是多少？ 【思路分析】 5×2×3=30  6×2×3=36  所以原分数是． 3． 1．把一个分数化简成最简分数是,化简时,用2约了两次,用3约了一次．求原分数． 答案：原分数是 详解：原分数的分子和分母的最大公因数是2×2×3=12． == 答:原分数是． 2．一个分数，分子与分母的和是37，如果分母减去5，这个分数就等于1．原分数是多少？ 答案： 详解：（37-5）÷2=16   16+5=21  原分数为 3．一个分数约分后是，原分数的分子、分母之和是72，那么原分数是多少？ 答案： 详解：试题分析：由题意可得：把原分数的分子和分母的和看作单位“1”，则分子占分子与分母和的，分母占分子与分母和的，于是利用按比例分配的方法，即可求出原分数的分子和分母，进而得出原分数． 解：72×=30， 72×=42， 所以原分数为； 答：原分数是． 点评：解答此题的关键是：先求出原分数的分子和分母各占它们的和的几分之几，从而求出原分数的分子与分母，问题得解． 4： 一个分数的分子和分母的和是18，如果将分子加上8，分母加上9，新分数约分后是，原分数是多少？ 【思路分析】 根据“原分数分子与分母的和是18，如果分数的分子加上8，分母加上9”，可知得到的新分数的分子与分母的和就是18+8+9=35；再根据分数的性质通分，找出分子与分母的和是35的分数，进而用逆推法把这个分数的分子减去8，分母减去9，即可求得原分数． 解：新分数的分子与分母的和是18+8+9=35， 所以得到的新分数为：， 那么原分数为：． 答：原分数是． 4. 1．一个分数、约分后是，已知原分数的分子比分母小42，求原分数． 答案： 详解：试题分析：先求出这个分数约分后的分母和分子的差14，再求出原分数的分子比分母小42是这个差14的3倍，说明分子、分母同时约去的数是3，那么，现在的分子、分母同时乘3，即可得解． 解：17﹣3=14， 42÷14=3， 3×3=9， 17×3=51； 答：原分数是． 点评：此题考查了约分和通分以及分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以一个数（0除外），分数的大小不变． 2．把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1 （1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数等于，原分数是多少？ （2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数等于，原分数是多少？ 答案：； 详解：试题分析：由“把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1”可知，这个分数的分母比分子大1，设分子为x，则分母为x+1； （1）由“如果把这个分数的分母加上1，这个分数等于”可得：=，解此比例即可解决问题． （2）由“如果把这个分数的分母加上2，这个分数等于”可得：=，解此比例即可解决问题． 解：，设这个分数的分子为x，则分母为x+1， （1）=， 9x=8x+16， x=16， 16+1=17， 所以原分数为； 答：原分数为． （2）=， 9x=8x+24， x=24， 24+1=25， 所以原分数为； 答：原分数为． 点评：解答此题的关键是：由题意得出“这个分数的分母比分子大1”，再依据分数的变化情况，即可列比例求解． 3．一个最简分数分子缩小为原来的，分母扩大9倍后是，原分数是多少？ 答案： 分析：分子缩小为原来的，分母扩大9倍，那么原来这个分数是×45，计算即可。 详解：×（5×9） ＝×45 ＝ 答：原分数是。 点睛：此题主要根据分数的基本性质解答问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$