（趣味奥数）第十一讲 整除-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

整除 校园义卖大作战 阳光小学迎来了一年一度的校园义卖活动，这次义卖的收入将全部捐给贫困山区的小朋友们，帮助他们改善学习条件。五年级三班的同学们为了这次义卖活动，可是做了精心的准备。 活动当天，教室里摆满了同学们带来的各种义卖物品，有精美的手工艺品、有趣的书籍、崭新的文具等等。班长小辉站在讲台上，看着琳琅满目的物品，皱起了眉头。他心里想着：“这么多东西，得赶紧合理分组，才能更好地售卖呀。” 这时，数学小天才乐乐走了过来，说：“小辉，别着急，我们可以用整除的知识来分组。你看，这里有 36 本故事书，我们知道 36 能被 4 整除，36÷4 = 9，那我们就把故事书每 4 本分成一组，可以分成 9 组，这样每组价格定成整数也方便售卖。” 小辉眼睛一亮，连忙点头：“乐乐，你太聪明啦！那这些手工制作的小挂件，一共有 50 个，该怎么分组呢？” 乐乐想了想，说：“50 能被 5 整除，50÷5 = 10，我们把小挂件每 5 个分成一组，正好分成 10 组。” 同学们按照乐乐的方法，很快就把所有物品都分好了组。接下来，就要给这些物品定价了。小萱负责给文具定价，她发现有 24 支铅笔，她想：“24 可以被 3 整除，24÷3 = 8，那我把 3 支铅笔作为一套，每套定价 8 元，这样既能保证价格合理，又符合整除的规律，方便计算收入。” 义卖活动正式开始了，同学们都热情地向其他班级的同学介绍自己的商品。不一会儿，就有一群低年级的小朋友来到了五年级三班的摊位前。一个小朋友指着一组故事书问：“姐姐，这一组故事书多少钱呀？” 小辉笑着说：“小朋友，这一组 4 本故事书，一共 20 元。因为 20 能被 4 整除，每本就是 5 元哦，很划算的。” 小朋友想了想，觉得很有道理，就开心地买走了一组故事书。 在售卖过程中，也遇到了一些小问题。有个同学想单独买 2 本故事书，小辉正不知道该怎么定价，乐乐又跑了过来，说：“20÷4 = 5，一本故事书 5 元，2 本就是 5×2 = 10 元。” 小辉恍然大悟，顺利完成了这笔交易。 随着时间的推移，摊位上的物品越来越少，同学们的钱包却越来越鼓。活动结束后，大家开始统计收入。小辉发现，通过运用整除知识定价和分组，计算收入变得特别简单。所有物品的收入都能通过整除和乘法运算快速得出。 这次校园义卖活动，五年级三班的同学们不仅成功地将物品全部卖完，为贫困山区的小朋友筹集到了一笔可观的善款，还在活动中深刻体会到了整除知识在生活中的实际应用。大家都开心地说：“原来数学这么有趣又有用，以后我们要好好学习数学，用它解决更多生活中的问题！” 整除的定义：在自然数范围内（一般不包括0），整数a除以整数b（b≠0），如果除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。例如，12÷3=4，我们就说12能被3整除，3能整除12。 因数和倍数： 概念：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）。例如，因为12÷3=4，所以12是3的倍数，3是12的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。 整除的特征： 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除。例如，12、34、56、78、100等都能被2整除。 能被3整除的数的特征：各位数字的和能被3整除，这个数就能被3整除。例如，123各位数字之和为1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除。 能被4（或25）整除的数的特征：末尾两位能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如，124的末两位24能被4整除，所以124能被4整除；125的末两位25能被25整除，所以125能被25整除。 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5的数能被5整除。如10、15、20、25等都能被5整除。 能被6整除的数的特征：同时能被2和3整除的数能被6整除。因为6=2×3，所以一个数既要满足能被2整除的特征，又要满足能被3整除的特征，才能被6整除。 能被7整除的数的特征：去掉个位数字，再从剩下的数中减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则这个数能被7整除。例如，判断133是否能被7整除，去掉个位数字3后剩下13，再用13减去3的2倍即13-3×2=7，7是7的倍数，所以133能被7整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末尾三位能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如，1000的末三位000能被8整除，所以1000能被8整除；1125的末三位125能被125整除，所以1125能被125整除。 能被9整除的数的特征：各位数字的和能被9整除，这个数就能被9整除。例如，279各位数字之和为2+7+9=18，18能被9整除，所以279能被9整除。 能被10整除的数的特征：个位数字是0的数能被10整除。如10、20、30等都能被10整除。 能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。例如，121中奇数位数字和为1+1=2，偶数位数字是2，它们的差为2-2=0，0能被11整除，所以121能被11整除。 1： 甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名．甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，并且知道其中第一名的得分是第三名的2倍，那么第二名的得分是多少？ 【思路分析】 由题意，甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，相比得到：丙﹣甲=41，乙﹣丁=28，所以第一名是乙或者丙；分乙是第一或丙是第一两种情况来推理得出第二名的得分即可． 解：相比得到：丙﹣甲=41，乙﹣丁=28，所以第一名是乙或者丙： （1）若乙是第一，则因为149不能被3整除，所以丙不为第三，只能是第二，丁第三，因为乙﹣丁=28，所以乙=56，但丙=149﹣56=93＞乙，矛盾； （2）若丙第一，则因为149不能被3整除，乙只能是第二，又因为121不能被3整除，所以丁只能是第四，所以甲第三，丙﹣甲=41，即丙=82，甲=41， 最后得：第二名乙=108﹣41=67； 答：第二名的得分是67分． 1. 1．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？ 2．由8个不同的数字组成的八位数中，能被396整除的数最大是多少？最小是多少？ 3．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少? 2： 分母是1001的最简真分数，共有多少个？ 【思路分析】 此题为容斥原理与数论知识的结合考察． 【标准答案】 解法一：1001=7×11×13，所以分子不能是7，11，13的倍数． 7的倍数有143个，11的倍数有91个，13的倍数有77个，7×11的倍数有13个，13×7的倍数有11个，11×13的倍数有7个，只有1001是7、11、13的倍数． 最简真分数个数为：1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720（个） 解法二：（7-1）×（11-1）×（13-1）=720（个） 答：以1001为分母的最简真分数共有720个． 2． 1．求一个最小的自然数A，使A×13的积的末四位数字组成的四位数是1999. 2．1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和）。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？ 3．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？ 3： 173□是一个四位数。文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【思路分析】 可根据能被9、11、8整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。 【标准答案】 因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1＋7＋3＋□＝11＋□，所以□内只能填7； 因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除，（7＋□）－（1＋3）＝3＋□能被11整除，所以□内只能填8； 因为能被8整除的自然数是最后三位数能被8整除，而73□能8整除，所以□内只能填6； 7＋8＋6＝21； 答：所填三个数字之和是21。 3． 1．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明. 2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？ 3．试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13． 4： 125□是一个四位数。王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【思路分析】 可根据能被9、11、8整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。 【标准答案】 因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1＋2＋5＋□＝8＋□，所以□内只能填1； 因为能被11整除的四位数的十位与千位的数字和减去个位与百位的数字和所得的差能被11整除，（1＋5）－（2＋□）＝4－□能被11整除，所以□内只能填4； 因为能被8整除的自然数是最后三位数能被8整除，而25□能被8整除，所以□内只能填6； 1＋4＋6＝11； 答：所填三个数字之和是11。 4. 1．下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？ 2．有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289。其中能被9整除的有哪些？ 3．有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588。其中能被11整除的有哪些？ 完全数的诞生 公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。” 有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。    在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪生有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。    完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里 只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。 但在茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然藏在千万位数的深处！它是33550336，它的寻求之路也更加扑朔迷离，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。        电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。 1： 甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名．甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，并且知道其中第一名的得分是第三名的2倍，那么第二名的得分是多少？ 【思路分析】 由题意，甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，相比得到：丙﹣甲=41，乙﹣丁=28，所以第一名是乙或者丙；分乙是第一或丙是第一两种情况来推理得出第二名的得分即可． 解：相比得到：丙﹣甲=41，乙﹣丁=28，所以第一名是乙或者丙： （1）若乙是第一，则因为149不能被3整除，所以丙不为第三，只能是第二，丁第三，因为乙﹣丁=28，所以乙=56，但丙=149﹣56=93＞乙，矛盾； （2）若丙第一，则因为149不能被3整除，乙只能是第二，又因为121不能被3整除，所以丁只能是第四，所以甲第三，丙﹣甲=41，即丙=82，甲=41， 最后得：第二名乙=108﹣41=67； 答：第二名的得分是67分． 1. 1．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？ 答案：59个． 详解：试题分析：①根据自然数的排列规律及数位知识可知，在1﹣200中找含有数字“8”的数； ②在1﹣200中找能被8整除的数 ③重复出现的个数 即可得出答案 解：1到100为：8，18，28…，78，80，81，82…89，98共有20个， 同理可知，100﹣200中共有20个， 1至200中含有8的数共有20+20=40个． 又1﹣200中，能被8整除的数共有：200÷8=25个， 8；48；80；88；128；168；6个重复的数 则在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”：40+25﹣6=59个． 点评：本题为较为简单的数字问题根据自然数的排列规律及数位知识是完成此类题目的关键． 2．由8个不同的数字组成的八位数中，能被396整除的数最大是多少？最小是多少？ 答案：最大是97860312，最小是12376980． 详解：试题分析：能被396整除，就是既要能被9整除，又要能被4、11整除；0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，10个不同数字，和为45，要去掉两个，剩下数字的和仍然是9的倍数，可以去掉4和5，剩下0、1、2、3、6、7、8、9，八位数能被4整除的充分必要条件是末两位能被4整除，又因为是11的倍数的特征是：奇位上的数字之和与偶位上数字之差能被11整除，所以这个八位数最小是12376980，最大是97860312，据此解答即可． 解：能被396整除，就是既要能被9整除，又要能被4、11整除； 因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，要去掉两个，剩下数字的和仍然是9的倍数， 可以去掉4和5，剩下0、1、2、3、6、7、8、9， 因为八位数能被4整除的充分必要条件是末两位能被4整除， 八位数是11的倍数的特征是：奇位上的数字之和与偶位上数字之差能被11整除， 所以这个八位数最大是97860312，最小是12376980． 答：这个八位数最大是97860312，最小是12376980． 点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握是4、9、11的倍数的数的特征． 3．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少? 答案：7 详解：我们设这四个数中最小的一个数为a，要求4个数中最大的数与最小的数的和尽可能小，则先尽量让a最小． 当a＝1，设4个数中另外三个数中某个数为b，有必须为整数，而＝1+，则2能被(b－1)整除，显然(b－1)只能为2或1，对应b只能是3或2，但是题中要求a至少能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足． 当a＝2，设4个数中另外三个数中某个数为c，有必须为整数，而＝1+，则4能被(c－2)整除，有(c－2)可以为4、2、1，对应c可以为6、4或3． 验证6、4、3、2是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为4+3＝7即为题中条件下的和． 2： 分母是1001的最简真分数，共有多少个？ 【思路分析】 此题为容斥原理与数论知识的结合考察． 【标准答案】 解法一：1001=7×11×13，所以分子不能是7，11，13的倍数． 7的倍数有143个，11的倍数有91个，13的倍数有77个，7×11的倍数有13个，13×7的倍数有11个，11×13的倍数有7个，只有1001是7、11、13的倍数． 最简真分数个数为：1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720（个） 解法二：（7-1）×（11-1）×（13-1）=720（个） 答：以1001为分母的最简真分数共有720个． 2． 1．求一个最小的自然数A，使A×13的积的末四位数字组成的四位数是1999. 答案：923 详解：本题主要是应用能被7，13整除的数的特征，然后逐步推断，缩小范围，最终得到答案． 解：因为11999=10010+1989，且1989=13×153，1001=13×77，都是13的倍数．故11999也能被13整除，且最小的．所以A=11999÷13=923 2．1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和）。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？ 答案：27，8，12，48，35，9 详解：互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除。而，所以我们只用考察它能否能被4整除。于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能。注意图中的具体数字，有（3，4）处、（8，5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足。而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足。进一步验证，有（9，3）处剪开的末两位数字之差为，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）处剪开的末两位数字之差为。，，，，。所以从（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数。（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9。 3．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？ 答案：20 分析：因为975中可以分解出两个因数5，935中可以分解出1个因数5，972中可以分解出2个因数2，要使乘积的最后4位都是0，就需要4个因数5和4个因数2，式子中还缺2个因数2，1个因数5，2×2×5＝20，所以式子最小乘20就可以使这个连乘积的最后四个数字都是零。 详解：975含有2个质因数5，935含有1个质因数5，972含有2个质因数2；而975×935×972×□的乘积最后4个数都是0。 那么，至少需要4个质因数5，4个质因数2。 所以，□至少含有1个质因数5，2个质因数2，即最小为5×2×2＝20。 点睛：观察题干，分析式子中的数字特点，联系积的特点，从产生0的因数切入解题。 3： 173□是一个四位数。文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【思路分析】 可根据能被9、11、8整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。 【标准答案】 因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1＋7＋3＋□＝11＋□，所以□内只能填7； 因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除，（7＋□）－（1＋3）＝3＋□能被11整除，所以□内只能填8； 因为能被8整除的自然数是最后三位数能被8整除，而73□能8整除，所以□内只能填6； 7＋8＋6＝21； 答：所填三个数字之和是21。 3． 1．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明. 答案：不能 详解：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾. 2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？ 答案：把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1. 详解：因为225=25×9,要使修改后的数能被225整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1. 3．试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13． 答案：319 分析：假设它的奇数位数字之和为x，则偶数位数字之和是13﹣x，被11整除则奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除所以x﹣（13﹣x）能被11整除，进而解答即可． 详解：假设它的奇数位数字之和为x，则偶数位数字之和是13﹣x，被11整除则奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除，所以x﹣（13﹣x）能被11整除， 即：x+x﹣13=11， x=12； 此时偶数（十位）为13﹣x=13﹣12=1， 即百位和个位的和=12，十位是1； 所以最小是319． 4： 125□是一个四位数。王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【思路分析】 可根据能被9、11、8整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。 【标准答案】 因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1＋2＋5＋□＝8＋□，所以□内只能填1； 因为能被11整除的四位数的十位与千位的数字和减去个位与百位的数字和所得的差能被11整除，（1＋5）－（2＋□）＝4－□能被11整除，所以□内只能填4； 因为能被8整除的自然数是最后三位数能被8整除，而25□能被8整除，所以□内只能填6； 1＋4＋6＝11； 答：所填三个数字之和是11。 4. 1．下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？ 答案：48，7836，4100；75，650，4100 分析：若一个数的末两位数能被4或25整除，则这个数就一定能被4或25整除。 详解：答：其中能被4整除的有：48，7836，4100； 能被25整除的有：75，650，4100。 点睛：牢记被4或25整除的数的特征。 2．有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289。其中能被9整除的有哪些？ 答案：189，72457821，333666 分析：能被9整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被9整除，那么它必能被9整除。 详解：1＋2＋3＋4＋5＝15，不能被9整除； 1＋8＋9＝18，能被9整除； 7＋2＋4＋5＋7＋8＋2＋1＝36，能被9整除； 3＋3＋3＋6＋6＋6＝27，能被9整除； 5＋4＋2＋8＋9＝28，不能被9整除； 答：其中能被9整除的有189，72457821，333666。 点睛：牢记能被9整除的数的特征。 3．有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588。其中能被11整除的有哪些？ 答案：3124，5588 分析：能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。据此分别计算判断。 详解：3124，3＋2＝5，1＋4＝5，5－5＝0，0能被11整除，故3124能被11整除； 3823，3＋2＝5，8＋3＝11，11－5＝6，6不能被11整除，故3823不能被11整除； 45235，4＋2＋5＝11，5＋3＝8，11－8＝3，3不能被11整除，故45235不能被11整除； 5289，5＋8＝13，2＋9＝11，13－11＝2，2不能被11整除，故5289不能被11整除； 5588，5＋8＝13，5＋8＝13，13－13＝0，0能被11整除，故5588能被11整除； 答：其中能被11整除的有3124，5588。 点睛：牢记能被11整除的数的特征。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$