（趣味奥数）第十四讲 有趣的数字题-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

有趣的数字题 数字城堡的奇妙冒险 在一片充满奇幻色彩的森林边缘，矗立着一座神秘的数字城堡。传说城堡里藏着能让智慧升级的神奇宝物，这消息传到了聪明机灵的小猴子皮皮、憨厚老实的小熊笨笨、细心聪慧的小浣熊巧巧和活泼好动的小松鼠跳跳耳中。他们怀揣着对知识和宝藏的向往，相约一同前往数字城堡探险。 历经波折，他们终于来到城堡前。城堡大门紧闭，门上刻满了密密麻麻的数字。在大门上方，有一块散发着微光的石板，上面写着：“欲入城堡，解开数字谜题。观察以下数字序列：3、6、10、15、21，找出规律并说出第 10 个数字是多少。” 小猴子皮皮挠了挠脑袋，率先发言：“我感觉这些数字之间的差值好像在逐渐变大。” 小浣熊巧巧仔细观察后，点头说道：“没错，6 - 3 = 3，10 - 6 = 4，15 - 10 = 5，21 - 15 = 6，相邻两个数字的差值依次是 3、4、5、6 。” 小熊笨笨皱着眉头思考片刻，说：“那我们可以试着依次往后推，下一个数字比 21 大 7，也就是 21 + 7 = 28；再下一个比 28 大 8，是 28 + 8 = 36 。” 小松鼠跳跳兴奋地跳起来：“我知道啦，这样一直推下去就能找到第 10 个数字！” 于是，大家围坐在一起，开始认真计算。小浣熊巧巧一边记录一边计算：第 6 个数字是 36 + 9 = 45；第 7 个数字是 45 + 10 = 55；第 8 个数字是 55 + 11 = 66；第 9 个数字是 66 + 12 = 78；第 10 个数字是 78 + 13 = 91。 算出来后，小猴子皮皮迫不及待地将数字 91 输入到大门的机关上。瞬间，城堡大门缓缓打开，里面光芒四射。他们走进城堡，发现了许多神奇的书籍，上面记载着各种有趣的数学知识和奇妙的解题方法。 带着满满的收获，小动物们离开了数字城堡。这次冒险让他们明白，数学充满了奇妙的规律，只要善于观察、认真思考，就能解开一道道难题，收获知识的宝藏。他们满心期待着下一次在数学世界里的奇妙冒险。 数字规律类： 数列规律：需要观察数列中数字的变化规律，如等差数列（相邻两项的差相等）、等比数列（相邻两项的比值相等）等。例如，数列 1，3，5，7，9…… 是一个公差为 2 的等差数列；数列 2，4，8，16，32…… 是一个公比为 2 的等比数列。 数阵规律：在数阵中，数字按照一定的规律排列。可能是每行、每列或者对角线上的数字存在特定关系。比如，在一个三阶幻方中，每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。 数字谜题类： 竖式数字谜：通过给出的竖式运算，根据数字的运算规则和已知条件，推理出未知数字。例如：在一个加法竖式中，已知部分数字，通过个位相加、十位相加等的进位情况，逐步推出其他未知数字。 横式数字谜：在横式算式中，用字母、汉字或其他符号代替数字，要求根据算式的运算关系和条件，求出这些符号所代表的数字。比如：已知，，求和的值。 数字组合类： 组成数字问题：给定几个数字，按照一定要求组成不同的数。例如，用 1、2、3、4 可以组成多少个不同的四位数；或者组成的数满足特定条件，如组成最大或最小的数、能被某数整除的数等。 数字排列组合：涉及到数字的排列顺序和组合方式。比如，从个不同数字中选取个数字进行排列或组合，计算有多少种不同的排法或组合方法。虽然五年级可能不涉及复杂的排列组合公式，但会有一些简单的实际问题，如个人站成一排拍照，有多少种不同的站法。 数字特征类： 奇偶性特征：奇数和偶数的性质在数字题中经常应用。如判断一个算式结果的奇偶性，奇数个奇数相加为奇数，偶数个奇数相加为偶数等；还有利用奇偶性来解决一些逻辑推理问题，比如开灯问题，初始状态灯是关闭的，拉奇数次灯亮，拉偶数次灯灭。 整除特征：了解一些数的整除特征，如能被 2、3、5 整除的数的特征。能被 2 整除的数个位是偶数；能被 3 整除的数各位数字之和能被 3 整除；能被 5 整除的数个位是 0 或 5。利用这些特征可以判断一个数能否被另一个数整除，或者根据整除要求来确定数字中的未知部分。 1： 一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，…，2007，2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜，问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由。 【思路分析】 若裁判擦去的是奇数，则小明一定获胜；若裁判擦去的是偶数，则小聪一定获胜。 自然数2，3，4，……，2007，2008中，共有奇数1003个，偶数1004个，他们获胜的关键是看裁判擦去的数。 ①如果裁判擦去的奇数，那么奇数剩下1002个，偶数1004个，这样不管小聪擦什么数，小明都擦去奇数，这样最后剩下的就是两个偶数，两个偶数不可能互质，所以小明一定获胜； ②如果裁判擦去的偶数，那么奇数1003个，偶数剩下1003个，将相连的奇数与偶数两两组成一组，这样不管小明擦什么数，小聪都擦去与它组合一组的数，这样最后剩下的就是一个奇数一个偶数，且这两个数一定是互质，这样小聪一定获胜。 1. 1．将12个小球分别标上自然数1，2，3，…，12，然后放在布袋中．甲乙丙三人各从袋中取出4个球．已知他们取出的球上标记的数的总和相等，甲取出的球中有两个球标着5和12，乙取出的球中有两个球标着6和8，丙取出的球中有一个球标着1．问甲乙丙三人取出的其余的球上标记的数分别是多少？ 2．有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、4、5、4、3、4、5、6、5、4、5、…这列数中前240个数的和是多少？ 3．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数，那么这串数字从1开始往右数第1999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 2： 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差．结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998．问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 【思路分析】 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的10倍是:10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222． 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得 a0=8，a2=1，a3=2． 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8． 2． 1．将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边； （2）从左到右两位一节组成若干个两位数； （3）划去这些两位数中的合数； （4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去； （5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串． 问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？ 2．从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积．应划去哪些数？ 3．有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面．再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面．反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？ 3： 一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小71055．问：原来卡片上写的五位数是多少？ 【思路分析】 在0～9这十个数字中，只有0、1、8、6、9这五个数字倒着看后仍然是一个有效的数字0、1、8、9、6，然后根据两数的差进行分析即可。 【标准答案】 在0～9这十个数字中，只有0、1、8、6、9这五个数字倒着看后仍然是一个有效的数字0、1、8、9、6。 这个五位数比原来的五位数小71055，得数个位是5，应是倒过来的数千位是9，原来的数十位是6，个位1－6，借十当1，原来十位数字剩下5，十位的数为5，因此，倒过来的十位数字是0，原来的十位数字是6； 那么原来的最高位数字就是“6”倒过来的数字9； 得数百位数字为0，那只有原数与倒过来的数字的百位数字为0、1或8。 因此这个数为90061、90861、90161。 3． 1．a、b、c是三个互不相同的自然数，且满足×＝×，求三位数。 2．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍．求原来的六位数． 3．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？ 4： 有一个四位数，它是由M个2的积与N个9的积相乘得到的，求这个四位数． 【思路分析】 答案：2592． 因为2M×9N的各位数有2，4，6，8四种可能，因为94 ＞3000，所以N=2．然后确定M的取值，解决问题． 解：2M×9N的各位数有2，4，6，8四种可能 又因为94 ＞3000 所以N=2 又因为2000÷81≈24 3000÷81≈37 所以在24与37之间的2M 只有32 所以M=5，N=2． 即2M9N=2592 答：这个四位数是2592． 4. 1．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这个四位数是多少？ 2．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？ 3．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？ 数字黑洞 黑洞数又称陷阱数,黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整数出发，反复迭代后结果必然落入一个点或若干点的情况叫数字黑洞。比如西绪福斯黑洞（123数字黑洞） 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的数字黑洞的值： 设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数， 例如：1234567890， 偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。 奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。 总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。 新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。 重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。 重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。 结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。 1： 一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，…，2007，2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜，问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由。 【思路分析】 若裁判擦去的是奇数，则小明一定获胜；若裁判擦去的是偶数，则小聪一定获胜。 自然数2，3，4，……，2007，2008中，共有奇数1003个，偶数1004个，他们获胜的关键是看裁判擦去的数。 ①如果裁判擦去的奇数，那么奇数剩下1002个，偶数1004个，这样不管小聪擦什么数，小明都擦去奇数，这样最后剩下的就是两个偶数，两个偶数不可能互质，所以小明一定获胜； ②如果裁判擦去的偶数，那么奇数1003个，偶数剩下1003个，将相连的奇数与偶数两两组成一组，这样不管小明擦什么数，小聪都擦去与它组合一组的数，这样最后剩下的就是一个奇数一个偶数，且这两个数一定是互质，这样小聪一定获胜。 1. 1．将12个小球分别标上自然数1，2，3，…，12，然后放在布袋中．甲乙丙三人各从袋中取出4个球．已知他们取出的球上标记的数的总和相等，甲取出的球中有两个球标着5和12，乙取出的球中有两个球标着6和8，丙取出的球中有一个球标着1．问甲乙丙三人取出的其余的球上标记的数分别是多少？ 答案：甲：2和7   乙：3和9   丙：4、10 和11 分析：从甲开始，每人拿的和都是26.5和12和为17，那么只有1种：2、5、7、12． 再来看乙，和为6+8=14，那么出现的只有1种，就是6、8、3、9．丙就是：1、4、10、11． 详解：（1+12）×12÷2=78，78÷3=26，即他们每人取出的四个球的和为26． 从甲开始，5和12和为17，那么只有1种：2、5、7、12． 再来看乙，和为6+8=14，那么出现的只有1种，就是6、8、3、9．丙就是：1、4、10、11． 答：甲乙丙三人取出的其余的球上标记的数分别是2和7；3和9； 4、10 和11． 2．有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、4、5、4、3、4、5、6、5、4、5、…这列数中前240个数的和是多少？ 答案：6072   分析：5个数一组，第二组比第一组每个数多1，共多5；第三组比第二组每个数多1，一共多5，第一组和是9，也就是说，前240个数是48组，和是9、 14、19…等差数列的和，这个等差数列的第48个数是9+47×5=244；数列和=（9+244）×48÷2=6072． 详解：把这列数每5个数一组，分为48组．每一组都比前一组的和多5．又第一组和是9． 这个等差数列的第48个数是9+47×5=244． 数列和=（9+244）×48÷2=6072． 答：这列数中前240个数的和是6072． 3．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数，那么这串数字从1开始往右数第1999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 答案：6    11995 分析：首先根据8×9=72，可得1989后面的第一个数字是2；9×2=18，可得1989后面的第二个数字是8；…，所以这串数字是 19892868842868842…，观察，可得这串数字从第六位开始循环，循环数字是868842，据此用1999减去5，再除以6，根据余数的情况 判断出这串数字从1开始往右数第1999个数字是几；最后把各个数位上的数字求和，求出这1999个数字的和是多少即可． 详解：根据8×9=72，可得1989后面的第一个数字是2； 根据9×2=18，可得1989后面的第二个数字是8； ……， 所以这串数字是19892868842868842…， 所以这串数字从第六位开始循环，循环数字是868842； 因为（1999﹣5）÷6=1994÷6=332…2 所以这串数字从1开始往右数第1999个数字是6， 这1999个数字的和是：（1+9+8+9+2）+（8+6+8+8+4+2）×332+（8+6）=29+11952+14=11995 答：这串数字从1开始往右数第1999个数字是6，这1999个数字的和是11995． 2： 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差．结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998．问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 【思路分析】 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的10倍是:10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222． 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得 a0=8，a2=1，a3=2． 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8． 2． 1．将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边； （2）从左到右两位一节组成若干个两位数； （3）划去这些两位数中的合数； （4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去； （5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串． 问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？ 答案：3117 详解：第1次操作得数字串711131131737； 第2次操作得数字串11133173； 第3次操作得数字串111731； 第4次操作得数字串1173； 第5次操作得数字串1731； 第6次操作得数字串7311； 第7次操作得数字串3117； 第8次操作得数字串1173． 不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117． 2．从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积．应划去哪些数？ 答案：可划去2，3，…，30，31这30个数 详解：解法一：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999． 解法二：可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数． （2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，（30，33，30×33），（31，32，31×32）． 上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为 31×32=992．如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件．所以，30是最少的个数． 3．有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面．再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面．反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？ 答案：第72张 详解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律．列表如下： 卡片总数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 剩下第几张 1 2 2 4 2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 14 16 2 … 设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知： （1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张； （2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张． 取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张． 3： 一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小71055．问：原来卡片上写的五位数是多少？ 【思路分析】 在0～9这十个数字中，只有0、1、8、6、9这五个数字倒着看后仍然是一个有效的数字0、1、8、9、6，然后根据两数的差进行分析即可。 【标准答案】 在0～9这十个数字中，只有0、1、8、6、9这五个数字倒着看后仍然是一个有效的数字0、1、8、9、6。 这个五位数比原来的五位数小71055，得数个位是5，应是倒过来的数千位是9，原来的数十位是6，个位1－6，借十当1，原来十位数字剩下5，十位的数为5，因此，倒过来的十位数字是0，原来的十位数字是6； 那么原来的最高位数字就是“6”倒过来的数字9； 得数百位数字为0，那只有原数与倒过来的数字的百位数字为0、1或8。 因此这个数为90061、90861、90161。 3． 1．a、b、c是三个互不相同的自然数，且满足×＝×，求三位数。 答案：495 分析：根据十进制的规律，＝100a＋10b＋c，＝100b＋10c＋a，＝700＋10b＋c，＝100c＋10b＋a，然后利用满足×＝×，展开，找到等量关系，凑数，即可得解。 详解：（100a＋10b＋c）×（100b＋10c＋a）＝（700＋10b＋c）×（100c＋10b＋a） 左侧＝10000ab＋1000ac＋100a2＋1000b2＋100bc＋10ab＋100bc＋10c2＋ac ＝10010ab＋1001ac＋100a2＋1000b2＋200bc＋10c2 右侧＝70000c＋7000b＋700a＋1000bc＋100b2＋10ab＋100c2＋10bc＋ac ＝70000c＋7000b＋700a＋1010bc＋100b2＋10ab＋100c2＋ac 左右相等，左侧﹣右侧＝0，分析得出答案：a＝4，b＝9，c＝5； 答：这个三位数是495. 点睛：此题考查了横式数字谜，应结合题意，进行试填，找出符合题意的即可。 2．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍．求原来的六位数． 答案：857142 详解：解：设原来的六位数的前5个数为X， 则原数为:X×10+2=10X+2 新数为:2×100000+X=200000+X 可得方程：10X+2=(200000+X)×3 10X+2=600000+3X 7X=599998 X=85714 则原数=10X+2=10×85714+2=857142 答:原来的六位数为857142． 3．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？ 答案：675 分析：这题是数字问题，根据“新数比原数小108”可以列出等量关系式：“原数＝新数＋108”，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x，则原三位数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5×100＋x）． 详解：解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x． 10x＋5＝5×100＋x＋108 10x－x＝500＋108－5 9x＝603 x＝67 10×67＋5＝675 答：原三位数是675． 4： 有一个四位数，它是由M个2的积与N个9的积相乘得到的，求这个四位数． 【思路分析】 答案：2592． 因为2M×9N的各位数有2，4，6，8四种可能，因为94 ＞3000，所以N=2．然后确定M的取值，解决问题． 解：2M×9N的各位数有2，4，6，8四种可能 又因为94 ＞3000 所以N=2 又因为2000÷81≈24 3000÷81≈37 所以在24与37之间的2M 只有32 所以M=5，N=2． 即2M9N=2592 答：这个四位数是2592． 4. 1．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这个四位数是多少？ 答案：4624． 详解：试题分析：根据题意，可得一个偶数的平方是一个四位偶数，所以这个偶数只能是两位数；（1）42、44、46、48这些数中，由于40×40=1600，1又是奇数，所以不符合题意；（2）62、64、66、68这些数中，62、64由于不能进位至4开头的4位数，所以也不符合题意，只有66、68可能满足条件；（3）82、84、86、88这些数中84、86、88都是以7开头的4位数，不符合题意，只有82可能满足条件；最后分别求出66、68、82的平方，判断出哪一个符合条件即可． 解：根据题意，可得一个偶数的平方是一个四位偶数， 所以这个偶数只能是两位数； （1）42、44、46、48这些数中，由于40×40=1600，1又是奇数， 所以它们都不符合题意； （2）62、64、66、68这些数中， 62、64由于不能进位至4开头的4位数， 所以也不符合题意，只有66、68可能满足条件； （3）82、84、86、88这些数中84、86、88都是以7开头的4位数， 所以它们不符合题意，只有82可能满足条件； 因为662=4356，3、5都是奇数，不符合题意； 因为682=4624，符合题意； 因为822=6724，7是奇数，不符合题意． 综上，可得这个四位数是4624． 答：这个四位数是4624． 点评：此题主要考查了完全平方数性质的应用，解答此题的关键是：首先根据一个偶数的平方是一个四位偶数，判断出这个偶数只能是一个两位数，然后找出以4、6、8开头的两位偶数中哪个满足条件即可． 2．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？ 答案：18岁. 详解：试题分析：本题先通过缩小范围然后再试验．首先一个数的立方是四位数，四次方是六位数，得出年龄在18～21之间，然后再去掉20、21，因为它的个位数字分别是“0”，“1”；然后再试一试，可得答案为18． 解：先用估值的方法大概确定一下维纳的年龄范围．根据174=83521，184=104976，194=130321，根据题意可得：他的年龄大于或等于18岁； 再看，183=5832，193=6859，213=9261，223=10648，说明维纳的年龄小于22岁． 根据这两个范围可知可能是18、19、20、21的一个数． 又因为20、21无论是三次方还是四次方，它们的尾数分别都是：0、1，与“刚好包含数字0至9各一次”不符，所以不用考虑了． 只剩下18、19这两个数了．一个一个试， 18×18×18=5832，18×18×18×18=104976； 19×19×19=6859，19×19×19×19=130321； 符合要求是18． 答：他是18岁毕业的． 点评：本题需要把实验法用到整个解题过程中，不断的调整，排除不符合题意的情况． 3．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？ 答案：1999个，998899． 详解：试题分析：本题根据“回文数”数的特点及数位知数和数位知识进行分析即可． 按一位数，两位数，三位数，四位数，五位数，六位数， 如果不考虑0，第1999个，是第一个七位回文数，为：1000001， 则第1997个是：998899． 解：一位数，有10个（0﹣﹣﹣9） 两位数，有9个（11，22，33…99） 三位数，9×10=90个，（101，202，…，909，111，…，999） 四位数，9×10=90个（1001，…，9999） 五位数，9×10×10=900个（10001，…9999，11011，…99099，…99999） 六位数，9×10×10=900个（100001，999999） 共有：10+9+90×2+900×2=1999个， 如果不考虑0，第1999个，是第一个七位回文数，为：1000001， 则第1997个是：998899． 点评：完成此类题目要注意“回文数”的特点，然后根据数位知识进行分析完成． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$