（趣味奥数）第十三讲 奇数和偶数及数的奇偶性-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

奇数和偶数及数的奇偶性 森林水果派对 在美丽的大森林里，住着许多可爱的小动物。为了庆祝丰收，聪明的猴子灵灵决定举办一场盛大的水果派对。它邀请了森林里所有的小伙伴，大家都满心欢喜地期待着这场盛会。 派对当天，阳光明媚，森林里热闹非凡。小动物们纷纷带着自己收集的水果来到聚会地点。小兔子蹦蹦带来了 10 根胡萝卜，小松鼠跳跳抱着 8 颗松果，小猴子灵灵则准备了 15 根香蕉。 正当大家准备开始享用水果时，灵灵突然灵机一动，想要考考大家。它说：“小伙伴们，我们来玩个有趣的游戏吧！我们把带来的水果按照数量分成两类。像蹦蹦的 10 根胡萝卜、跳跳的 8 颗松果这样，能被 2 整除，也就是分成 2 份后没有剩余的，我们把它们叫做偶数。而像我这 15 根香蕉，分成 2 份后会有剩余的，就叫做奇数。大家都明白了吗？” 小动物们纷纷点头。这时，小狐狸聪聪问道：“那奇数和偶数有什么特别的地方吗？” 灵灵笑着说：“这就有趣啦！我们来做个实验。如果两个偶数相加，比如 2 + 4，结果是 6，还是偶数。同样，两个奇数相加，像 3 + 5 得 8，也是偶数。但是，奇数和偶数相加，比如 3 + 4 得 7，结果就是奇数。这就是数的奇偶性规律哦。” 为了让大家更好地理解，灵灵提议进行一场分组比赛。它把小动物们分成两组，一组负责用偶数数量的水果进行组合相加，另一组用奇数数量的水果。 第一组的小兔子蹦蹦和小松鼠跳跳，用 2 根胡萝卜和 4 颗松果相加，得到 6，验证了偶数 + 偶数 = 偶数。第二组的小猴子灵灵和小刺猬刺刺，用 3 根香蕉和 5 颗坚果相加，得到 8，证明了奇数 + 奇数 = 偶数。最后，灵灵又让蹦蹦的胡萝卜和自己的香蕉相加，10 + 15 = 25，是奇数，再次验证了奇数 + 偶数 = 奇数。 小动物们玩得不亦乐乎，不仅体会到了数学的乐趣，还深刻理解了奇数、偶数及数的奇偶性。灵灵总结道：“在我们的生活中，奇数和偶数无处不在。比如，我们住的房子门牌号，街道的编号，都和奇数偶数有关。大家要记住这些有趣的规律哦！” 水果派对在欢声笑语中结束了，小动物们带着满满的欢乐和新知识，期待着下一次的聚会。它们明白了，数学不仅有趣，还能帮助我们更好地理解周围的世界。 奇数和偶数的概念： 整数可以分成奇数和偶数两大类。能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k + 1（k 为整数）表示。特别地，0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。 偶数的个位上一定是 0、2、4、6、8；奇数的个位上是 1、3、5、7、9。 数的奇偶性：一个整数是偶数还是奇数，是这个整数自身的一种性质，这种性质叫做奇偶性。 奇数和偶数的运算性质： 性质 1：偶数 ± 偶数 = 偶数，奇数 ± 奇数 = 偶数。 性质 2：偶数 ± 奇数 = 奇数。 性质 3：偶数个奇数相加得偶数。 性质 4：奇数个奇数相加得奇数。 性质 5：偶数 × 奇数 = 偶数，奇数 × 奇数 = 奇数，偶数 × 偶数 = 偶数。 性质 6：两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性。 1： 元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【思路分析】 根据偶数－偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数解答即可。 【标准答案】 送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。 因为是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次。那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。 送贺年卡的人可以分为两种： 一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。 另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数＝所有人送出的贺年卡总数－所有送出了偶数张贺年卡的人，送出的贺年卡总数＝偶数－偶数＝偶数。 他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。 1. 1．有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？ 2．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？ 3．沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个。问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由。 2： 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13．已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？ 【思路分析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，故有（1）油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=12（千克）．（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不合要求，删去． 【标准答案】 每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）． 21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶． （1）而2是偶质数，故空瓶重量和为2，油重量和为19．每个空瓶0.5，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣0.5×2=12（千克）． （2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不合要求，删去． 答：最重的两瓶内有12千克油． 2． 1．某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题．评分标准是：答对一道给3分，没答的题每题给1分，答错一道扣1分．问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？ 2．有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m－1）只杯子．经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？ 3： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…＋99＋100＋99＋…＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的和是奇数还是偶数？为什么？ 【思路分析】 从1连续累加到n，再从n递减到1，这样的“山顶和”数列的结果是中间数的平方，求出结果直接判断即可。 【标准答案】 所以结果是偶数。 3． 1．（20＋21＋22＋……＋88）－（11＋12＋13＋……＋33）计算的得数是奇数还是偶数？ 2．桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下．如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？ 3．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99．问：原来写的三个整数能否是1，3，5？ 4．学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100．”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？ 4： 在一本400页的书上，页码依次编号为1~400，能不能从中取出25张纸，并把上面的50个编号加起来，使和为2008？ 【思路分析】 25张纸，上面一共有25个奇数页码，25个偶数页码，25个奇数与25个偶数相加，和一定是奇数。 【标准答案】 一张纸上有1个奇数，1个偶数，25张纸上有25个奇数，25个偶数； 奇数个奇数相加减，结果为奇数； 2008是偶数，所以不能。 答：不能。 4. 1．在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“无论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？ 2．乐乐买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。乐乐从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问：乐乐所加得的和能否为2000？ 3．13×115×217×19×21×27×128×11的积是奇数还是偶数？ 哥德巴赫猜想 哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数 之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。1966年陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”。 1： 元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【思路分析】 根据偶数－偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数解答即可。 【标准答案】 送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。 因为是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次。那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。 送贺年卡的人可以分为两种： 一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。 另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数＝所有人送出的贺年卡总数－所有送出了偶数张贺年卡的人，送出的贺年卡总数＝偶数－偶数＝偶数。 他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。 1. 1．有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？ 答案：2；1黑1白 详解：首先分析在操作条件下会出现的各种可能情况： 通过上面分析可知，每操作一次棋子的总数都要减少1枚，所以在不断操作下去的过程中，总棋子数将越来越少．摸了1999次棋子后，大盒内的棋子要减少1999枚，此时大盒内还剩：(枚)， 接下来要分析这2枚棋子会是什么颜色呢？ 注意到每操作一次黑子数不是增加一枚就是减少一枚，而相邻两个自然数的奇偶性不同．所以，开始时有1000枚黑子，是一个偶数，那么，第一次操作后黑子数目将变为奇数，接下来黑子数目又将变为偶数这样一来，黑子数目的奇偶性将呈现下列规律： 显然，根据上述规律，第1999次操作后黑子数将有奇数枚．而此时大盒中仅剩2枚棋子，所以必然是1枚白子1枚黑子． 2．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？ 答案：不能 分析：据题意可知：共八个房间，有七个房间开着灯，为单数，一个房间关着灯为单数，每次同时拨动四个房间的开关，偶数×偶数＝偶数，无论怎么循环关多少次都不会变为奇数，即不能把全部房间的灯关上。 详解：因为共八个房间，有七个房间开着灯，为单数，一个房间关着灯也为单数。每次同时拨动四个房间的开关，根据数的奇偶性可知：偶数×偶数＝偶数；所以，无论怎么循环关多少次都不会变为奇数，即不能把全部房间的灯关上。 答：不能，因为偶数×偶数＝偶数，无论怎么循环关多少次都不会变为奇数，即不能把全部房间的灯关上。 点睛：本题中被8整除的数都不可以（除了1），同时拨动2或4个开关都不能把全部的关上。 3．沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个。问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由。 答案：不能 分析：因为相邻的两个植物果实数目差1个，相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，奇数×4＝偶数，所以总和一定为偶数，不能为225。 详解：答：不能。8丛浆果的数量分布是4个偶数4个奇数，和应该是偶数，不能为225。 点睛：偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数。 2： 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13．已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？ 【思路分析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，故有（1）油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=12（千克）．（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不合要求，删去． 【标准答案】 每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）． 21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶． （1）而2是偶质数，故空瓶重量和为2，油重量和为19．每个空瓶0.5，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣0.5×2=12（千克）． （2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不合要求，删去． 答：最重的两瓶内有12千克油． 2． 1．某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题．评分标准是：答对一道给3分，没答的题每题给1分，答错一道扣1分．问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？ 答案：一定是偶数，因为每个人20道题得分都分别是奇数，20个奇数的和一定是偶数．每个人的得分都是偶数，所以无论有多少参赛学生，参赛学生的得分总和一定是偶数． 2．有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m－1）只杯子．经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？ 答案：m为奇数时不能， m为偶数时，翻转m次能使全部朝上 分析：当m是奇数时，（m－l）是偶数．如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变．一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m－1）即偶数只杯子．无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上． 当m是偶数时，（m－1）是奇数．为了直观，我们先从m=4的情形入手观察，在表1中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记．翻转情况如表1． 表1 初始状态 第一次翻转 * 第二次翻转 * 第三次翻转 * 第四次翻转 * 由表1看出，只要翻转4次，并且依次保持第1、2、3、4只杯子不动，就可达到要求．一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次．对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态．要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次． 详解：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只．当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子都不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态． 答：经过若干次翻转，能使杯口全部朝上． 3： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…＋99＋100＋99＋…＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的和是奇数还是偶数？为什么？ 【思路分析】 从1连续累加到n，再从n递减到1，这样的“山顶和”数列的结果是中间数的平方，求出结果直接判断即可。 【标准答案】 所以结果是偶数。 3． 1．（20＋21＋22＋……＋88）－（11＋12＋13＋……＋33）计算的得数是奇数还是偶数？ 答案：偶数 分析：分别确定前一个括号和后一个括号中奇数的个数，最后根据奇数的个数判断结果的奇偶性。 详解：（个） ，34个奇数，35个偶数； （个） ，12个奇数，11个偶数； （个） 算式中总共46个奇数，结果为偶数； 答：得数是偶数。 点睛：本题考查的是奇偶性在加减法中的应用，这里也可以按照等差数列求和，然后计算出结果，再做出判断。 2．桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下．如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？ 答案：3次 详解： 初始状态 ∪ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ 第一次翻转 ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ 第二次翻转 ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ 第三次翻转 ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ 3．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99．问：原来写的三个整数能否是1，3，5？ 答案：不能 详解：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数． 4．学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100．”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？ 答案：偶数 详解：号码总和等于100加上小明号码的2倍． 4： 在一本400页的书上，页码依次编号为1~400，能不能从中取出25张纸，并把上面的50个编号加起来，使和为2008？ 【思路分析】 25张纸，上面一共有25个奇数页码，25个偶数页码，25个奇数与25个偶数相加，和一定是奇数。 【标准答案】 一张纸上有1个奇数，1个偶数，25张纸上有25个奇数，25个偶数； 奇数个奇数相加减，结果为奇数； 2008是偶数，所以不能。 答：不能。 4. 1．在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“无论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？ 答案：见详解 分析：握手是两个人的行为，每握手一次，总次数增加2，最终总次数一定是偶数，而只有偶数个奇数相加减，结果才是偶数。 详解：因为握手总次数一定是偶数；而只有偶数个奇数相加减，结果才是偶数。 点睛：本题考查的是奇偶性的实际应用，偶数个奇数相加减，结果是偶数，奇数个奇数相加减，结果是奇数。 2．乐乐买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。乐乐从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问：乐乐所加得的和能否为2000？ 答案：不能 分析：撕下的25页上面有25个奇数，25个偶数，这50个数相加，25个偶数的和一定是偶数，25个奇数的和一定是奇数，奇数加偶数得到奇数，显然不可能是2000。 详解：25个奇数和25个偶数相加； 根据奇数个奇数相加减，结果为奇数这一特性，和不可能是2000； 答：乐乐所加得的和不能是2000。 点睛：本题考查的是奇偶性在加减法中的应用，判断结果的奇偶性，关键是判断加数中奇数的个数。 3．13×115×217×19×21×27×128×11的积是奇数还是偶数？ 答案：偶数 分析：算式中有128这个偶数，结果就一定是偶数。 详解：128是偶数，所以的结果是偶数。 点睛：连乘运算中，只有有一个偶数，结果肯定是偶数，除非全部是奇数，结果才是奇数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$