（趣味奥数）第十六讲 长方体和正方体（二）-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

长方体和正方体（二） 蚂蚁家族的搬家大作战 在一片郁郁葱葱的草丛里，住着庞大的蚂蚁家族。随着家族成员日益增多，原本的巢穴显得拥挤不堪。蚂蚁家族的首领决定，举族搬迁到一个更宽敞的新家。 蚂蚁家族派出了侦查小队，在附近寻觅合适的住所。经过一番努力，侦查小队发现了两个废弃的昆虫洞穴，一个形状近似长方体，另一个则像正方体。这两个洞穴看起来都很适合改造为新家，可蚂蚁们犯了难，究竟该选哪一个呢？ 这时，聪明的蚂蚁学者阿智站了出来。它拿着一根小树枝，在地上比划着说：“伙伴们，我们得算算哪个洞穴能容纳更多家族成员，也就是比较它们的体积大小。” 阿智转身面向长方体洞穴，说道：“长方体的体积等于长 × 宽 × 高。我刚才测量过，这个长方体洞穴长 10 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米，那它的体积就是 10×8×6 = 480 立方厘米。” 接着，阿智又走到正方体洞穴旁，“正方体的体积计算起来也不难，它的棱长都相等，这个正方体洞穴棱长是 8 厘米，所以它的体积是 8×8×8 = 512 立方厘米。” 阿智总结道：“对比之下，正方体洞穴的体积更大，能容纳更多家族成员。” 蚂蚁们听后，纷纷点头表示赞同，决定选择正方体洞穴作为新家。但问题接踵而至，洞穴内部需要重新规划布局，以放置家族储存的食物和供成员休息。蚂蚁工匠们打算用泥土制作一些长方体和正方体的储物格。 蚂蚁工匠阿强负责制作长方体储物格，用来存放细长的草籽。他制作的长方体储物格长 5 厘米，宽 3 厘米，高 2 厘米。阿智在一旁提醒：“阿强，你得算算这个储物格的表面积，这样才能知道需要多少泥土来制作。长方体的表面积是（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）×2 ，像你这个储物格，表面积就是（5×3 + 5×2 + 3×2）×2 = 62 平方厘米。” 蚂蚁工匠阿美负责制作正方体储物格，存放圆润的小颗粒食物。她制作的正方体储物格棱长为 4 厘米。阿智告诉她：“阿美，正方体表面积是棱长 × 棱长 ×6，你这个正方体储物格的表面积就是 4×4×6 = 96 平方厘米。” 在阿智的指导下，蚂蚁们顺利制作出了各种储物格，合理地布置好了新家。蚂蚁家族欢欢喜喜地搬进了宽敞的正方体洞穴新家，开启了新的生活。这次搬家让蚂蚁家族深刻认识到长方体和正方体的数学知识在实际生活中的重要性，它们也更加珍惜用智慧打造的新家。 长方体和正方体的认识: 长方体：由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。它有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的长、宽、高各有4条。 正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，也叫做立方体。它有6个面，每个面都是正方形且完全相同；有12条棱，所有棱的长度都相等；有8个顶点。正方体是特殊的长方体，即长、宽、高都相等的长方体。 长方体和正方体的棱长总和: 长方体：棱长总和=(长+宽+高)×4,用字母表示为L=(a+b+h)×4。由此还可推导出：长=棱长总和÷4-宽-高，即a=L÷4-b-h;宽=棱长总和÷4-长-高；高=棱长总和÷4-长-宽。正方体：棱长总和=棱长×12,用字母表示为L=12a,则棱长=棱长总和÷12,即a=L÷12。 长方体和正方体的表面积: 定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 计算公式：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,用字母表示为 S=(ab+ah+bh)×2;正方体的表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a²。此外，无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2;无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽× 高)×2。长方体和正方体的体积: 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 计算公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh;正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³。长方体(或正方体)的体积还可以用统一公式表示为：体积=底面积×高，即V=Sh。 体积单位及进率: 常用体积单位：立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方米(m³)。 进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000000立方厘米。 容积和容积单位③④: 容积单位与体积单位的关系：1升(L)=1立方分米，1毫升(ml)=1立方厘米，1升=1000毫升。 容积的计算方法：与体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。 1： 一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，则它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，则它的体积增加了99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，则它的体积增加352立方厘米．求原来长方体的表面积． 【思路分析】 首先根据题意可知，如果长减小2cm，宽和高都不变，它的体积减小48cm3可以求出：宽×高＝48÷2＝24（平方厘米）；如果宽增加3cm，长和高都不变，它的体积增加99cm3可以求出长×高＝99÷3＝33（平方厘米）；如果高增加4cm，长和宽都不变，它的体积增加352cm3可以求出长×宽＝352÷4＝88（平方厘米）；然后根据长方体的表面积公式进行计算即可解决问题。 【标准答案】 解：由分析可知： 宽×高＝48÷2＝24（cm2） 长×高＝99÷3＝33（cm2） 长×宽＝352÷4＝88（cm2） 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ＝（88＋33＋24）×2 ＝145×2 ＝290（cm2） 答：原长方体的表面积是290平方厘米。 1. 1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积． 2．如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 3．如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 2： 如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 【思路分析】 求体积： 开了的孔，挖去，开了的孔， 挖去；开了的孔， 挖去， 剩余部分的体积是：． (另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图： 得到总体积为：． 求表面积： 表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为、 、，所以总的表面积为 ． (另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向： 上下方向： 左右方向： 总表面积为． 总结：“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 2． 1．一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 2．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 3．在内侧棱长为20厘米的正方体容器里装满水，将容器如图倾斜放置，流出的水正好装满一个内侧长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器。求图中线段的长度。 3： 如图8所示，一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去一个横截面是边长为3厘米的正方形的正方体（都和对面打通）．求这个立体图形的体积． 【思路分析】 挖去的前后、左右、上下三个长方体在正方体内部的中间位置相交，形成一个空的小正方体．本题的一般解法是用大正方体的体积减去三个长方体的体积．必须注意：三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算． 【标准答案】 此立体图形的体积等于正方体的体积减去前后、左右、上下六长方体的体积． 正方体的体积为10×10×10=1000（立方厘米） 前后长方体的体积为3×3×10=90（立方厘米） 同理，左右长方体和上下长方体的体积也是90立方厘米．正方体内部的小正方体的体积为3×3×3=27（立方厘米） 因此，此立体图形的体积为1000-90×3+27×2=1000-270+54=784（立方厘米） 3． 1．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 2．如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为的长方体（为整数），余下部分的体积为120，求和． 3．有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 《几何原本》 欧几里得与《几何原本》 古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著──《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系──几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之 作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。它既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。 1： 一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，则它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，则它的体积增加了99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，则它的体积增加352立方厘米．求原来长方体的表面积． 【思路分析】 首先根据题意可知，如果长减小2cm，宽和高都不变，它的体积减小48cm3可以求出：宽×高＝48÷2＝24（平方厘米）；如果宽增加3cm，长和高都不变，它的体积增加99cm3可以求出长×高＝99÷3＝33（平方厘米）；如果高增加4cm，长和宽都不变，它的体积增加352cm3可以求出长×宽＝352÷4＝88（平方厘米）；然后根据长方体的表面积公式进行计算即可解决问题。 【标准答案】 解：由分析可知： 宽×高＝48÷2＝24（cm2） 长×高＝99÷3＝33（cm2） 长×宽＝352÷4＝88（cm2） 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ＝（88＋33＋24）×2 ＝145×2 ＝290（cm2） 答：原长方体的表面积是290平方厘米。 1. 1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积． 答案：214 分析：我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现:小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面．这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分: 上下方向:大正方体的两个底面 侧面:小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面． 详解：解：上下方向: 5×5×2=50(平方分米) 侧面: 5×5×4=100(平方分米)       4×4×4=64(平方分米) 这个立体图形的表面积为: 50+100+64=214(平方分米)． 答:这个立体图形的表面积为214平方分米． 2．如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 答案：100平方米 分析： 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是平方米，从上面观察到的面积是平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是平方米。 详解：（12＋22＋42）×4＋42 ＝21×4＋42 ＝84＋16 ＝100（平方米） 答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。 3．如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 答案：3厘米 分析：大立方体的表面积是202062400平方厘米。在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面，表面积不变。在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面，表面积增加2个面。在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面，表面积增加4个面。所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（24542400）69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米。 详解：20×20×6＝2400（平方厘米） （2454－2400）÷6 ＝54÷6 ＝9（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 答：挖掉的小立方体的边长是3厘米。 2： 如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 【思路分析】 求体积： 开了的孔，挖去，开了的孔， 挖去；开了的孔， 挖去， 剩余部分的体积是：． (另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图： 得到总体积为：． 求表面积： 表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为、 、，所以总的表面积为 ． (另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向： 上下方向： 左右方向： 总表面积为． 总结：“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 2． 1．一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 答案：1107 详解：本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体. 因为，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米，第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求． 那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：（立方厘米）. 2．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？ 答案：25.6厘米 分析：根据“这时容器里的水半米深”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），注意容器的底面积＝容器的底面积－铁棍的底面积。进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度。 详解：半米＝50厘米 15×15×24÷（60×60－15×15） ＝5400÷（3600－125） ＝5400÷3375 ＝1.6（厘米） 24＋1.6＝25.6（厘米） 答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米。 3．在内侧棱长为20厘米的正方体容器里装满水，将容器如图倾斜放置，流出的水正好装满一个内侧长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器。求图中线段的长度。 答案：15厘米 分析：首先根据长方体的容积公式，求出长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器的容积，它的容积等于内侧棱长为20厘米的正方体流出水的体积，如图连接BC，使CD等于AB，用流出水的体积的2倍除以内侧棱长为20厘米的正方体容器底面积，可求出BE的长度，用20减BE的长度即为AB的长度。 详解：25×8×5＝1000（立方厘米） 1000×2÷（20×20） ＝2000÷400 ＝5（厘米） 20－5＝15（厘米） 答：图中线段的长15厘米。 3： 如图8所示，一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去一个横截面是边长为3厘米的正方形的正方体（都和对面打通）．求这个立体图形的体积． 【思路分析】 挖去的前后、左右、上下三个长方体在正方体内部的中间位置相交，形成一个空的小正方体．本题的一般解法是用大正方体的体积减去三个长方体的体积．必须注意：三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算． 【标准答案】 此立体图形的体积等于正方体的体积减去前后、左右、上下六长方体的体积． 正方体的体积为10×10×10=1000（立方厘米） 前后长方体的体积为3×3×10=90（立方厘米） 同理，左右长方体和上下长方体的体积也是90立方厘米．正方体内部的小正方体的体积为3×3×3=27（立方厘米） 因此，此立体图形的体积为1000-90×3+27×2=1000-270+54=784（立方厘米） 3． 1．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 答案：表面积785.12（平方厘米）,体积为668.64（立方厘米）． 分析：本题考点 不规则图形的表面积及体积．大正方形减去右边图形就是我们要求的体积．打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面． 这道题是人大附中分班考试题目． 详解：解：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8． 内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16． 总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）． 计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可． 挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π． 所求几何体体积为：10×10×10- （256+24π）=668.64（立方厘米）． 2．如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为的长方体（为整数），余下部分的体积为120，求和． 答案： 详解： 解得；，因为为整数，且， 所以． 3．有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 答案：三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$