（趣味奥数）第十九讲 长方体和正方体（四）-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

长方体和正方体（四） 魔法积木的奇幻之旅 在一个奇妙的小镇上，生活着活泼好动的小米、聪明伶俐的可可和沉稳细心的轩轩。有一天，他们在小镇的古老图书馆角落，发现了一个神秘的盒子。当他们小心翼翼地打开盒子，里面闪烁着光芒，原来是一堆散发着奇异光芒的魔法积木，有长方体形状的，也有正方体形状的。 就在他们好奇地打量这些积木时，一个温和的声音在图书馆里响起：“孩子们，这些魔法积木拥有神奇的力量，但需要你们正确掌握它们的奥秘才能发挥作用。” 孩子们惊讶地四处张望，却看不到任何人。这时，一块正方体魔法积木飘了起来，开始自我介绍：“我是正方体，我的六个面都是大小完全相同的正方形，而且我的十二条棱长度也都相等哦。” 接着，一块长方体积木也飘了起来，说道：“我是长方体，我有六个面，相对的面是完全一样的长方形，当然，有时候也会有两个相对的面是正方形。我的棱分为三组，每组四条棱的长度相等。” 孩子们听得入神，小米忍不住拿起一块正方体和一块长方体比较起来。可可则在一旁思考着说：“我发现正方体其实是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等的时候，就变成正方体啦。” 突然，一阵光芒闪过，孩子们被传送到了一个神秘的森林里。森林里的道路错综复杂，前方有一条湍急的河流拦住了去路。正当他们发愁时，小米发现河边有一个标记，上面写着：“用魔法积木搭建一座能承载你们重量的桥，桥的表面积至少为 50 平方分米。” 轩轩仔细观察着手中的长方体和正方体积木，开始计算起来。他拿起一块长 5 分米、宽 3 分米、高 2 分米的长方体积木，说道：“这个长方体的表面积是（5×3 + 5×2 + 3×2）×2 = 62 平方分米，符合要求。” 于是，孩子们用长方体的魔法积木搭建起了一座坚固的桥，顺利通过了河流。 继续前行，他们来到了一个黑暗的山洞前。山洞里传来一个声音：“想进入山洞，需要用魔法积木搭建一个体积为 64 立方分米的容器来装下这里的光明宝石。” 可可眼睛一亮，她拿起一块棱长为 4 分米的正方体魔法积木，说道：“正方体体积是棱长 × 棱长 × 棱长，这块积木的体积就是 4×4×4 = 64 立方分米，正好合适。” 孩子们用正方体积木搭建好容器，装入光明宝石，瞬间山洞被照亮，他们成功地走出了山洞。 经过一系列的冒险，孩子们带着魔法积木回到了小镇。他们不仅学会了长方体和正方体的各种知识，还明白了数学在解决生活难题中的巨大作用。魔法积木也因为孩子们的出色表现，将一部分神奇力量留在了小镇，让小镇变得更加美好。 长方体和正方体的认识: 长方体：由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。它有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的长、宽、高各有4条。 正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，也叫做立方体。它有6个面，每个面都是正方形且完全相同；有12条棱，所有棱的长度都相等；有8个顶点。正方体是特殊的长方体，即长、宽、高都相等的长方体。 长方体和正方体的棱长总和: 长方体：棱长总和=(长+宽+高)×4,用字母表示为L=(a+b+h)×4。由此还可推导出：长=棱长总和÷4-宽-高，即a=L÷4-b-h;宽=棱长总和÷4-长-高；高=棱长总和÷4-长-宽。正方体：棱长总和=棱长×12,用字母表示为L=12a,则棱长=棱长总和÷12,即a=L÷12。 长方体和正方体的表面积: 定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 计算公式：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,用字母表示为 S=(ab+ah+bh)×2;正方体的表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a²。此外，无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2;无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽× 高)×2。长方体和正方体的体积: 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 计算公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh;正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³。长方体(或正方体)的体积还可以用统一公式表示为：体积=底面积×高，即V=Sh。 体积单位及进率: 常用体积单位：立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方米(m³)。 进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000000立方厘米。 容积和容积单位③④: 容积单位与体积单位的关系：1升(L)=1立方分米，1毫升(ml)=1立方厘米，1升=1000毫升。 容积的计算方法：与体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。 1： 这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂是红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【思路分析】 先明确黄色与红色各有多少个面，每个面的面积各是多少，从而可以分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少。 【标准答案】 65－10＝55（厘米） 涂黄色油漆的面积： （40×40＋40×65＋40×55）×2 ＝（1600＋2600＋2200）×2 ＝6400×2 ＝12800（平方厘米） 红色油漆的面积： 40×40×4＋（65﹣40）×40＋40×10＋40×55 ＝6400＋1000＋400＋2200 ＝10000（平方厘米） 答：涂黄色油漆和红色油漆的面积分别是12800平方厘米和10000平方厘米。 点睛：解答此题的关键是，要弄清楚每个面的边长各是多少，进而求出每个面的面积。 1. 1．一个长方体，高截去4厘米，表面积减少了96平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积和体积是多少？ 2．小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 3．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 2： 《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米、老师要用纸把2本《新华字典》包起来，如图包装方法最省纸、需要包装纸多少平方厘米？ 【思路分析】 从图中可以看出，是把2本《新华字典》的2个最大面“10×13”重合在一起，组成一个长为10厘米、宽为13厘米、高为（3×2）厘米的大长方体； 求这种包装方法需要包装纸的面积，就是求这个大长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。 【标准答案】 3×2＝6（厘米） （10×13＋10×6＋13×6）×2 ＝（130＋60＋78）×2 ＝268×2 ＝536（平方厘米） 答：需要包装纸536平方厘米。 2． 1．如图这个积木是由2个一样的长方体合并而成的，它的前后两个面涂上黄色油漆，其它露出来的面涂上红色油漆，涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 2．如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 3．下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    3： 把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是180平方分米，原来每个正方体的表面积是多少平方分米？ 【思路分析】 把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积相对于两个正方体减少了2个面的面积，即有10个面组成。已知长方体表面积，可得出每个正方体面的面积，据此可得出每个正方体的表面积。 【标准答案】 把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，则减少了两个面的面积，即有10个面的面积。故： （平方分米）。 答：原来每个正方体的表面积是108平方分米。 3． 1．一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体后做成一种玩具，求这个玩具的表面积。 2．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 3．把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？ 4： 一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少？ 【思路分析】 把一个棱长是3米的正方体木块锯成体积相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。 【标准答案】 2×3＝6（个） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方米） 答：表面积增加54平方米。 4. 1．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 3．如图是一个棱长为10分米的打正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 长方体和正方体体积 对于长方体和正方体体积的计算， 在我国古代数学名著《九章算术》第五章商功中有这样的记载： 今有方堡壔方一丈六尺， 高一丈五尺。问积几何？ 答曰：三千八百四十尺。 术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。 注：（壔：拼音： dǎo ；意思：土堡） （丈：中国市制长度单位，等于十尺） 1： 这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂是红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【思路分析】 先明确黄色与红色各有多少个面，每个面的面积各是多少，从而可以分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少。 【标准答案】 65－10＝55（厘米） 涂黄色油漆的面积： （40×40＋40×65＋40×55）×2 ＝（1600＋2600＋2200）×2 ＝6400×2 ＝12800（平方厘米） 红色油漆的面积： 40×40×4＋（65﹣40）×40＋40×10＋40×55 ＝6400＋1000＋400＋2200 ＝10000（平方厘米） 答：涂黄色油漆和红色油漆的面积分别是12800平方厘米和10000平方厘米。 点睛：解答此题的关键是，要弄清楚每个面的边长各是多少，进而求出每个面的面积。 1. 1．一个长方体，高截去4厘米，表面积减少了96平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的表面积和体积是多少？ 答案：312平方厘米；360立方厘米 分析：根据题意，长方体的高截去4厘米后，表面积减少96平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是4厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以4，即可求出原来长方体的长、宽；用长方体的长或宽加上4厘米，即是原来长方体的高； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的表面积和体积。 详解：长方体的长、宽是： 96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 长方体的高是：6＋4＝10（厘米） 长方体的表面积是： （6×6＋6×10＋6×10）×2 ＝（36＋60＋60）×2 ＝156×2 ＝312（平方厘米） 长方体的体积是： 6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 答：原长方体的表面积312平方厘米，体积是360立方厘米。 点睛：本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 2．小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 答案：656平方厘米；28个 分析：纸板的面积等于原来长方形的纸板的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答；收纳盒的长为（30－4×2＝22）厘米，宽为（24－4×2＝16）厘米，高为4厘米，收纳盒的长和茶叶盒的高重合可以放（22÷3）个茶叶盒，收纳盒的宽和茶叶盒的宽重合可以放（16÷4）个茶叶盒，收纳盒的高和茶叶盒的长重合可以放（4÷4）个茶叶盒，最后相乘求出收纳盒放置茶叶盒的总数量。 详解：30×24－4×4×4 ＝720－16×4 ＝720－64 ＝656（平方厘米） （30－4×2）÷3 ＝（30－8）÷3 ＝22÷3 ＝7（个）……1（厘米） （24－4×2）÷4 ＝（24－8）÷4 ＝16÷4 ＝4（个） 4÷4＝1（个） 4×7×1＝28（个） 答：这个收纳盆所用纸板的面积是656平方厘米，收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 点睛：计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。 3．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 答案：320立方厘米 分析：根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先明确放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 详解：480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 答：小玻璃球的体积是320立方厘米。 点睛：解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入物体后水上升的体积即为所放物体的体积。 2： 《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米、老师要用纸把2本《新华字典》包起来，如图包装方法最省纸、需要包装纸多少平方厘米？ 【思路分析】 从图中可以看出，是把2本《新华字典》的2个最大面“10×13”重合在一起，组成一个长为10厘米、宽为13厘米、高为（3×2）厘米的大长方体； 求这种包装方法需要包装纸的面积，就是求这个大长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。 【标准答案】 3×2＝6（厘米） （10×13＋10×6＋13×6）×2 ＝（130＋60＋78）×2 ＝268×2 ＝536（平方厘米） 答：需要包装纸536平方厘米。 2． 1．如图这个积木是由2个一样的长方体合并而成的，它的前后两个面涂上黄色油漆，其它露出来的面涂上红色油漆，涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 答案：200平方厘米；175平方厘米 分析：涂黄色的面积＝4个宽为5厘米，长为10厘米的长方形面积，涂红色的面积＝3个宽为5厘米，长为10厘米的长方形面积＋1个边长为5厘米的正方形面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据解答即可。 详解：10×5×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） 10×5×3＋5×5 ＝50×3＋25 ＝150＋25 ＝175（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是200平方厘米，涂红色油漆的面积是175平方厘米。 2．如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 答案：296平方厘米 分析：根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先求出完整的长方体表面积，中间挖去一个正方体，表面积减少了2个正方形的面，又多出4个正方形的面，这个立体图形的表面积＝长方体表面积－底面积－正方体棱长×棱长×2＋正方体棱长×棱长×4，据此列式解答。 详解：（10×4＋10×8＋4×8）×2－10×4－4×4×2＋4×4×4 ＝（40＋80＋32）×2－40－32＋64 ＝152×2－40－32＋64 ＝304－40－32＋64 ＝296（平方厘米） 答：它的表面积是296平方厘米。 3．下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    答案：2480平方厘米 分析：根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。 详解： （平方厘米） （平方厘米） 答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。 点睛：此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。 3： 把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是180平方分米，原来每个正方体的表面积是多少平方分米？ 【思路分析】 把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积相对于两个正方体减少了2个面的面积，即有10个面组成。已知长方体表面积，可得出每个正方体面的面积，据此可得出每个正方体的表面积。 【标准答案】 把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，则减少了两个面的面积，即有10个面的面积。故： （平方分米）。 答：原来每个正方体的表面积是108平方分米。 3． 1．一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体后做成一种玩具，求这个玩具的表面积。 答案：78平方厘米 分析：根据题意可知，正方体上挖去一个棱长为1厘米的小正方体，表面积就增加4个边长为1厘米的正方形的面积，6个面上各挖一个，就增加4×6＝24（个）边长为1厘米的正方形的面积，原正方体的表面积加增加的面积，即等于这个玩具的表面积，据此即可解答。 详解：3×3×6＋1×1×4×6 ＝9×6＋4×6 ＝54＋24 ＝78（平方厘米） 答：这个玩具的表面积是78平方厘米。 2．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？ 答案：134平方厘米 分析：根据题意可知，要使截成的两个长方体的表面积之和最大，就要沿着长和宽的横截面进行截取，这时增加两个长乘宽的面积，原来长方体的面积加上两个长乘宽的面积，即等于这时的表面积之和，据此即可解答。 详解：（5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2 ＝（20＋15＋12）×2＋20×2 ＝47×2＋40 ＝94＋40 ＝134（平方厘米） 答：这时表面积之和是134平方厘米。 3．把一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它锯两次，锯成4个同样的小长方体，如果没有涂色的面积和是60平方厘米，涂色的面积和是多少平方厘米？ 答案：90平方厘米 分析：据观察分析可知，锯一次会多出2个正方形，锯两次就会多出4个正方形，多出的正方形的面积就是没有色的面积，可用没有涂色的面积除以4，得到每个正方形的面积，再乘6，即可得解。 详解： （平方厘米） 答：涂色的面积和是90平方厘米。 4： 一个棱长是3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少？ 【思路分析】 把一个棱长是3米的正方体木块锯成体积相等的8个小正方体，要沿着长、宽、高各切1次，共3次，增加了6个面；每个面的面积是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面积。 【标准答案】 2×3＝6（个） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方米） 答：表面积增加54平方米。 4. 1．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 答案：10平方厘米 分析：把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，先用40乘2计算出2个原正方体的表面积，也就是8个小正方体的表面积和，再除以8即可；据此解答。 详解： ＝80÷8 ＝10（平方厘米） 答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。 点睛：本题考查的是对正方体特征的实际应用，注意切开后一共增加了6个原正方体的面是解答本题的关键。 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 答案：126.96平方分米 分析：根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据1平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 详解：46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要126.96平方分米的红纸。 3．如图是一个棱长为10分米的打正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 答案：856平方分米 分析：由图可知，可以将小正方体的上面借给大正方体用，这样大正方体的六个面就全了，而小正方体只剩下四个侧面，所以要求这个组合图形的表面积，就是要求大正方体的表面积加小正方体的四个侧面积，据此可解答。 详解：大正方体表面积：10×10×6＝100×6＝600（平方分米） 小正方体四个侧面积：8×8×4＝64×4＝256（平方分米） 立体图形的表面：600＋256＝856（平方分米） 答：这个立体图形的表面积是856平方分米。 点睛：解答本题关键利用正方体表面积公式：正方体表面积＝6×棱长×棱长。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$