（趣味奥数）第十二讲 质数和合数-五年级下册奥数精讲精练（通用版）

质数和合数 森林数学解谜大赛 在一片茂密的森林里，住着许多可爱的小动物。森林里的智慧长者猫头鹰爷爷，为了锻炼小动物们的思维能力，举办了一场别开生面的数学解谜大赛。消息一传出，小动物们纷纷踊跃报名，都希望能在比赛中展现自己的聪明才智。 比赛当天，森林里热闹非凡。小兔子蹦蹦、小猴子皮皮、小松鼠跳跳和小狐狸聪聪这几个好朋友也来到了比赛现场。它们站在赛场中，既紧张又兴奋，眼睛里闪烁着期待的光芒。 比赛开始了，猫头鹰爷爷站在高高的树枝上，缓缓说道：“小动物们，欢迎你们参加这次数学解谜大赛。现在，我将给出第一道谜题。” 说着，它拿出一张巨大的卡片，上面写着：“有一排树，数量在 10 到 20 之间。如果把这些树分成若干组，每组的棵数和组数都是整数，而且当每组的棵数是质数时，组数就是合数；当每组的棵数是合数时，组数就是质数。请问，这排树一共有多少棵？” 小动物们听了，都陷入了沉思。小兔子蹦蹦着急地挠挠耳朵，小声嘟囔着：“这可怎么算呀？” 小猴子皮皮则在一旁上蹿下跳，试图寻找灵感。小松鼠跳跳坐在地上，用小爪子在泥土上写写画画。 这时，小狐狸聪聪眼睛一亮，说道：“我们先把 10 到 20 之间的质数和合数都列出来吧。10 到 20 之间的质数有 11、13、17、19，合数有 10、12、14、15、16、18、20。” 其他小动物们听了，纷纷点头表示赞同，也开始认真思考起来。 小猴子皮皮突然喊道：“我知道啦！如果树的总数是 12 棵，12 可以分成 2 组，每组 6 棵，2 是质数，6 是合数；也可以分成 3 组，每组 4 棵，3 是质数，4 是合数。” 小狐狸聪聪却摇摇头说：“皮皮，你只考虑了一部分情况。题目要求每组的棵数是质数时，组数就是合数；每组的棵数是合数时，组数就是质数，而且树的总数要固定不变。” 小兔子蹦蹦想了想，说：“那我们可以一个一个试。如果树有 11 棵，11 是质数，它只能分成 1 组，1 既不是质数也不是合数，不符合条件。如果树有 13 棵，13 是质数，也只能分成 1 组，同样不符合。” 小松鼠跳跳接着说：“如果树有 17 棵，17 是质数，还是只能分成 1 组，不行。如果树有 19 棵，也是一样。” 小狐狸聪聪继续分析：“再看合数，10 可以分成 2 组，每组 5 棵，2 是质数，5 也是质数，不符合。14 可以分成 2 组，每组 7 棵，2 和 7 都是质数，不符合。15 可以分成 3 组，每组 5 棵，3 和 5 都是质数，不符合。16 可以分成 2 组，每组 8 棵，2 是质数，8 是合数；也可以分成 4 组，每组 4 棵，4 是合数，不符合‘每组的棵数是合数时，组数就是质数’这个条件。18 可以分成 2 组，每组 9 棵，2 是质数，9 是合数；也可以分成 3 组，每组 6 棵，3 是质数，6 是合数；还可以分成 6 组，每组 3 棵，6 是合数，3 是质数；分成 9 组，每组 2 棵，9 是合数，2 是质数，完全符合条件。20 可以分成 2 组，每组 10 棵，2 是质数，10 是合数；也可以分成 4 组，每组 5 棵，4 是合数，5 是质数；还可以分成 5 组，每组 4 棵，5 是质数，4 是合数；分成 10 组，每组 2 棵，10 是合数，2 是质数，同样符合条件。” 小动物们经过一番激烈的讨论，最终确定 18 和 20 都符合题目要求。它们兴奋地把答案告诉了猫头鹰爷爷。猫头鹰爷爷满意地笑了，说道：“小动物们，你们都很聪明。通过这道题，你们对质数和合数有了更深入的理解。在生活中，数学无处不在，希望你们能继续保持这份对数学的热爱。” 在接下来的比赛中，小动物们又遇到了许多有趣的数学谜题，它们凭借着对质数和合数的理解以及团队合作的力量，成功地解决了一个又一个难题。这次数学解谜大赛，不仅让小动物们学到了知识，还让它们明白了团结协作的重要性。它们期待着下一次还有更多这样有趣的挑战，在数学的世界里继续探索。 质数与合数的概念： 质数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如，2、3、5、7、11 等都是质数。 合数：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如，4、6、8、9、10、12 等都是合数。 特殊情况： 1：1 既不是质数，也不是合数，因为 1 只有 1 个因数。 2：最小的质数是 2，同时 2 也是唯一的偶质数。 4：最小的合数是 4。 质数与合数的判断方法： 找因数法：判断一个数是质数还是合数，关键是看因数的个数。如果一个数只有 1 和它本身两个因数，那这个数就是质数；如果有三个或更多因数，这个数就是合数。 试除法：用 2、3、5、7、11、13 等较小的质数去试除这个数，如果能被其中某个质数整除，那么这个数就是合数；如果都不能整除，那么这个数可能是质数。100 以内找质数、合数可看是否是 2、3、5、7、11、13 等的倍数，是就是合数，不是就是质数。 100 以内的质数：共有 25 个，分别是 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 质数与合数的性质： 质数中只有 2 是偶数，其余的质数都是奇数，但奇数不一定都是质数，如 9、15 等是奇数但不是质数。 合数不一定都是偶数，如 9、15、21 等是合数但不是偶数。 两个质数相乘的积一定是合数，因为这个积除了 1 和它本身这两个因数外，还有这两个质数作为因数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。比如 36=2×2×3×3，2 和 3 就是 36 的质因数。 1： 用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？ 【思路分析】 在1至9这9个数，4、6、8、9这4个单独是合数，剩下5个数中，能组成15、27，2个合数，因此用1至9这9个数字各一次组成若干个数，最多有6个合数；由此解答即可。 【标准答案】 组成的合数有：4、6、8、9、15、27，共6个合数； 1. 1．大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上。这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？ 2．用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？ 3．如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？ 2： 自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 【思路分析】 根据个位数字与十位数字都是质数，可得这个两位质数的个位数字和十位数字只能是：2、3、5、7。 【标准答案】 因为N是质数，且其个位数字和十位数字都是质数，那么十位数字和个位数字只能是：2、3、5、7，所以符合题意的两位数质数有：23，37，53，73，有4个。 点睛：此题考查了质数的灵活应用，理解十位数字与个位数字都是质数的两位质数是由2、3、5、7组成的是本题的关键。 2． 1．三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大可能是多少？ 2．四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 3．用L表示所有被3除余1的全体正整数。如果L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”。问：第8个“L—质数”是什么？ 3： 有这样的质数，它分别加上10和14仍为质数，你会求这样的质数吗？ 【思路分析】 将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n＋1、3n＋2(n为大于或等于1的整数)这三类．因为(3n＋1)＋14＝3×(n＋5)不是质数，(3n＋2)＋10＝3×(n＋4)不是质数，而3n仅当n＝1时才是质数，所以3是唯一符合条件的质数.   3． 1．随意写一个三位数，接着在后面把这个三位数再写一遍，组成形如abcabc这样的六位数，这样的六位数是不是7、11或13的倍数？为什么？ 2．两个质数的和是50，求这两个质数乘积的最大值是多少． 3．2004年，冬冬和妈妈的年龄数都是质数，乘积是259，2006年母子俩的年龄各应是多少？年龄差呢？ 4： 有三张卡片分别是、、从中抽出一张、两张、三张，分别组成一位数、两位数、三位数，其中哪些是质数？ 【思路分析】 ①从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为1、2、3，其中只有2、3是质数； ②从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个，但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数；所以，两位数的质数只有13，23，31； ③因为1+2+3=6，6能被3整除，所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数； 故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个； 解：从三张卡片中任抽一张，1既不是质数也不是合数，质数有2、3； 从三张卡片中任抽二张有3×2=6个数，13、23、31是质数，12、21、32是合数； 因为1+2+3=6，能被3整除，所以按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数； 答：质数有2、3、13、23、31． 4. 1．如图，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？ 2．有三个自然数a、b、c（a、b、c均为质数），已知a×b＝35，b×c＝55，c×a＝77，求a、b、c三个数的乘积。 3．它是一个偶数,还是合数,是一个两位数,同时是2和3的倍数,个位与十位上的数的和是6,这个数可能是多少? 数学家欧拉 数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。   欧拉一生都是在科学院度过, 因此得以专心研究数学,从19岁开始发表论文, 直到76岁,几乎在每一个数学领域都可以看到欧拉的名字。四次方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程, 复变函数的欧拉公式等等.。    他对数学分析的贡献更独具匠心, 《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》都是当时数学教科书中的经典著作.欧拉还创设了许多数学符号, 例如: f(x) (1734 年)、π (1736 年)、e (1748年)、sin 和 cos (1748 年)、tan (1753 年)、Δx (1755 年)、Σ (1755 年)、i (1777 年) 等.欧拉在他半个多世纪中以平均每年 800 页的速度写出创造性论文.。他去世后, 人们整理出他的研究成果多达 74 卷。 1： 用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？ 【思路分析】 在1至9这9个数，4、6、8、9这4个单独是合数，剩下5个数中，能组成15、27，2个合数，因此用1至9这9个数字各一次组成若干个数，最多有6个合数；由此解答即可。 【标准答案】 组成的合数有：4、6、8、9、15、27，共6个合数； 1. 1．大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上。这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？ 答案：314159 详解：注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159。 2．用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？ 答案：567. 详解：试题分析：由于要求和最小，则就要使加数尽量小且尽量少，其中偶数不能放在个位，0不能放在个位和首位，据此分析完成． 解：可以这样组： 2+3+5+67+89+401=567 即和最小是567． 点评：明确使加数尽量小且尽量少，然后根据质数的意义及数位知识分析是完成本题的关键． 3．如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？ 答案：900. 详解：试题分析：设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S，4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以：4S=2S+20，从而：S=10，这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：2×2×3×3×5×5=900，即可得解． 解：设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S． 则：4S=2S+20， 得：S=10， 2+3+5=10， 所以一个三角形顶点的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5； 如图， 2×2×3×3×5×5=900， 答：这六个质数的积是900． 点评：根据已知设出未知数，列出等式，求解，凑数，是解决此题的关键． 2： 自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 【思路分析】 根据个位数字与十位数字都是质数，可得这个两位质数的个位数字和十位数字只能是：2、3、5、7。 【标准答案】 因为N是质数，且其个位数字和十位数字都是质数，那么十位数字和个位数字只能是：2、3、5、7，所以符合题意的两位数质数有：23，37，53，73，有4个。 点睛：此题考查了质数的灵活应用，理解十位数字与个位数字都是质数的两位质数是由2、3、5、7组成的是本题的关键。 2． 1．三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大可能是多少？ 答案：37×43×2=3182 答：这三个质数的积是3182． 详解：凡是质数，除2外都是奇数，三个质数相加的和是偶数，一定有一个质数是2.82-2=80，剩下的两个质数的和是80，两个数的差越小，积就越大，这两个质数是43和37时，这三个质数的积最大． 2．四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 答案：9 分析：分解质因数，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数。若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5，不行），经检验6、7、8、9恰符合。 详解：3024＝2×2×2×2×3×3×3×7＝6×7×8×9 答：这四个自然数中最大的一个是9。 点睛：此题考查的是质数、合数、分解质因数以及连续自然数的认识，解题时要综合考虑。 3．用L表示所有被3除余1的全体正整数。如果L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”。问：第8个“L—质数”是什么？ 答案：31 分析：根据题意可知，“L数”为1、4、7、10、13、16、9、22、25、28、31、34…，又L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”，则“L—质数”应为上列数中去掉1、16、28…，即为4、7、10、13、19、22、25、31、34，所以第8个“L—质数”是31。 详解：根据题意可知，“L—质数”应为4、7、10、13、19、22、25、31、34…， 答：第8个“L—质数”是31。 点睛：明确什么的样的数为“L—质数”，是完成本题的关键。 3： 有这样的质数，它分别加上10和14仍为质数，你会求这样的质数吗？ 【思路分析】 将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n＋1、3n＋2(n为大于或等于1的整数)这三类．因为(3n＋1)＋14＝3×(n＋5)不是质数，(3n＋2)＋10＝3×(n＋4)不是质数，而3n仅当n＝1时才是质数，所以3是唯一符合条件的质数.   3． 1．随意写一个三位数，接着在后面把这个三位数再写一遍，组成形如abcabc这样的六位数，这样的六位数是不是7、11或13的倍数？为什么？ 答案：这个数是7的倍数，也是11、13的倍数． 分析：abcabc=1001×abc，1001=7×11×13，abc－abc=0，而0是7、11、13的倍数． 根据质数和合数的认识进行解答. 2．两个质数的和是50，求这两个质数乘积的最大值是多少． 答案：589 详解：解：把50表示为两个质数的和，共有四种形式： 50=47+3=43+7=37+13=31+19 因为31×19=589＞37×13=481＞43×7=301＞47×3=141 所以所求的最大值是589． 3．2004年，冬冬和妈妈的年龄数都是质数，乘积是259，2006年母子俩的年龄各应是多少？年龄差呢？ 答案：解：2006年冬冬9岁，妈妈39岁．年龄差为39－9=30(岁)   详解：分析：把259分解质因数，259=7×37．2004年，冬冬是7岁，妈妈是37岁． 4： 有三张卡片分别是、、从中抽出一张、两张、三张，分别组成一位数、两位数、三位数，其中哪些是质数？ 【思路分析】 ①从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为1、2、3，其中只有2、3是质数； ②从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个，但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数；所以，两位数的质数只有13，23，31； ③因为1+2+3=6，6能被3整除，所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数； 故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个； 解：从三张卡片中任抽一张，1既不是质数也不是合数，质数有2、3； 从三张卡片中任抽二张有3×2=6个数，13、23、31是质数，12、21、32是合数； 因为1+2+3=6，能被3整除，所以按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数； 答：质数有2、3、13、23、31． 4. 1．如图，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？ 答案：74218． 详解：试题分析：首先大写字母来代替三角形，小写字母来代替正方形，大写字母代表的数字有2、3、5、7，小写字母代表的数字有4、6、8、9；逐步探讨各位数字相加特点，分析探讨得出答案即可． 解：大写字母来代替三角形，小写字母来代替正方形， 则A、B、C、D、E=2、3、5、7；a、b、c、d、e=4、6、8、9； （1）观察三个数的个位：1+d=e，1+8=9，得出d=8，e=9； （2）观察三个数的十位：B+1=E，2+1=3，得出B=2，E=3； （3）观察三个数的百位：b+D=0，显然发生了进位，那么b+D=10，2+8=10，得出b=2，D=8； （4）观察千位，考虑到百位进位，有：a+c=10，4+6=10，得出a、c=4、6； （5）观察万位，考虑到千位进位，有：A+C=9，2+7=9，得出A、C=2、7． 那么，两个数都只有万位与千位不固定，为了让两个数的差最小，有26821+74218=101039． 所以最大的数是74218． 点评：此题考查竖式数字迷，根据数字的特点以及相加后的特点，运用适当的方法探讨得出答案即可． 2．有三个自然数a、b、c（a、b、c均为质数），已知a×b＝35，b×c＝55，c×a＝77，求a、b、c三个数的乘积。 答案：385 分析：本题的三个式子中a，b，c都为因数并且都出现两次，则只需把三个式子两边相乘。左边为，右边的数拆分成质数相乘再变成一个数的平方即可。 详解：（a×b）×（b×c）×（c×a）＝＝35×55×77 35×55×77 ＝5×7×5×11×7×11 ＝ 所以abc＝5×7×11＝385。 答：a、b、c三个数的乘积是385。 点睛：掌握分解质因数的方法、乘方的意义是解题的关键。 3．它是一个偶数,还是合数,是一个两位数,同时是2和3的倍数,个位与十位上的数的和是6,这个数可能是多少? 答案：24或42或60 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$