专题03 平方差和完全平方运算和几何背景（六大类型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题03平方差和完全平方运算和几何背景（六大类型） 【题型1 平方差运算】 【题型2 平方差的几何背景】 【题型3 完全平方公式运算】 【题型4 完全平方公式的几何背景】 【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 【题型6 整式混合运算-化简求值】 【题型1 平方差运算】 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是（   ） A．8 B．3 C．10 D． 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．计算：的结果是 ． 5．若，则代数式的值为 ． 6．计算：． 【题型2 平方差的几何背景】 7．如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图表示下列式子正确的是（） A． B． C． D． 8．如图，正方形，的边长分别为，，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 11．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 12．探究活动： （）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； （）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______＿（写成多项式乘法的形式）； 比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式______． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 13．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【题型3 完全平方公式运算】 14．已知，，则的值为 ． 15．若，，那么代数式的值为 ． 16．计算： (1) (2) 17．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 18．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 完全平方公式的几何背景】 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，且，求的值． 22．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 23．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． (2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 24．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 25．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，则______； 类比应用：（2）若，则______； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则___________． ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．    【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 27．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 29．（22-23八年级上·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【题型6 整式的化简求值】 30．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值  ，其中， 31．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 32．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 33．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 35．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平方差和完全平方运算和几何背景（六大类型） 【题型1 平方差运算】 【题型2 平方差的几何背景】 【题型3 完全平方公式运算】 【题型4 完全平方公式的几何背景】 【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 【题型6 整式混合运算-化简求值】 【题型1 平方差运算】 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意得，将代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：B ． 2．已知，，则的值是（   ） A．8 B．3 C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，根据，再把，分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、没有完全相同的项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 4．计算：的结果是 ． 【答案】7000 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，根据平方差公式计算即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：7000． 5．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先将原代数式化简，再将代入，即可求解． 【详解】解： ， ， 原式， 故答案为：． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，运用平方差公式是解题的关键．运用乘法的平方差公式即可求解． 【详解】解：原式 ． 【题型2 平方差的几何背景】 7．如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图表示下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．用“两种”方法分别用代数式表示裁剪后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积即可． 【详解】解：将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即， 将剩余部分沿着虚线剪开，拼成的长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以有， 故选：C． 8．如图，正方形，的边长分别为，，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查正方形的性质，解题的关键是利用面积之差为51，且，得出方程解答．设为x，为y，利用面积之差为51，且，得出方程解答即可． 【详解】解：∵四边形，都是正方形， 设为x，为y， 可得：， 解得：， ∴． 故选：C． 9．如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系式推导出乘法公式． 根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果． 【详解】解：解：∵图形①中阴影部分的面积可表示为：， 图形②中阴影部分的面积可表示为， ∴， 故选：D． 10．如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 11．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）12；（2）；【拓展】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式解决问题． 探究：利用两个面积相等列式即可； 应用：①利用探究中的公式计算即可；②利用探究中的公式计算即可； 拓展：算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：探究：图①中的阴影面积为；图②的面积为； 这两个面积相等，所以， 故答案为：． 应用：①根据探究的公式可得，； 因为，， 所以 故答案为：12； ②原式． 拓展：原式 ． 12．探究活动： （）如图①，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； （）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______＿（写成多项式乘法的形式）； 比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式______． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】探究活动：（）；（），；知识应用：①；②． 【分析】探究活动： （）用大正方形的面积减小正方形的面积即可求解； （）利用矩形的面积公式即可表示阴影部分的面积，再根据图①、图②阴影部分的面积相等即可得到公式； 知识应用： ①利用（）所得公式的逆运算解答即可求解； ②由得到，由所得公式得到，进而即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． 【详解】解：探究活动： （）阴影部分的面积是， 故答案是：； （）长方形的面积是； ∵图①、图②阴影部分的面积相等， ∴可以得到公式是， 故答案为：，； 知识应用： ①原式； ②∵， ∴， 又∵， ∴． 13．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【题型3 完全平方公式运算】 14．已知，，则的值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了完全平方公式的计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 运用完全平方公式展开得到，，即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．若，，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式和整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 17．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值； （1）把代入，再计算即可； （2）把代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 18．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型4 完全平方公式的几何背景】 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积；根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：大小两个正方形边长分别为、， 阴影部分的面积； ，， ． 故选：B． 20．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：解：（1）方法一：； 方法二：； 故答案为：；； （2）解：代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得， ． 22．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16；（4） 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，能正确运用完全平方公式变形是解题的关键． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为大长方形的长减去宽，即可表示； （2）根据图2 阴影部分面积为正方形，则可用正方形面积公式表示，也可通过大正方形面积减去4个长方形面积表示，即可得到，，之间的等量关系； （3）由即可求解； （4）先求得，则利用求解即可． 【详解】解：（1）由图2可得小正方形（阴影部分）的边长为， 故答案为：； （2）可得阴影部分面积为：，而阴影部分面积又可表示为， ∴， ∴； （3）∵，， ∴； （4）∵， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． (2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景及应用能力． （1）从大正方形面积的整体和各部分求和两方面列式表示，可得； （2）根据因式分解可得此题结果； （3）由（1）题结果可得，利用以上两个结论可分别求解①，②小题． 【详解】（1）解：由题意，图2面积可分别表示为：和， ∴， 故答案为：； （2）解：可分解为， ∴可拼成边长各为，的长方形， 故答案为：，； （3）解：①∵，， 由（2）题结果可得， ； ②设，，则， ，， 又， ， ， ． 24．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）23；（3） 【分析】本题主要完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式得出，然后再整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将转化为，然后再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，再根据完成平方公式可得求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴，解得： ∴阴影部分的面积． 25．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，则______； 类比应用：（2）若，则______； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）19；（2）43；（3）一块三角板的面积为10 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）根据进行计算即可； （2）令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1），， ∴， ； （2）令，， ，， ； （3）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是10． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则___________． ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)40 (2)①；②60；③106 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）①设，则，，再根据进行求解即可；②设，则，，再根据求出，据此可得答案；③由题意得，设，，则，根据长方形的面积为45，得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①设， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②设， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③由题意得， 设，，则， ∴ ∵且， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是106． 【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 27．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 29．（22-23八年级上·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 【题型6 整式的化简求值】 30．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值  ，其中， 【答案】； 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，完全平方公式和平方差公式，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则进行运算． 先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，得到最简代数式，再把x、y的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 ∵， ∴原式． 31．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．首先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 32．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了多项式乘多项式—化简求值，平方差公式，完全平方公式，先根据单项式乘多项式，以及乘法公式进行展开，合并同类项得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 33．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则及计算步骤正确计算是解题的关键． 根据完全平方公式及多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化简，最后代入字母的值计算，即可求解． 【详解】解： ， 把，代入， 即. 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键． 根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 35．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$