2025年高考数学二轮复习重点专题训练·函数的性质

2025高考二轮复习重点专题训练·函数的性质 一、单项选择题 1．(2024·山西晋中三模)下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f (x)＝2|x|　　　　 B．f (x)＝x3 C．f (x)＝－x D．f (x)＝ 2．(2024·全国统一考试模拟题五)若函数f (x)＝＋是偶函数，则a＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 B． C．－ D．－1 3．(2024·宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)<f (2x＋3)的解集为(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 4．(2024·全国模拟预测)已知函数f (x)满足f (x)＝f (2－x)，且在区间[1，＋∞)上单调递减，设a＝f (－ln 1.1)，b＝f (20.4)，c＝f (log25)，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 5．(2024·沧州七校联考)若定义域为R的函数f (x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则(　　) A．f (2)>f (3) B．f (2)>f (5) C．f (3)>f (5) D．f (3)>f (6) 6．已知函数f (x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A．f (x)在(0，2)上单调递增 B．f (x)在(0，2)上单调递减 C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称 7．已知定义在R上的函数f (x)，对任意实数x有f (x＋3)＝－f (x)＋3，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 023)＝(　　) A．5 B．－2 C．1 D．2 8．(2021·全国甲卷，理)设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b.若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 9．(2024·沧衡八校联盟)设函数f (x)＝sin x＋ex－e－x＋2，则满足f (x)＋f (3－2x)<4的x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，1) 10．(2024·四川南充三模)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，函数f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，函数g(x＋1)的图象关于y轴对称，f (x＋2)＋g(x＋1)＝－1，f (－4)＝0，则f (2 030)－g(2 017)＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 二、多项选择题 11．已知函数f (x)为偶函数，且f (x＋2)＝－f (2－x)，则下列结论一定正确的是(　　) A．f (x)的图象关于点(－2，0)中心对称 B．f (x)是周期为4的周期函数 C．f (x)的图象关于直线x＝－2轴对称 D．f (x＋4)为偶函数 12．(2024·山东济宁期末)已知函数f (x)的定义域为R，满足f (x)＝f (4－x)，f (x＋2)＝f (x－2).当x∈[－2，0]时，f (x)＝x2＋4x＋3，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称 B．f (x)是奇函数 C．f (x)在[4，6]上单调递减 D．f (k)＝1 012 13．(2024·武汉质检)设f (x)为定义在R上的函数，且f (x)－f (－x)＝0，f (x＋1)－f (x＋3)＝0，f (x)在[0，1]上单调递减，下列说法正确的是(　　) A.函数f (x)的图象关于y轴对称 B．函数f (x)的最小正周期为2 C．f (3)<f (4) D．函数f (x)在[2 023，2 024]上单调递减 14．(2024·浙江省绍兴市适应性试卷)已知定义在R上的函数f (x)在区间[－1，0]上单调递增，且满足f (4－x)＝f (x)，f (2－x)＝－f (x)，则(　　) A．f (k)＝0 B．f (0.9)＋f (1.2)<0 C．f (2.5)>f (log280) D．f (sin 1)<f 三、填空题 15．(2024·衡水中学调研)已知a>0且a≠1，“函数f (x)＝ax为增函数”是“函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 16．函数f (x)满足f (x)f (x＋2)＝13，且f (3)＝2，则f (2 025)＝________． 17．设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，当－1≤x≤0时，f (x)＝1＋x，则f (8.6)＝________． 18．(2024·安徽江南十校联考)若函数f (x＋2)为偶函数，函数g(x＋1)－5是奇函数，且f (2－x)＋g(x)＝2，则f (2 023)＝________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练·函数的性质 一、单项选择题 1．(2024·山西晋中三模)下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f (x)＝2|x|　　　　 B．f (x)＝x3 C．f (x)＝－x D．f (x)＝ 答案　C 解析　A中f (x)是偶函数，故错误；B中函数f (x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，故错误；D中函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故错误．故选C. 2．(2024·全国统一考试模拟题五)若函数f (x)＝＋是偶函数，则a＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 B． C．－ D．－1 答案　D 解析　由f (－1)＝f (1)，得＋＝＋，化简得3a2＋16a＋13＝0，解得a＝－1或a＝－，经验证，当a＝－1时满足f (－x)＝f (x).故选D. 3．(2024·宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)<f (2x＋3)的解集为(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　f (x)＝2x－3－x，x∈Rf (x)单调递增x2<2x＋3x∈(－1，3).故选A. 4．(2024·全国模拟预测)已知函数f (x)满足f (x)＝f (2－x)，且在区间[1，＋∞)上单调递减，设a＝f (－ln 1.1)，b＝f (20.4)，c＝f (log25)，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 答案　D 解析　由f (x)＝f (2－x)，得f (x)的图象关于x＝1对称，则a＝f (－ln 1.1)＝f (2＋ln 1.1)，而1<20.4<2＋ln 1.1<2＋log21.1＝log24.4<log25，又f (x)在[1，＋∞)上单调递减，则f (20.4)>f (2＋ln 1.1)>f (log25)，得b>a>c.故选D. 5．(2024·沧州七校联考)若定义域为R的函数f (x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则(　　) A．f (2)>f (3) B．f (2)>f (5) C．f (3)>f (5) D．f (3)>f (6) 答案　D 解析　由y＝f (x＋4)为偶函数，得f (－x＋4)＝f (x＋4)，则f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，C错误；又f (x)在(4，＋∞)上单调递减，则f (3)＝f (5)>f (6)＝f (2)，A错误，B错误，D正确．故选D. 6．已知函数f (x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A．f (x)在(0，2)上单调递增 B．f (x)在(0，2)上单调递减 C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称 答案　C 解析　由题易知，f (x)＝ln x＋ln (2－x)的定义域为(0，2)，f (x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x)＝ln x＋ln (2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以A、B错误；f (1－x)＝ln (1－x)＋ln (x＋1)，f (1＋x)＝ln (x＋1)＋ln (1－x)，所以f (1－x)＝f (1＋x)，所以y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；又f ＝ln ＋ln ＝ln ，f ＝ln ＋ln ＝ln ，所以f ＋f ＝2ln ，所以D错误．故选C. 7．已知定义在R上的函数f (x)，对任意实数x有f (x＋3)＝－f (x)＋3，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 023)＝(　　) A．5 B．－2 C．1 D．2 答案　D 解析　由函数y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f (x)的图象关于y轴对称，故f (x)为偶函数，又由f (x＋3)＝－f (x)＋3，得f (x＋3＋3)＝－f (x＋3)＋3＝－[－f (x)＋3]＋3＝f (x)，所以f (x)的一个周期为6.所以f (2 023)＝f (6×337＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2.故选D. 8．(2021·全国甲卷，理)设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b.若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　因为f (x＋1)是奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)①， 因为f (x＋2)是偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)②. 令x＝1，由①得f (0)＝－f (2)＝－(4a＋b)，由②得f (3)＝f (1)＝a＋b， 因为f (0)＋f (3)＝6，所以－(4a＋b)＋a＋b＝6a＝－2， 令x＝0，由①得f (1)＝－f (1)f (1)＝0b＝2，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝－2x2＋2，由题意易知f (x)的图象关于点(1，0)中心对称，关于直线x＝2轴对称，故f (x)的一个周期为4，则f ＝f ＝－f ＝2×－2＝. 9．(2024·沧衡八校联盟)设函数f (x)＝sin x＋ex－e－x＋2，则满足f (x)＋f (3－2x)<4的x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，1) 答案　A 解析　设g(x)＝f (x)－2＝sin x＋ex－e－x，x∈R，则g(－x)＝－sin x＋e－x－ex＝－g(x)，故g(x)是奇函数．又g′(x)＝cos x＋ex＋e－x≥cos x＋2＝cos x＋2>0，当且仅当x＝0时等号成立，所以g(x)是R上的增函数，则f (x)＋f (3－2x)<4f (x)－2<－f (3－2x)＋2，而g(2x－3)＝－g(3－2x)＝－f (3－2x)＋2，因此有g(x)<g(2x－3)，从而x<2x－3，解得x>3.故选A. 10．(2024·四川南充三模)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，函数f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，函数g(x＋1)的图象关于y轴对称，f (x＋2)＋g(x＋1)＝－1，f (－4)＝0，则f (2 030)－g(2 017)＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案　B 解析　由函数f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，得f (x)＋f (－2－x)＝－2，令x＝－4，可得f (－4)＋f (2)＝－2，即f (2)＝－2，由函数g(x＋1)的图象关于y轴对称，可知函数g(x＋1)为偶函数，所以g(－x＋1)＝g(x＋1)，由f (x＋2)＋g(x＋1)＝－1，令x＝0，可得g(1)＝－1－f (2)＝1，由f (x＋2)＋g(x＋1)＝－1，可得f (x)＋g(x－1)＝－1，f (－x－2)＋g(－x－3)＝－1，两式相加可得－2＋g(x－1)＋g(－x－3)＝－2，即g(x－1)＋g(－x－3)＝0，可得g(x－5)＋g(－x＋1)＝0，由g(－x＋1)＝g(x＋1)可得g(x－5)＋g(x＋1)＝0，即g(x)＋g(x＋6)＝0，故g(x＋6)＝－g(x)，所以g(x＋12)＝－g(x＋6)＝g(x)，即函数g(x)的一个周期为12，由f (x)＋g(x－1)＝－1，可知f (2 030)＝－1－g(2 029)，所以f (2 030)－g(2 017)＝－1－g(2 029)－g(2 017)＝－1－g(1)－g(1)＝－1－2g(1)＝－3.故选B. 二、多项选择题 11．已知函数f (x)为偶函数，且f (x＋2)＝－f (2－x)，则下列结论一定正确的是(　　) A．f (x)的图象关于点(－2，0)中心对称 B．f (x)是周期为4的周期函数 C．f (x)的图象关于直线x＝－2轴对称 D．f (x＋4)为偶函数 答案　AD 解析　因为f (x＋2)＝－f (2－x)，所以f (x)的图象关于点(2，0)中心对称， 又因为函数f (x)为偶函数， 所以f (x)是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(－2，0)中心对称和关于直线x＝4轴对称，所以f (x＋4)为偶函数．故选AD. 12．(2024·山东济宁期末)已知函数f (x)的定义域为R，满足f (x)＝f (4－x)，f (x＋2)＝f (x－2).当x∈[－2，0]时，f (x)＝x2＋4x＋3，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称 B．f (x)是奇函数 C．f (x)在[4，6]上单调递减 D．f (k)＝1 012 答案　ACD 解析　因为f (x)＝f (4－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确；因为f (x)＝f (4－x)，f (x＋2)＝f (x－2)，所以f (x)＝f (4－x)＝f (－x)，且注意到函数f (x)的定义域为R，所以f (x)是偶函数，故B错误；当x∈[4，6]时，4－x∈[－2，0]，所以f (x)＝f (4－x)＝(4－x)2＋4(4－x)＋3＝(x－6)2－1，x∈[4，6]，所以f (x)在[4，6]上单调递减，故C正确；因为f (x＋2)＝f (x－2)，所以函数f (x)的一个周期是4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (－1)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＝f (－2)＋2f (－1)＋f (0)＝－1＋0＋3＝2，所以f (k)＝2 024÷4×2＋f (2 025)＝1 012＋f (1)＝1 012＋f (－1)＝1 012，故D正确．故选ACD. 13．(2024·武汉质检)设f (x)为定义在R上的函数，且f (x)－f (－x)＝0，f (x＋1)－f (x＋3)＝0，f (x)在[0，1]上单调递减，下列说法正确的是(　　) A.函数f (x)的图象关于y轴对称 B．函数f (x)的最小正周期为2 C．f (3)<f (4) D．函数f (x)在[2 023，2 024]上单调递减 答案　ABC 解析　由f (x)－f (－x)＝0可得f (x)＝f (－x)，故函数f (x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A正确；由f (x＋1)－f (x＋3)＝0可得f (x＋1)＝f (x＋3)，所以f (x)＝f (x＋2)，又f (x)是偶函数，且在[0，1]上单调递减，所以函数f (x)的最小正周期为2，所以B正确；故函数f (x)在[1，2]上单调递增，在[3，4]上单调递增，所以f (3)<f (4)，故C正确；因为函数f (x)的最小正周期为2，所以函数f (x)在[2 023，2 024]上与在[1，2]上单调性一致，故函数f (x)在[2 023，2 024]上单调递增，所以D错误．故选ABC. 14．(2024·浙江省绍兴市适应性试卷)已知定义在R上的函数f (x)在区间[－1，0]上单调递增，且满足f (4－x)＝f (x)，f (2－x)＝－f (x)，则(　　) A．f (k)＝0 B．f (0.9)＋f (1.2)<0 C．f (2.5)>f (log280) D．f (sin 1)<f 答案　BCD 解析　由f (4－x)＝f (x)，知f (x)的图象关于x＝2对称，由f (2－x)＝－f (x)，知f (x)的图象关于(1，0)对称，∴f (x)为周期函数且一个周期为4，令f (x)＝cos x，则f (x)满足所有条件，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0－1＋0＋1＝0，f (k)＝f (1)＋f (2)＝－1，A错误；画出f (x)的部分图象如图，∵0.9＋1.1＝2，∴f (0.9)＝－f (1.1)，f (0.9)＋f (1.2)＝f (1.2)－f (1.1)<0，B正确；f (log280)＝f (log280－4)＝f (log25)，而2<log25<<3，∴f (2.5)>f (log280)，C正确；∵sin 1>sin ＝≈0.707，ln 2≈0.69，∴0<ln 2<sin 1<1，f (sin 1)<f (ln 2)＝f ，D正确． 三、填空题 15．(2024·衡水中学调研)已知a>0且a≠1，“函数f (x)＝ax为增函数”是“函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 答案　充要 解析　函数f (x)＝ax为增函数，则a>1，此时a－1>0，故函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增，充分性成立；当g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增时，a－1>0，所以a>1，故f (x)＝ax为增函数，必要性成立． 16．函数f (x)满足f (x)f (x＋2)＝13，且f (3)＝2，则f (2 025)＝________． 答案　 解析　∵f (x)f (x＋2)＝13，∴f (x＋2)＝，∴f (x＋4)＝＝＝f (x)，∴f (x)的一个周期为4，∴f (2 025)＝f (1)＝＝. 17．设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，当－1≤x≤0时，f (x)＝1＋x，则f (8.6)＝________． 答案　0.4 解析　由已知得f (x)的图象关于x＝0和x＝1对称，故f (x)的一个周期为2，∴f (8.6)＝f (0.6)＝f (－0.6)＝0.4. 18．(2024·安徽江南十校联考)若函数f (x＋2)为偶函数，函数g(x＋1)－5是奇函数，且f (2－x)＋g(x)＝2，则f (2 023)＝________． 答案　－3 解析　由题意可知f (x)的图象关于直线x＝2对称，g(x)的图象关于点(1，5)对称，f (2－x)＋g(x)＝2f (2－x)＋10－g(2－x)＝2f (2－x)－g(2－x)＝－8，所以f (x)－g(x)＝－8，故f (x)＋f (2－x)＝－6＝f (x)＋f (2＋x)，所以f (x＋2)＋f (x＋4)＝－6f (x)＝f (x＋4)，即4是f (x)的一个周期，则f (2 023)＝f (3)＝f (－1).由f (2－x)＋f (x)＝－6，得f (－1)＋f (3)＝－6，又f (－1)＝f (3)，则f (－1)＝－3，所以f (2 023)＝－3. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$