2025年高考数学二轮复习重点专题训练·函数的图象、零点及应用

2025高考二轮复习重点专题训练 函数的图象、零点及应用 一、单项选择题 1．(2024·全国高三对口高考)给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x；④y＝x；⑤y＝x；⑥y＝x；⑦y＝x. 如图所示的是一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是(　　) A．⑥③④②⑦①⑤　　　　 B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 2．(2024·福建省3月质检)函数f (x)＝x2＋cos x在[－π，π]的图象大致为(　　) 3．(2024·宁夏固原一模)已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A.f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ 4．(2024·全国模拟预测)已知函数f (x)＝x＋－2，x∈(0，＋∞)有两个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(0，1) 5.(2024·湖南模拟)如图，已知函数y＝|x|的图象与函数y＝|x－m|的图象关于直线x＝1对称，则m＝(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 6．(2024·银川模拟)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5，18) D．(－18，－5) 7．(2024·宁夏石嘴山三模)定义在R上的偶函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝ex－1，若关于x的方程f (x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D．(0，e－1) 8．(2024·湖南长沙期中)已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝(　　) A．(16，32－8) B．(16，32) C．(32＋8，48) D．(32，48) 9．设正实数a，b，c分别满足＝2a，＝log2b，＝log3c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 10．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550—1617)发明了对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数． N 2 3 4 5 11 12 13 14 15 lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　) A．3 B．12 C．13 D．14 二、多项选择题 11．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝x3＋x C．y＝sin D．y＝cos 12．下列关于函数f (x)＝2sin x＋的说法正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于y轴对称 B．函数f (x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f (x)的最小正周期为2π D．函数f (x)的最小值为2 13．(2024·湖南怀化二模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2>0 B．x1x2<0 C．ex1＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2>1 三、填空题 14．(2024·深圳模拟)若函数f (x)＝－x的零点属于区间(n，n＋1)(n∈N)，则n＝________． 15．(2024·浙江适应性考试)已知函数f (x)＝g(x)＝－x＋a，若函数F (x)＝f (x)－g(x)有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是________． 16．(2024·湖北宜昌阶段练习)已知函数h(x)＝max(x>0)，其中max{p，q}表示p，q中的最大值，若函数h(x)有3个零点，则实数a的取值范围是________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 函数的图象、零点及应用 一、单项选择题 1．(2024·全国高三对口高考)给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x；④y＝x；⑤y＝x；⑥y＝x；⑦y＝x. 如图所示的是一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是(　　) A．⑥③④②⑦①⑤　　　　 B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 答案　C 解析　图象(1)关于原点对称，不过原点，且在第一象限单调递减，故y＝x满足； 图象(2)关于y轴对称，不过原点，且在第一象限单调递减，故y＝x满足； 图象(3)代表的函数非奇非偶，不过原点，且在第一象限单调递减，故y＝x满足； 图象(4)关于y轴对称，过原点，且在第一象限单调递增，故y＝x满足； 图象(5)关于原点对称，过原点，且在第一象限单调递增，故y＝x满足； 图象(6)代表的函数非奇非偶，过原点，且在第一象限单调递增，增长率随x增大而递减，故y＝x满足； 图象(7)代表的函数非奇非偶，过原点，且在第一象限单调递增，增长率随x增大而递增，故y＝x满足． 故图象对应的解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选C. 2．(2024·福建省3月质检)函数f (x)＝x2＋cos x在[－π，π]的图象大致为(　　) 答案　A 解析　方法一：易知f (x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C、D；因为f (x)为偶函数，所以只考虑x∈[0，π]的情况．f ′(x)＝x－sin x，x∈[0，π]， 设h(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，则h′(x)＝1－cos x≥0且不恒为0. 所以h(x)在[0，π]上为增函数，又h(0)＝0，所以f ′(x)＝x－sin x≥0且不恒为0在[0，π]上恒成立，即f (x)在[0，π]上单调递增，故排除B.故选A. 方法二：易知f (x)为偶函数，且f (0)＝1<＝f .故选A. 3．(2024·宁夏固原一模)已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A.f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ 答案　A 解析　由图知，函数为奇函数，对于B，当x>1时，f (x)＝，易知ex－e－x>0，3－4x<0，则f (x)<0，不满足图象，故B错误；对于C，此函数为偶函数， 故C错误；对于D，当x>1时，f (x)＝＝＝1＋，由反比例函数的性质可知，f (x)在(1，＋∞)上单调递减，故D错误；检验选项A，f (x)＝满足图象，故A正确．故选A. 4．(2024·全国模拟预测)已知函数f (x)＝x＋－2，x∈(0，＋∞)有两个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(0，1) 答案　D 解析　因为f (x)＝x＋－2＝，且f (x)有两个零点，所以方程x2－2x＋m＝0在(0，＋∞)上有两个不同的解，所以解得0<m<1. 5.(2024·湖南模拟)如图，已知函数y＝|x|的图象与函数y＝|x－m|的图象关于直线x＝1对称，则m＝(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 答案　D 解析　依题意，在函数y＝|x|的图象上取点A(0，0)，点A关于直线x＝1的对称点A′(2，0)必在函数y＝|x－m|的图象上，则有|2－m|＝0，解得m＝2，此时函数y＝|x－m|即y＝|x－2|，相当于将函数y＝|x|的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意．故选D. 6．(2024·银川模拟)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5，18) D．(－18，－5) 答案　D 解析　由函数零点存在定理及函数为增函数可知，若函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，只需满足f (2)·f (4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5). 7．(2024·宁夏石嘴山三模)定义在R上的偶函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝ex－1，若关于x的方程f (x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D．(0，e－1) 答案　A 解析　因为f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称， 又f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (x)的图象关于直线x＝0对称， 作出函数y＝f (x)与函数y＝m(x＋1)的图象如图所示， 若关于x的方程f (x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解， 则函数y＝f (x)与函数y＝m(x＋1)的图象有5个交点， 所以解得<m<.故选A. 8．(2024·湖南长沙期中)已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝(　　) A．(16，32－8) B．(16，32) C．(32＋8，48) D．(32，48) 答案　A 解析　作出函数y＝f (x)和函数y＝m的图象如图， 假设两个函数的图象共有4个交点A，B，C，D， 且横坐标分别为x1，x2，x3，x4，由x1<x2<x3<x4，得0<x1<1<x2<2， 由f (x1)＝f (x2)，得|log2x1|＝|log2x2|，则有－log2x1＝log2x2， 所以log2x1＋log2x2＝0，所以x1x2＝1. 由于二次函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4， 则点C，D两点关于直线x＝4对称，所以x3＋x4＝8.则＝8x3. 令x2－8x＋13＝0，解得x＝4－或x＝4＋，所以x3∈(2，4－)， 所以＝8x3∈(16，32－8).故选A. 9．设正实数a，b，c分别满足＝2a，＝log2b，＝log3c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案　C 解析　在同一坐标系中，作出y＝2x，y＝(x>0)，y＝log2x，y＝log3x的图象，如图，由图象得c>b>a. 10．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550—1617)发明了对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数． N 2 3 4 5 11 12 13 14 15 lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　) A．3 B．12 C．13 D．14 答案　C 解析　M31＝a×1034(1≤a<10)，∴lg M31＝lg (a×1034)＝34＋lg a，∴lg M＝∈，又≈1.10，≈1.13，对照对数表可知lg M＝1.11，∴M＝13.故选C. 二、多项选择题 11．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝x3＋x C．y＝sin D．y＝cos 答案　BD 解析　A中函数没有零点，A不符合题意；C中函数y＝sin ＝cos x，其为R上的偶函数，C不符合题意；易知B、D符合题意，选BD. 12．下列关于函数f (x)＝2sin x＋的说法正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于y轴对称 B．函数f (x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f (x)的最小正周期为2π D．函数f (x)的最小值为2 答案　ABD 解析　f (x)的定义域为R，因为f (－x)＝2sin (－x)＋＝＋2sin x＝f (x)，所以f (x)是R上的偶函数，所以函数f (x)的图象关于y轴对称，故A正确；对于任意的x∈R，f (π－x)＝2sin (π－x)＋＝2sin x＋＝f (x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；因为f (π＋x)＝2sin (π＋x)＋＝2－sin x＋＝2sin x＋＝f (x)，所以π为函数f (x)的一个周期，故2π不是函数f (x)的最小正周期，故C错误；设t＝2sin x∈，则f (t)＝t＋，因为t＋≥2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立，所以函数f (x)的最小值为2，故D正确． 13．(2024·湖南怀化二模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2>0 B．x1x2<0 C．ex1＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2>1 答案　BC 解析　依题意，x1＋ex1＝0ex1＝－x1，x2＋ln x2＝0ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标，如图，函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，ex1)与点 (x2，ln x2)关于直线y＝x对称，则x2＝ex1＝－x1>0，于是x1＋x2＝0，x1x2<0，ex1＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)<0，即x1x2－x1＋x2<1，D错误．故选BC. 三、填空题 14．(2024·深圳模拟)若函数f (x)＝－x的零点属于区间(n，n＋1)(n∈N)，则n＝________． 答案　0 解析　因为y＝，y＝－x都是减函数，所以f (x)＝－x是减函数，又f (1)＝－1＝－<0，f (0)＝1>0，所以函数在(0，1)上有唯一零点，所以n＝0. 15．(2024·浙江适应性考试)已知函数f (x)＝g(x)＝－x＋a，若函数F (x)＝f (x)－g(x)有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是________． 答案　(－，0] 解析　由题意设h(x)＝f (x)＋x，则函数F (x)＝f (x)－g(x)的零点即为方程h(x)＝a的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数h(x)的图象以及直线y＝a如图所示： 不妨设x1<x2<x3， 则x1≤0<x2<1<x3，所以a∈(2，4]， 且2<a＝－x12＋4＝－ln x2＋x2＋＝ln ＋＋＝ln x3＋x3＋≤4， 因为y＝ln x＋x＋在(1，＋∞)单调递增，所以x3＝，即x2x3＝1， 所以x1·x2·x3＝x1， 令2＝－x12＋4，x1≤0，解得x1＝－，令4＝－x12＋4，x1≤0，解得x1＝0， 所以x1·x2·x3∈(－，0]. 16．(2024·湖北宜昌阶段练习)已知函数h(x)＝max(x>0)，其中max{p，q}表示p，q中的最大值，若函数h(x)有3个零点，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　令f (x)＝，g(x)＝－x3＋ax－.当x＝e时，f (e)＝0，g(e)＝－e3＋ae－，当－e3＋ae－≤0，即a≤时，x＝e为函数h(x)的零点，当a>时，易知h(x)不可能有3个零点，舍去．当x∈(e，＋∞)时，f (x)＝>0，由a≤知h(x)在区间(e，＋∞)内无零点．当x∈(0，e)时，f (x)无零点，令g(x)＝0，则a＝x2＋，令m(x)＝x2＋，x∈(0，e)，则m′(x)＝2x－＝，令m′(x)＝0，则x＝，m(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，m＝，m(e)＝，所以当a∈时，g(x)在区间(0，e)内有两个零点，此时函数h(x)有三个零点． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$