2025年高考数学二轮复习重点专题训练·函数的极值与最值

2025高考二轮复习重点专题训练·函数的极值与最值 一、单项选择题 1．(2024·江西阶段练习)已知函数f (x)＝x3＋x2＋ax＋2，则“f (x)有极值”是“a<1”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　f ′(x)＝x2＋2x＋a，若f (x)有极值，则f ′(x)＝0有两个不相等的实数根，Δ＝4－4a>0，解得a<1；反之，当a<1时，f ′(x)＝0有两个不相等的实数根，则f (x)有极值．所以“f (x)有极值”是“a<1”的充要条件．故选C. 2．(2024·福建龙岩阶段练习)函数f (x)＝x3－2x＋2的极大值点是(　　) A．x＝2　　　　　　　　 B． C．x＝－2 D． 答案　C 解析　f ′(x)＝x2－2＝(x＋2)(x－2)，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，所以f (x)的极大值点是x＝－2. 3．(2024·浙江模拟预测)函数f (x)＝(x－2)ex－e2x－2的极小值为(　　) A．e2－2 B．－2e2－2 C．2－2e2 D．－2－e2 答案　B 解析　f ′(x)＝(x－1)ex－e2，记g(x)＝(x－1)ex－e2，则g′(x)＝xex，当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．所以当x＝0时，g(x)min＝－1－e2<0，因为g(2)＝0，当x→－∞时，g(x)→－e2，所以当x<2时，g(x)<0，即f ′(x)<0，则f (x)在(－∞，2)上单调递减；当x>2时，g(x)>0，即f ′(x)>0，则f (x)在(2，＋∞)上单调递增．所以当x＝2时，f (x)取得极小值f (2)＝－2e2－2.故选B. 4．(2024·广东湛江阶段练习)已知函数f (x)的定义域为(－1，2)，且在该区间上连续，在(－1，2)上函数f (x)有唯一的极大值f (1)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)有最大值f (1) B．函数f (x)有最大值，但不一定是f (1) C．函数f (x)的最小值也可能是f (1) D．函数f (x)不一定有最大值 答案　D 解析　函数f (x)的定义域为(－1，2)，是开区间，当x趋近于－1或2时，若f (x)趋于正无穷大，则此时函数f (x)没有最大值，故A、B错误，D正确；因为函数f (x)有唯一的极大值f (1)，所以在x＝1附近，函数值小于f (1)，所以函数f (x)的最小值不可能是f (1)，故C错误．故选D. 5．函数f (x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－1，1] C．(－1，2) D．(－1，2] 答案　D 解析　由于f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，又f (－1)＝f (2)＝2，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→－∞时，f (x)→－∞，故画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2].故选D. 6．已知函数f (x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f (x)在的最大值为(　　) A．－ B．2ln 3－ C．－1 D．2ln 2－4 答案　B 解析　∵f (x)＝2ln x＋ax2－3x，则f ′(x)＝＋2ax－3， 由题意可得f ′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，则f (x)＝2ln x＋x2－3x， f ′(x)＝＋x－3＝，令f ′(x)＝0，可得x＝1或x＝2，列表如下： x 1 (1，2) 2 (2，3] f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  所以函数f (x)的极大值为f (1)＝－，所以f (x)在的最大值为f (1)和f (3)中较大的， 又∵f (3)＝2ln 3－， ∴f (3)－f (1)＝2ln 3－＋＝2ln 3－2＝2(ln 3－1)>0，则f (1)<f (3)，所以f (x)max＝f (3)＝2ln 3－.故选B. 7．(2024·云南曲靖模拟预测)已知函数f (x)＝的极值点为x0，则eln x0＝(　　) A．e2 B．2 C． D．1 答案　D 解析　由f (x)＝，得f ′(x)＝，x>0，设g(x)＝－ln x，则g′(x)＝－－<0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减，又g(1)＝1>0，g(3)＝－ln 3<0，由函数零点存在定理知，存在x0∈(1，3)，使得g(x0)＝0，所以当0<x<x0时，g(x)>0，即f ′(x)>0，则函数f (x)单调递增；当x>x0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，则函数f (x)单调递减，且f ′(x0)＝0，所以x0是函数f (x)的极大值点，则＝ln x0，即e＝x0.所以eln x0＝x0×＝1.故选D. 8．(2024·四川内江期中)已知函数f (x)＝，则下列结论不正确的是(　　) A．函数f (x)存在2个不同的零点 B．函数f (x)的极大值为f (－1)＝－e，极小值为f (2)＝ C．若x∈[t，＋∞)时，f (x)max＝，则t的最大值为2 D．若方程f (x)＝k有两个实根，则k∈(－e，0]∪ 答案　B 解析　令f (x)＝＝0，可得x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝，所以函数f (x)存在2个不同的零点，A正确；f (x)的定义域为R，f ′(x)＝＝＝－，令f ′(x)＝0，可得x＝－1或x＝2，当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈(－1，2)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，所以当x＝－1时，函数f (x)取极小值f (－1)＝－e，当x＝2时，函数f (x)取极大值f (2)＝，故B不正确；因为f (2)＝，且当x→＋∞时，f (x)→0，当x→－∞时，f (x)→＋∞，所以作出y＝f (x)的图象如图所示， 可知方程f (x)＝存在另一个解x0，且x0<－1，若当x∈[t，＋∞)时，f (x)max＝，则t∈[x0，2]，所以t的最大值为2，故C正确； 方程f (x)＝k有两个实根等价于y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个不同交点， 结合图象可知k∈(－e，0]∪，D正确．故选B. 二、多项选择题 9.(2024·河北邢台阶段练习)已知f ′(x)是定义域为[－4，6]的函数f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，且f (x)有3个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)有2个极小值点 B．f (x)有3个极大值点 C．f (2)≥0 D．f (－4)，f (6)可以同时小于0 答案　AC 解析　由题图知，f (x)在[－4，－2]和[2，4]上单调递减，在[－2，2]和[4，6]上单调递增，所以f (x)有2个极小值点和1个极大值点，故A正确，B错误，又因为f (x)有3个零点，则f (x)的极大值f (2)必大于等于0，故C正确，若f (－4)，f (6)同时小于0，则f (x)至多有两个零点，不符合题意，故D错误．故选AC. 10．(2024·重庆二模)已知函数f (x)＝(e为自然对数的底数，e≈2.72)，则关于函数f (x)，下列结论正确的是(　　) A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在(0，1)单调递增 D．最小值为1 答案　BC 解析　f (x)＝的定义域为RＸ，f ′(x)＝， 令f ′(x)＝0得x＝0或x＝1， 当x∈(0，1)时，f ′(x)>0，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)<0， 所以f (x)有2个极值点，在(0，1)上单调递增，B、C正确； 由于f (x)＝＝>0恒成立，所以函数f (x)无零点，A错误； 当x→＋∞时，f (x)→0，故函数无最小值，D错误．故选BC. 11．(2024·河南阶段练习)关于函数f (x)＝a ln x＋＋bx，下列说法正确的是(　　) A．若f (x)存在极值点，则b2－4a<0 B．若a<0，则f (x)有且只有一个极值点 C．若f (x)有两个极值点，则ab<0 D．若1是f (x)的极大值点，则a>1 答案　BCD 解析　因为f (x)＝a ln x＋＋bx，x>0，所以f ′(x)＝＋x＋b＝，若f (x)存在极值点，则方程x2＋bx＋a＝0有2个不相等的实数根，且至少有一个根为正根，则或故A错误；若a<0，则b2－4a>0，则方程x2＋bx＋a＝0有2个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＝a<0，故方程x2＋bx＋a＝0恰有1个正根，即f (x)有且只有一个极值点，故B正确；若f (x)有两个极值点，则方程x2＋bx＋a＝0有2个不相等的正根，则从而ab<0，故C正确；若1是f (x)的极大值点，则易知方程x2＋bx＋a＝0有2个不相等的正根1，x3，且x3＝a>1，故D正确．故选BCD. 三、填空题 12．(2024·四川成都模拟预测)若函数f (x)＝(x－a)x＋ln x在(0，＋∞)上无极值点，则a的取值范围为________． 答案　(－∞，2] 解析　由f (x)＝(x－a)x＋ln x，得f ′(x)＝2x－a＋，因为f (x)＝(x－a)x＋ln x在(0，＋∞)上无极值点，所以f (x)在(0，＋∞)内单调，因为当x→0时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，所以f (x)在(0，＋∞)单调递增，则f ′(x)＝2x－a＋≥0但不恒为0在(0，＋∞)恒成立，即a≤，令g(x)＝2x＋(x>0)，则g′(x)＝2－＝(x>0)，当0<x<时，g′(x)<0，当x>时，g′(x)>0，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)min＝g＝2×＋＝2，所以a≤2，即a的取值范围为(－∞，2]. 13．已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线y＝1＋ln x上，则线段MN的长度的最小值为________． 答案　－1 解析　由题可得圆心C(0，2)，圆C的半径r＝1. 设N(t，1＋ln t)(t>0)，连接CN， 令f (t)＝|CN|2，则f (t)＝t2＋(1－ln t)2(t>0)， 所以f ′(t)＝2t＋2(1－ln t)＝. 令φ(t)＝t2＋ln t－1(t>0)， 易知函数φ(t)在(0，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝0， 所以当0<t<1时，f ′(t)<0；当t>1时，f ′(t)>0， 所以f (t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (t)min＝f (1)＝2. 所以|MN|≥|CN|－1≥－1， 所以线段MN的长度的最小值为－1. 14.(2024·长春市普高联谊校联考)如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在公路AB上找一点P，分别向C，D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ，则当PC＋PD最小时，AP＝________ km. 答案　12 解析　由题意得，PC＋PD＝＋＝＋(0<θ<)，令y＝＋(0<θ<)，则y′＝，令y′＝0，则tanθ＝，当y′>0时，tan θ>，当y′<0时，0<tan θ<.故当tan θ＝时，y取得最小值，此时AP＝＝＝12(km). 15.(2024·安徽芜湖期中)如图所示为函数f (x)的图象，f ′(x)是f (x)的导函数，x＝和x＝2分别为f (x)的极大值点和极小值点，则不等式<0的解集为________． 答案　∪ 解析　根据函数f (x)的图象，由f ′(x)>0可得x<或x>2，由f ′(x)<0可得<x<2.<0(2x－3)f ′(x)<0，则即解得<x<2；或即解得x<.综上可得，不等式<0的解集为∪. 四、解答题 16．(2024·南通调研)设f (x)＝a ln x＋－x＋1，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处取得极值． (1)求a； (2)求函数f (x)的单调区间和极值． 解析　(1)∵f (x)＝a ln x＋－x＋1，x＞0，则f ′(x)＝－－，又∵f ′(1)＝0，故可得a－2＝0，解得a＝2，经检验符合题意． (2)由(1)可知，f (x)＝2ln x＋－x＋1，f ′(x)＝－，令f ′(x)＝0，解得x1＝，x2＝1，又∵函数定义域为(0，＋∞)，故可得f (x)的单调递减区间为和(1，＋∞)，单调递增区间为，f (x)的极大值为f (1)＝0，f (x)的极小值为f ＝2－2ln 3. 17．(2024·江西红色七校模拟)已知函数f (x)＝x－a ln x－b(a，b∈RＸ，a≠0). (1)若a＝b＝1，求f (x)的极值； (2)若f (x)≥0，求ab的最大值． 解析　(1)当a＝b＝1时，f (x)＝x－ln x－1，定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝1－＝，则当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增， 所以当x＝1时，f (x)取得极小值，极小值为f (1)＝0，无极大值． (2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝(a≠0)， 当a<0时，f ′(x)>0恒成立，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 当x趋近于0时，f (x)趋近于－∞，与f (x)≥0矛盾． 当a>0时，若x∈(0，a)，则f ′(x)<0，f (x)单调递减， 若x∈(a，＋∞)，则f ′(x)>0，f (x)单调递增， 所以当x＝a时，f (x)取得最小值，最小值为f (a)＝a－a ln a－b≥0， 即a－a ln a≥b，则ab≤a2－a2ln a(a>0)，令g(x)＝x2－x2ln x(x>0)， g′(x)＝2x－2x ln x－x＝x－2x ln x＝x(1－2ln x)， 则当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以当x＝时，g(x)取得最大值，最大值为g()＝e－＝， 即当a＝，b＝时，ab取最大值，为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练·函数的极值与最值 一、单项选择题 1．(2024·江西阶段练习)已知函数f (x)＝x3＋x2＋ax＋2，则“f (x)有极值”是“a<1”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(2024·福建龙岩阶段练习)函数f (x)＝x3－2x＋2的极大值点是(　　) A．x＝2　　　　　　　　 B． C．x＝－2 D． 3．(2024·浙江模拟预测)函数f (x)＝(x－2)ex－e2x－2的极小值为(　　) A．e2－2 B．－2e2－2 C．2－2e2 D．－2－e2 4．(2024·广东湛江阶段练习)已知函数f (x)的定义域为(－1，2)，且在该区间上连续，在(－1，2)上函数f (x)有唯一的极大值f (1)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)有最大值f (1) B．函数f (x)有最大值，但不一定是f (1) C．函数f (x)的最小值也可能是f (1) D．函数f (x)不一定有最大值 5．函数f (x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－1，1] C．(－1，2) D．(－1，2] 6．已知函数f (x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f (x)在的最大值为(　　) A．－ B．2ln 3－ C．－1 D．2ln 2－4 7．(2024·云南曲靖模拟预测)已知函数f (x)＝的极值点为x0，则eln x0＝(　　) A．e2 B．2 C． D．1 8．(2024·四川内江期中)已知函数f (x)＝，则下列结论不正确的是(　　) A．函数f (x)存在2个不同的零点 B．函数f (x)的极大值为f (－1)＝－e，极小值为f (2)＝ C．若x∈[t，＋∞)时，f (x)max＝，则t的最大值为2 D．若方程f (x)＝k有两个实根，则k∈(－e，0]∪ 二、多项选择题 9.(2024·河北邢台阶段练习)已知f ′(x)是定义域为[－4，6]的函数f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，且f (x)有3个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)有2个极小值点 B．f (x)有3个极大值点 C．f (2)≥0 D．f (－4)，f (6)可以同时小于0 10．(2024·重庆二模)已知函数f (x)＝(e为自然对数的底数，e≈2.72)，则关于函数f (x)，下列结论正确的是(　　) A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在(0，1)单调递增 D．最小值为1 11．(2024·河南阶段练习)关于函数f (x)＝a ln x＋＋bx，下列说法正确的是(　　) A．若f (x)存在极值点，则b2－4a<0 B．若a<0，则f (x)有且只有一个极值点 C．若f (x)有两个极值点，则ab<0 D．若1是f (x)的极大值点，则a>1 三、填空题 12．(2024·四川成都模拟预测)若函数f (x)＝(x－a)x＋ln x在(0，＋∞)上无极值点，则a的取值范围为________． 13．已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线y＝1＋ln x上，则线段MN的长度的最小值为________． 14.(2024·长春市普高联谊校联考)如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在公路AB上找一点P，分别向C，D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ，则当PC＋PD最小时，AP＝________ km. 15.(2024·安徽芜湖期中)如图所示为函数f (x)的图象，f ′(x)是f (x)的导函数，x＝和x＝2分别为f (x)的极大值点和极小值点，则不等式<0的解集为________． 四、解答题 16．(2024·南通调研)设f (x)＝a ln x＋－x＋1，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处取得极值． (1)求a； (2)求函数f (x)的单调区间和极值． 17．(2024·江西红色七校模拟)已知函数f (x)＝x－a ln x－b(a，b∈RＸ，a≠0). (1)若a＝b＝1，求f (x)的极值； (2)若f (x)≥0，求ab的最大值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$