2025年高考数学二轮复习重点专题训练·导数的几何意义与单调性

2025高考二轮复习重点专题训练 导数的几何意义与单调性 一、单项选择题 1．(2024·昆明市一中模拟)已知O为坐标原点，曲线C：y＝log2x在点A(1，0)处的切线交y轴于点B，则S△OAB＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．ln 2 D． 2．(2024·江西红色七校联考)吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝时，气球的瞬时膨胀率为(　　) A． dm/L B． dm/L C．3 L/dm D．4π L/dm 3．(2024·福建福州模拟预测)已知函数f (x)是偶函数，当x>0时，f (x)＝x3＋2x，则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为(　　) A．y＝－5x－2 B．y＝－5x－8 C．y＝5x＋2 D．y＝5x＋8 4．(2024·安徽三模)若过点(a，2)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，e2) B．(－∞，ln 2) C．(0，e2) D．(0，ln 2) 5．(2024·江西赣州阶段练习)已知函数f (x)＝x3－6x2＋9x－7，直线l过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的斜率为(　　) A．24 B．24或－3 C．45 D．0或45 6．(2024·四川遂宁阶段练习)函数f (x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 7．(2024·江西抚州阶段练习)已知函数g(x)＝(2x－1)ex－ax2＋a在(0，＋∞)上单调递增，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(0，2] D．(0，4] 8．(2024·苏北四市调研)已知f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝ex＋sin x，则不等式f (2x－1)<eπ的解集是(　　) A． B． C． D． 9．(2024·河南名校联考)已知函数f (x)＝sin x＋a cos x在上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1－，＋∞) D．[－1，＋∞) 二、多项选择题 10．(2024·广州二模)已知函数f (x)＝ln x－，则(　　) A．f (x)的定义域为(0，＋∞) B．f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线斜率为 C．f ＋f (x)＝0 D．f (x)有两个零点x1，x2，且x1x2＝1 11．(2024·江苏南通模拟)已知O为坐标原点，曲线y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝ex相切于点Q(x2，y2)，则(　　) A．x1y2＝1 B．＋x2＝0 C．·的最大值为0 D．当x2<0时，x1＋x2>e2－2 三、填空题 12．(2024·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则l的方程为________． 13．(2024·山东滨州二模)若函数f (x)＝kx2－ex在区间(0，＋∞)上单调递减，则k的取值范围是________. 14．(2024·河北省高三质量监测)牛顿法求函数y＝f (x)零点的操作过程是：先在x轴找初始点P1(x1，0)，然后作曲线y＝f (x)在点Q1(x1，f (x1))处的切线，切线与x轴交于点P2(x2，0)，再作曲线y＝f (x)在点Q2(x2，f (x2))处的切线，切线与x轴交于点P3(x3，0)，再作曲线y＝f (x)在点Q3(x3，f (x3))处的切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数f (x)＝2x，初始点为P1(0，0)，若按上述过程操作，则所得前n个三角形△P1Q1P2，△P2Q2P3，…，△PnQnPn＋1的面积和为________． 四、解答题 15．(2024·南通模拟)已知函数f (x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0). (1)若x＝1是函数y＝f (x)的极值点，求a的值； (2)求函数y＝f (x)的单调区间． 16．(2024·青岛一模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x. (1)若a＝1，曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论f (x)的单调性． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 导数的几何意义与单调性 一、单项选择题 1．(2024·昆明市一中模拟)已知O为坐标原点，曲线C：y＝log2x在点A(1，0)处的切线交y轴于点B，则S△OAB＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．ln 2 D． 答案　A 解析　因为y′＝，所以点A处切线方程为y－0＝(x－1)，令x＝0，得y＝－，所以B的坐标为，则S△OAB＝××1＝.故选A. 2．(2024·江西红色七校联考)吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝时，气球的瞬时膨胀率为(　　) A． dm/L B． dm/L C．3 L/dm D．4π L/dm 答案　A 解析　气球的平均膨胀率为，因为r(V)＝，所以r′(V)＝·，当V＝时，气球的瞬时膨胀率为r′＝×＝ (dm/L). 3．(2024·福建福州模拟预测)已知函数f (x)是偶函数，当x>0时，f (x)＝x3＋2x，则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为(　　) A．y＝－5x－2 B．y＝－5x－8 C．y＝5x＋2 D．y＝5x＋8 答案　A 解析　当x>0时，f (x)＝x3＋2x，函数f (x)是偶函数，当x<0时，－x>0，f (x)＝f (－x)＝－x3－2x，∴当x<0时，f ′(x)＝－3x2－2，∴f ′(－1)＝－3－2＝－5，即曲线y＝f (x)在x＝－1处切线的斜率为－5.而f (－1)＝3，所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－3＝－5(x＋1)，即y＝－5x－2.故选A. 4．(2024·安徽三模)若过点(a，2)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，e2) B．(－∞，ln 2) C．(0，e2) D．(0，ln 2) 答案　C 解析　在曲线y＝ln x上任取一点P(t，ln t)，对函数y＝ln x求导，得y′＝， 所以曲线y＝ln x在点P处的切线方程为y－ln t＝(x－t). 由题意可知，点(a，2)在直线y－ln t＝(x－t)上，可得a＝3t－t ln t. 令f (t)＝3t－t ln t，t∈(0，＋∞)，则f ′(t)＝3－ln t－1＝2－ln t. 当t∈(e2，＋∞)时，f ′(t)<0，f (t)单调递减，当t∈(0，e2)时，f ′(t)>0，f (t)单调递增， 所以f (t)max＝f (e2)＝e2，且当t∈(0，e3)时，f (t)>0，当t∈(e3，＋∞)时，f (t)<0，当t→＋∞时，f (t)→－∞， 又直线y＝a与曲线y＝f (t)有两个交点，所以a的取值范围为(0，e2). 5．(2024·江西赣州阶段练习)已知函数f (x)＝x3－6x2＋9x－7，直线l过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的斜率为(　　) A．24 B．24或－3 C．45 D．0或45 答案　B 解析　由f (x)＝x3－6x2＋9x－7，得f ′(x)＝3x2－12x＋9，设直线l与曲线y＝f (x)相切的切点为P(x0，y0)，则曲线y＝f (x)在P(x0，y0)处的切线斜率为f ′(x0)＝3x02－12x0＋9，所以切线方程为y－(x03－6x02＋9x0－7)＝(3x02－12x0＋9)(x－x0)，将点(0，1)代入并整理，得x03－3x02＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，所以直线l的斜率为24或－3.故选B. 6．(2024·四川遂宁阶段练习)函数f (x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案　D 解析　依题意f ′(x)＝－ln x＋＋a－1，因为函数f (x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，所以f ′(x)在(1，＋∞)上有变号零点，由f ′(x)＝0，得a＝ln x－＋1，令z(x)＝ln x－＋1，则z′(x)＝＋，当x>1时，z′(x)>0，z(x)单调递增，又z(1)＝0，所以z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).故选D. 7．(2024·江西抚州阶段练习)已知函数g(x)＝(2x－1)ex－ax2＋a在(0，＋∞)上单调递增，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(0，2] D．(0，4] 答案　C 解析　g′(x)＝(2x＋1)ex－2ax，由题意得g′(x)≥0且不恒为零在(0，＋∞)上恒成立，即2a≤，设f (x)＝(x>0)，则f ′(x)＝，令f ′(x)>0，解得x>，令f ′(x)<0，解得0<x<，故f (x)在单调递减，在单调递增，故f (x)min＝f ＝4，故a≤2，所以正实数a∈(0，2].故选C. 8．(2024·苏北四市调研)已知f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝ex＋sin x，则不等式f (2x－1)<eπ的解集是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　当x≥0时，f ′(x)＝ex＋cos x，因为ex≥1，cos x∈[－1，1]，所以当x≥0时，f ′(x)＝ex＋cos x≥0但不恒为零恒成立，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，又f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，f (－π)＝f (π)＝eπ，所以由f (2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x∈. 9．(2024·河南名校联考)已知函数f (x)＝sin x＋a cos x在上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1－，＋∞) D．[－1，＋∞) 答案　B 解析　由题意，f ′(x)＝cos x－a sin x≤0但不恒为零在上恒成立，即a≥＝，因为y＝tan x在上单调递增，所以y＝tan x>1，所以当x∈时，0<<1，所以a≥1. 二、多项选择题 10．(2024·广州二模)已知函数f (x)＝ln x－，则(　　) A．f (x)的定义域为(0，＋∞) B．f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线斜率为 C．f ＋f (x)＝0 D．f (x)有两个零点x1，x2，且x1x2＝1 答案　BCD 解析　易知f (x)的定义域为{x|x>0且x≠1}，A错误．f ′(x)＝＋，f ′(2)＝＋2＝，B正确．f ＝ln －＝－ln x－＝－ln x＋＝－＝－f (x)，C正确．f ′(x)>0，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递增，当x→1＋时，f (x)→－∞；当x→＋∞时，f (x)→＋∞，故f (x)在(1，＋∞)有且仅有一个零点x0，又由C知也是f (x)的零点，∴f (x)有两个零点x1，x2，且x1x2＝x0·＝1，D正确．故选BCD. 11．(2024·江苏南通模拟)已知O为坐标原点，曲线y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝ex相切于点Q(x2，y2)，则(　　) A．x1y2＝1 B．＋x2＝0 C．·的最大值为0 D．当x2<0时，x1＋x2>e2－2 答案　AB 解析　因为y＝ln x，所以y′＝，又P(x1，ln x1)，所以在点P处切线的斜率为， 切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x－1＋ln x1， 因为y＝ex，所以y′＝ex，又Q(x2，)，所以在点Q处切线的斜率为， 切线方程为y－＝ (x－x2)，即y＝ x＋ (1－x2)， 由题意上述两切线重合， 所以＝1，即x1y2＝1，A正确； 当x1＝1时，两切线不重合，不合题意， 所以－x2－1＝(1－x2)，x1≠1，－x1x2－x1＝1－x2， 所以x1x2－x2＋x1＋1＝0，x2＋＝0，B正确； ·＝x1x2＋y1y2＝x1(－ln x1)＋(ln x1)ex2＝－x1ln x1＋＝ln x1， 当0<x1<1时，－x1>0，ln x1<0，则·<0，当x1>1时，－x1<0，ln x1>0，则·<0，又x1≠1，所以·<0，C错误； 设f (x)＝ex(－x＋1)，x<0， 则f ′(x)＝ex(－x)>0， 所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，所以0<f (x)<1，所以0< (1－x2)<1， 所以ln x1－1∈(0，1)，∴e<x1<e2， 记g(x)＝x－ln x(e<x<e2)，则g′(x)＝1－＝>0， 所以函数g(x)在(e，e2)上单调递增，则g(x)<g(e2)＝e2－2，所以x1＋x2＝x1－ln x1<e2－2，D错误．故选AB. 三、填空题 12．(2024·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则l的方程为________． 答案　y＝ex－1或y＝x 解析　设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝＝， 整理得(a－1)(ea－1)＝0，解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；当a＝0时，l的方程为y＝x. 13．(2024·山东滨州二模)若函数f (x)＝kx2－ex在区间(0，＋∞)上单调递减，则k的取值范围是________. 答案　 解析　函数f (x)＝kx2－ex，求导得f ′(x)＝2kx－ex，由f (x)在(0，＋∞)上单调递减，得x∈(0，＋∞)，f ′(x)≤0但不恒为零，即2kx－ex≤0，即2k≤，令g(x)＝，x>0，求导得g′(x)＝，当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，因此函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(1)＝e，则2k≤e，解得k≤，所以k的取值范围是. 14．(2024·河北省高三质量监测)牛顿法求函数y＝f (x)零点的操作过程是：先在x轴找初始点P1(x1，0)，然后作曲线y＝f (x)在点Q1(x1，f (x1))处的切线，切线与x轴交于点P2(x2，0)，再作曲线y＝f (x)在点Q2(x2，f (x2))处的切线，切线与x轴交于点P3(x3，0)，再作曲线y＝f (x)在点Q3(x3，f (x3))处的切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数f (x)＝2x，初始点为P1(0，0)，若按上述过程操作，则所得前n个三角形△P1Q1P2，△P2Q2P3，…，△PnQnPn＋1的面积和为________． 答案　log4e 解析　设Pn(xn，0)，则Qn(xn，f (xn))，因为f (x)＝2x， 所以f ′(x)＝2x ln 2， 则Qn(xn，f (xn))处的切线为y＝2xnln 2(x－xn)＋2xn， 切线与x轴相交于点Pn＋1(xn＋1，0)， 则xn＋1－xn＝－，由x1＝0得{xn}是首项为0，公差为－的等差数列，所以xn＝－， 所以P1P2＝P2P3＝…＝PnPn＋1＝， f (xn)＝2＝， 所以S△P1Q1P2＋S△P2Q2P3＋…＋S△PnQnPn＋1 ＝× ＝ ＝·＝· ＝log4e. 四、解答题 15．(2024·南通模拟)已知函数f (x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0). (1)若x＝1是函数y＝f (x)的极值点，求a的值； (2)求函数y＝f (x)的单调区间． 解析　(1)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝， 因为x＝1是函数y＝f (x)的极值点，所以f ′(1)＝1＋a－2a2＝0，解得a＝－或a＝1， 因为a≥0，所以a＝1. 此时f ′(x)＝＝， 由f ′(x)>0，得0<x<1，则f (x)在(0，1)上单调递增， 由f ′(x)<0，得x>1，则f (x)在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是函数的极大值点，所以a＝1. (2)若a＝0，则f ′(x)＝>0，函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 若a>0，则f ′(x)＝＝， 因为a>0，x>0，则2ax＋1>0， 由f ′(x)>0，结合函数的定义域，可得0<x<， 由f ′(x)<0，可得x>， ∴函数f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上可知，当a＝0时，函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，函数f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．(2024·青岛一模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x. (1)若a＝1，曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论f (x)的单调性． 解析　(1)当a＝1时，f ′(x)＝，由f ′(x0)＝1，解得x0＝1， 又因为f (1)＝－，所以切线方程为x－y－＝0. (2)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝， 当a≤0时，得f ′(x)>0恒成立，f (x)在(0，＋∞)单调递增． 当a>0时，令g(x)＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4. ①当Δ≤0，即0<a≤2时，f ′(x)≥0但不恒为零恒成立，f (x)在(0，＋∞)单调递增． ②当Δ>0，即a>2时， f ′(x)＝， 由f ′(x)>0，得0<x<或x>， 由f ′(x)<0，得<x<， 所以f (x)在，(，＋∞)单调递增， 在单调递减． 综上，当a≤2时，f (x)在(0，＋∞)单调递增， 当a>2时，f (x)在，(，＋∞)单调递增，在单调递减． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$