2025年高考数学二轮复习重点专题训练·“同构”在导数中的应用

2025高考二轮复习重点专题训练 “同构”在导数中的应用 一、单项选择题 1．(2024·长郡中学一模)已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是(　　) A．α＞β　　　　　　　　 B．α2＞β2 C．α＜β D．α＋β＞0 2．(2024·湖北宜昌阶段练习)正数x，y满足“x<y”的充要条件是(　　) A．< B．sin x<sin y C．ex－ey>ln x－ln y D．x－cos y<y－cos x 3．(2024·宁夏银川三模)设a＝90.2，b＝30.31，c＝3ln 1.3，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 4．(2024·重庆阶段练习)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，且f (x)为偶函数．若f ＝－2，3f (x)cos x＋f ′(x)sin x>0，则不等式f cos3x－>0的解集为(　　) A． B． C． D． 5．(2024·江苏无锡阶段练习)已知函数f (x)＝a ln (x＋1)＋x2，在区间(2，3)内任取两个实数x1，x2，且x1≠x2，若不等式>1恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－9，＋∞) B．[－20，＋∞) C．(－9，＋∞) D．[7，＋∞) 6．(2024·山东枣庄阶段练习)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)<ex，则不等式f (x)>xex的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 7．(2024·河南阶段练习)若关于x的方程x2＝ex(ex－ax)存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8．(2024·河北三模)已知a，b，c∈(1，＋∞)，＝，＝，＝，则下列大小关系正确的是(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>c>a D．c>a>b 二、多项选择题 9．(2024·福建泉州阶段练习)若奇函数f (x)在R上可导，且当x>0时，满足f (x)－xf ′(x)<0，f (1)＝0，则(　　) A．f ′(1)<0 B．f (4)－2f (2)>0 C．f (x)在(1，＋∞)上单调递增 D．不等式f (x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．(2024·江西阶段练习)偶函数f (x)满足对于任意x∈，有f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，其中f ′(x)为f (x)的导函数，则下列不等式成立的是(　　) A．2f <f (0) B．f >f C．f >f D．－f >－f (0) 11．(2024·安徽滁州期中)已知函数f (x)的定义域为R，其导函数为f ′(x)，且对任意的x∈R，都有f (x)＋2f ′(x)>0，则下列正确的是(　　) A．f (ln 2)<f (0) B．f (ln 2)<f (1) C．f (2)<f (1) D．f (2)<ef (4) 三、填空题 12．(2024·福建厦门三模)已知奇函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，f (1)＝2，当x>0时，xf ′(x)＋f (x)>0，则使不等式xf (x)>2成立的x的取值范围是________． 13．(2024·河北邢台二模)若a＝，b＝tan ，c＝ln ，则a，b，c的大小关系是________(请用“<”连接). 14．(2024·山东期中)若ex－ax≥－x＋ln (ax)，则实数a的取值范围为________． 15．(2024·上海阶段练习)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f ′(x)，且当x<0时，2f (x)＋xf ′(x)<0，则不等式(x－2 023)2f (x－2 023)－f (－1)>0的解集为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 “同构”在导数中的应用 一、单项选择题 1．(2024·长郡中学一模)已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是(　　) A．α＞β　　　　　　　　 B．α2＞β2 C．α＜β D．α＋β＞0 答案　B 解析　构造函数f (x)＝x sin x，x∈， 则f ′(x)＝sin x＋x cos x. 当x∈时，f ′(x)≥0但不恒为零，f (x)单调递增， 当x∈时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 易知f (x)为偶函数， ∴αsin α－βsin β＞0αsin α＞βsin βf (α)＞f (β)f (|α|)＞f (|β|)|α|＞|β|α2＞β2.故选B. 2．(2024·湖北宜昌阶段练习)正数x，y满足“x<y”的充要条件是(　　) A．< B．sin x<sin y C．ex－ey>ln x－ln y D．x－cos y<y－cos x 答案　D 解析　当0<x<y时，>，必要性不成立，故A错误；当x＝，y＝π时，0<x<y，但sin x＝sin ＝1>0＝sin π＝sin y，必要性不成立，故B错误；令函数f (x)＝ex－ln x，则f ′(x)＝ex－，由f ′(x)＝ex－在区间(0，＋∞)上单调递增，且f ′＝－2<0，f ′(1)＝e－1>0，可知存在x0∈，使得f ′(x0)＝0，即f (x)＝ex－ln x在区间(0，＋∞)上不单调，必要性和充分性均不成立，故C错误；令函数g(x)＝x＋cos x，x>0，有g′(x)＝1－sin x≥0但不恒为零恒成立，因此g(x)＝x＋cos x是(0，＋∞)上的增函数，故0<x<yg(x)<g(y)x＋cos x<y＋cos yx－cos y<y－cos x，故D正确．故选D. 3．(2024·宁夏银川三模)设a＝90.2，b＝30.31，c＝3ln 1.3，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 答案　A 解析　根据题意，构造函数f (x)＝x－1－ln x，则f ′(x)＝，当x≥1时，f ′(x)≥0但不恒为零，所以f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，因此可得f (1.3)>f (1)＝0，即f (1.3)＝1.3－1－ln 1.3＝0.3－ln 1.3>0，所以0.3>ln 1.3，又函数y＝3x为增函数，可得30.31>30.3>3ln 1.3，即b>c，因为a＝90.2＝30.4>30.31＝b，所以c<b<a.故选A. 4．(2024·重庆阶段练习)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，且f (x)为偶函数．若f ＝－2，3f (x)cos x＋f ′(x)sin x>0，则不等式f cos3x－>0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　令g(x)＝f (x)sin3x， 则g′(x)＝3f (x)sin2x cosx＋f ′(x)sin3x＝sin2x[3f (x)cosx＋f ′(x)sin x]≥0，且g′(x)不恒为0，所以g(x)在R上单调递增． 又因为f (x)偶函数，所以f ＝f ＝－2，所以g＝f ＝. 又g＝f sin3＝f cos3x， 所以不等式f cos3x－>0等价于g>g， 根据函数的单调性可知x＋>－，解得x>－， 所以不等式f cos3x－>0的解集为.故选B. 5．(2024·江苏无锡阶段练习)已知函数f (x)＝a ln (x＋1)＋x2，在区间(2，3)内任取两个实数x1，x2，且x1≠x2，若不等式>1恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－9，＋∞) B．[－20，＋∞) C．(－9，＋∞) D．[7，＋∞) 答案　A 解析　对任意的x1，x2∈(2，3)，且x1≠x2，>1， 则>0，令g(x)＝f (x)－x，则>0， 由单调性的定义知g(x)在(2，3)上单调递增，又g(x)＝a ln (x＋1)＋x2－x，则g′(x)≥0且不恒为零在(2，3)上恒成立，即＋2x－1≥0，也即a≥－(2x－1)(x＋1)＝－2x2－x＋1， 记h(x)＝－2x2－x＋1，因为h(x)图象的对称轴为x＝－，所以h(x)在(2，3)上单调递减， 所以h(x)<h(2)＝－8－2＋1＝－9，所以a≥－9，即实数a的取值范围为[－9，＋∞). 故选A. 6．(2024·山东枣庄阶段练习)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)<ex，则不等式f (x)>xex的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　设F (x)＝－x，因为f ′(x)－f (x)<ex，所以F ′(x)＝－1＝<0，故F (x)＝－x在R上单调递减，又f (1)＝e，故F (1)＝－1＝0，故当x>1时，F (x)<0，当x<1时，F (x)>0，f (x)>xex－x>0F (x)>0，故f (x)>xex的解集为(－∞，1).故选A. 7．(2024·河南阶段练习)若关于x的方程x2＝ex(ex－ax)存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　关于x的方程x2＝ex(ex－ax)存在三个不等的实数根，等价于方程＋a－1＝0存在三个不等的实数根，令t＝，则t′＝，由t′>0得x<1，由t′<0得x>1，所以t＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则t<，且当x<0时t<0，当x>0时t>0，当x→－∞时，t→－∞，当x→＋∞时，t→0.方程t2＋at－1＝0，Δ＝a2＋4>0，方程有两个不等的实数根，且两根之积为－1，则方程t2＋at－1＝0有一正根一负根，且正根位于区间上，所以＋a·－1>0，解得a>e－，所以a的取值范围为.故选B. 8．(2024·河北三模)已知a，b，c∈(1，＋∞)，＝，＝，＝，则下列大小关系正确的是(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>c>a D．c>a>b 答案　B 解析　设f (x)＝x ln x(x>1)，g(x)＝(18－x)ln x(x≥10)，因为＝，＝，＝，所以a ln a＝8ln 10，b ln b＝7ln 11，c ln c＝6ln 12，即f (a)＝g(10)，f (b)＝g(11)，f (c)＝g(12).又g′(x)＝(18－x)′ln x＋(18－x)(ln x)′＝－ln x＋－1，设t(x)＝－ln x＋－1，则t′(x)＝－－<0，故g′(x)在[10，＋∞)上单调递减，g′(x)≤g′(10)<0，所以g(x)在[10，＋∞)上单调递减，所以g(10)>g(11)>g(12)，即f (a)>f (b)>f (c).又f ′(x)＝ln x＋1，当x>1时，f ′(x)>0，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以a>b>c.故选B. 二、多项选择题 9．(2024·福建泉州阶段练习)若奇函数f (x)在R上可导，且当x>0时，满足f (x)－xf ′(x)<0，f (1)＝0，则(　　) A．f ′(1)<0 B．f (4)－2f (2)>0 C．f (x)在(1，＋∞)上单调递增 D．不等式f (x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　BC 解析　令x＝1，则f (1)－f ′(1)<0，又f (1)＝0，所以f ′(1)>0，所以A错误；当x>0时，构造函数g(x)＝，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，所以g(4)>g(2)，所以>，即f (4)－2f (2)>0，所以B正确；当x>0时，f (x)－xf ′(x)<0，所以f ′(x)>＝g(x)，由g(1)＝＝0，又g(x)在(0，＋∞)单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0，故f ′(x)>g(x)>0，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以C正确；由B、C可知，当x>1时，g(x)>0，当0<x<1时，g(x)<0，即当x>0时，f (x)在(0，1)为负，在(1，＋∞)为正，由f (x)为奇函数，所以当x<0时，f (x)在(－∞，－1)为负，在(－1，0)为正，所以不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，所以D错误．故选BC. 10．(2024·江西阶段练习)偶函数f (x)满足对于任意x∈，有f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，其中f ′(x)为f (x)的导函数，则下列不等式成立的是(　　) A．2f <f (0) B．f >f C．f >f D．－f >－f (0) 答案　BC 解析　∵偶函数f (x)满足对于任意x∈，有f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，∴令g(x)＝，则当x∈时，g′(x)＝＝>0，∴g(x)在上单调递增，∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，又当x∈时，g(－x)＝＝＝g(x)，故g(x)在上是偶函数，∴g>g(0)，即g>g(0)，∴>，即2f >f (0)，故A错误；∵g>g，即>，∴f >f ，故B正确；∵g>g＝g，即>，∴f >f ，故C正确；∵g＝g>g(0)，即>，∴f >f (0)，－f <－f (0)，故D错误． 11．(2024·安徽滁州期中)已知函数f (x)的定义域为R，其导函数为f ′(x)，且对任意的x∈R，都有f (x)＋2f ′(x)>0，则下列正确的是(　　) A．f (ln 2)<f (0) B．f (ln 2)<f (1) C．f (2)<f (1) D．f (2)<ef (4) 答案　BD 解析　令g(x)＝ef (x)，所以g′(x)＝ef (x)＋ef ′(x)＝e[f (x)＋2f ′(x)]，因为f (x)＋2f ′(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(0)<g(ln 2)<g(1)<g(2)<g(4)，即f (0)<f (ln 2)<f (1)<ef (2)<e2f (4)，则f (2)>f (1)，f (2)<ef (4)，故A、C错误，B、D正确．故选BD. 三、填空题 12．(2024·福建厦门三模)已知奇函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，f (1)＝2，当x>0时，xf ′(x)＋f (x)>0，则使不等式xf (x)>2成立的x的取值范围是________． 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　令F (x)＝xf (x)，则F ′(x)＝xf ′(x)＋f (x)，故当x>0时，F ′(x)>0，则F (x)单调递增， 因为f (x)是奇函数，所以f (x)＝－f (－x)， 所以F (－x)＝(－x)f (－x)＝－x[－f (x)]＝xf (x)＝F (x)， 所以F (x)为偶函数，图象关于y轴对称， 因为f (1)＝2，所以F (1)＝f (1)＝2，所以F (－1)＝2， 所以使xf (x)>2成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 13．(2024·河北邢台二模)若a＝，b＝tan ，c＝ln ，则a，b，c的大小关系是________(请用“<”连接). 答案　c<a<b 解析　令函数f (x)＝tan x－x，x∈(0，1)，得f ′(x)＝－1＝－1>0，即函数f (x)在(0，1)上单调递增，f (x)>f (0)＝0，则f >0，即b＝tan>>＝a，令函数g(x)＝ln (x＋1)－x，x∈(0，1)，得g′(x)＝－1<0，即函数g(x)在(0，1)上单调递减，g(x)<g(0)＝0，则g<0，即c＝ln <<＝a，所以a，b，c的大小关系是c<a<b. 14．(2024·山东期中)若ex－ax≥－x＋ln (ax)，则实数a的取值范围为________． 答案　(0，e] 解析　不等式ex－ax≥－x＋ln (ax)可化为ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax)， 设g(x)＝ex＋x，则g′(x)＝ex＋1>0，即g(x)在R上单调递增， 因为g(x)≥g(ln (ax))，所以x≥ln (ax)恒成立， 根据对数函数的性质可得a>0， 所以x≥ln (ax)＝ln a＋ln x，所以ln a≤x－ln x恒成立． 令f (x)＝x－ln x，则f ′(x)＝1－， 当0<x<1时，f ′(x)<0，即f (x)单调递减；当x>1时，f ′(x)>0，即f (x)单调递增． 所以f (x)≥f (1)＝1，所以ln a≤1，即a≤e，又a>0， 所以a的取值范围为(0，e]. 15．(2024·上海阶段练习)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f ′(x)，且当x<0时，2f (x)＋xf ′(x)<0，则不等式(x－2 023)2f (x－2 023)－f (－1)>0的解集为________． 答案　(2 022，2 024) 解析　令F (x)＝x2f (x)，则F ′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)＝x[2f (x)＋xf ′(x)]， 当x<0时，2f (x)＋xf ′(x)<0， 所以当x<0时，F ′(x)＝x[2f (x)＋xf ′(x)]>0，即F (x)在(－∞，0)上单调递增． 由题意f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (－x)＝f (x)，又F (－x)＝(－x)2f (－x)＝x2f (x)＝F (x)， 所以F (x)是偶函数，所以F (x)在(0，＋∞)上单调递减， 而F (x－2 023)＝(x－2 023)2f (x－2 023)，F (－1)＝(－1)2f (－1)＝f (－1)， 即原不等式等价于F (x－2 023)>F (－1)，所以|x－2 023|<1，所以2 022<x<2 024. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$