10.1 二元一次方程组的概念 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.1 二元一次方程组的概念 一、知识要点 1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 2、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 方法总结： （1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 3、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 方法总结：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 方法总结： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 二、典例分析 题型一、二元一次方程 例1．若是关于x、y的二元一次方程，求a的值． 例2.已知方程是二元一次方程，则m= ，n= . 例3.方程，当 时，它是一个二元一次方程，当a= ，它是一元一次方程． 题型二、二元一次方程的解 例4.若方程中，当x＝1时，y＝-1，求a的值． 例5.已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值. 例6.已知二元一次方程 ，下列说法不正确的是（ ） A.它有无数多组解 B.它有无数多组整数解 C.它有4组正整数解 D.它的解中不会出现负整数 题型三、二元一次方程组及解 例7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值． 例8.已知关于的二元一次方程组 ，求． 例9.若方程组的解满足x+y＝2020，求k的值。 例10.关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝﹣2，则k的值是多少？ 例11. k为何值时，方程组， （1）有唯一解；（2）有无穷多组解；（3）能否有可能无解？ 例12.对k、m的哪些值，方程组至少有一组解？ 三、针对练习 1．若方程2xm﹣1+y2n+m＝是二元一次方程，则mn的值为 （ ） A． 1 B. -1 C. 2 D. -2 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） 3.若的二元一次方程，那么（ ） A． B. C. 且 D. 或 4.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（ ） A． B. C.1 D. -1 5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ） A．无解 B.有唯一解 C.有无数多个解 D.不能确定 6.如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　） A．2 B．3 C．7 D．6 7．已知方程是二元一次方程，则m＝________，n＝_________． 8．当时，关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a＝____，b＝___ ． 9．在 ，，这四对数值中，是二元一次方程组的解的是________ ． 10. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________； 11.若二元一次方程组 的解中，则等于____________. 12．已知是方程组的解，求的值． 13．甲、乙二人共同解方程组由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值． 14.已知方程组 无解，m、n是绝对值小于10的整数，求m、n的值。 15.已知方程组有正整数解，求正整数m的值。 10.1 二元一次方程组的概念 一、知识要点 1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 方法总结：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 方法总结： （1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 3、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 方法总结：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 方法总结： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 5、二元一次方程组解的个数 对于二元一次方程组（为已知数，且、中都至少有一个不为零）解的情况： （1）当时，方程组有无数多解； （2）当时，方程组无解； （3）当时，方程组有唯一解； 二、典例分析 题型一、二元一次方程 例1．若是关于x、y的二元一次方程，求a的值． 【解答】 解：根据题意得：|a|-2＝1，所以|a|＝3，a＝±3，而(a-3)x中，a-3≠0，即a≠3，所以a＝-3． 例2.已知方程是二元一次方程，则m= ，n= . 【解答】-2， 例3.方程，当 时，它是一个二元一次方程，当a= ，它是一元一次方程． 【解答】； 题型二、二元一次方程的解 例4.若方程中，当x＝1时，y＝-1，求a的值． 【解答】解：把x＝1，y＝-1代入原方程，，． 例5.已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值. 【解答】解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得. 答：m的值为3. 例6.已知二元一次方程 ，下列说法不正确的是（ ） A.它有无数多组解 B.它有无数多组整数解 C.它有4组正整数解 D.它的解中不会出现负整数 【解答】D 题型三、二元一次方程组及解 例7.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值． 【解答】解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10． 把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1， 所以． 例8.已知关于的二元一次方程组 ，求． 【解答】 解：将代入原方程组得： ，解得 ， 所以． 例9.若方程组的解满足x+y＝2020，求k的值。 【解答】解：，①+②得，5x+5y＝5k﹣5，即：x+y＝k﹣1， ∵x+y＝2020，∴k﹣1＝2020，∴k＝2021， 例10.关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝﹣2，则k的值是多少？ 【解答】解：，②﹣①得：3x﹣3y＝k﹣3，即x﹣y， 代入x﹣y＝﹣2得：2，解得：k＝﹣3． 例11. k为何值时，方程组， （1）有唯一解；（2）有无穷多组解；（3）能否有可能无解？ 【解答】原方程可化为，（1）当，即k≠-2时，原方程组有唯一解； （2）当，即k=-2时，原方程组有无多组解； （3）由于，故方程组不可能无解. 例12.对k、m的哪些值，方程组至少有一组解？ 【解答】把两方程相减得，得, 当k-1≠0，即k≠1时，，此时方程组至少有一组解； 当k=1时，只有当m=4时方程组有解，故当k≠1，m为任意有理数或k=1且m=4时，方程组至少有一组解. 故答案为:当k≠1，m为任意有理数或k=1且m=4时，方程组至少有一组解. 三、针对练习 1．若方程2xm﹣1+y2n+m＝是二元一次方程，则mn的值为 （ ） A． 1 B. -1 C. 2 D. -2 【解答】解：由题意得：m﹣1＝1，2n+m＝1，解得：m＝2．n＝﹣，mn＝﹣1，故答案为B; 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） 【解答】依据二元一次方程组的定义进行判断．故选 C； 3.若的二元一次方程，那么（ ） A． B. C. 且 D. 或 【解答】x，y的系数均不为0．故选C； 4.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（ ） A． B. C.1 D. -1 【解答】将5x＝6y代入后面的代数式化简即得答案．故选A； 5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ） A．无解 B.有唯一解 C.有无数多个解 D.不能确定 【解答】可知：异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0. 故选B； 6.如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　） A．2 B．3 C．7 D．6 【解答】解：,把①代入②得：x﹣y＝4（x+2y），整理得：3x+9y＝0，即x＝﹣3y， 代入3x﹣5y﹣28＝0得：﹣9y﹣5y﹣28＝0，解得：y＝﹣2， 把y＝﹣2代入得：x＝6，则a＝x+2y＝6﹣4＝2．故选：A． 7．已知方程是二元一次方程，则m＝________，n＝_________． 【解答】由二元一次方程的定义可得：，所以；故答案为：-2， ； 8．当时，关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a＝____，b＝___ ． 【解答】解互为相反数可得，将与代入计算即可．故答案为：12，8； 9．在 ，，这四对数值中，是二元一次方程组的解的是________ ． 【解答】把４组解分别代入方程组验证即可．故答案为：； 10. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________； 【解答】； 11.若二元一次方程组 的解中，则等于____________. 【解答】将代入中，得，即；将代入 ，得，即，即 . 故答案为：－3∶4 ； 12．已知是方程组的解，求的值． 【解答】解：将，代入原方程组 由①得a＝24，b＝0，∴ ． 13．甲、乙二人共同解方程组由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值． 【解答】解：将代入②中，． 将代入①中-5m+4＝-6，m＝2． ∴ ． 14.已知方程组 无解，m、n是绝对值小于10的整数，求m、n的值。 【解答】原方程组可化为； 因为方程组无解，所以有,所以m=3n，且，因为，所以，又因为n是整数，所以n=-3,-2,-1,0,1,2,3，相应地m=-9,-6,-3.0,3,6.9.所以，当，，，，，，时，原方程组无解。 15.已知方程组有正整数解，求正整数m的值。 【解答】由x+1=y,得 x=y-1,代人第一个方程,得y-1+my=5,合并同类项,得(m+1)y=6,解得.因为x,y都是正整数,x+1=y,所以y是大于等于2的正整数,m是正整数，,因此,m=1或m=2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$