第三章 图形的平移与旋转 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、图形的平移 一、 图形的平移 1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 如图3 - 1,△ABC经过平移得到△DEF, 点 A,B,C 分别平移到了点 D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE 是一组对应线段，∠BAC 与 ∠EDF是一组对应角. 思考：你还能从图3- 1中找出其他的对应点、 对应线段和对应角吗? 要点：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2） 图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 二、平移的性质 平移的性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行（或在一条直线上）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等； （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变. 要点：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 三、 平移作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”－定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 四、平移有关的坐标变换 设(x,y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a个单位长度(a>0)、沿y轴方向平移b个单位长度(b>0)后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系： Ⅱ、图形的旋转 一、图形的旋转 1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 . 旋转不改变图形的形状和大小.下列图片反映的是日常生活中物体旋转的一些场景. 2.旋转的有关概念：如图3-10,△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD,∠BOE,∠COF都是旋转角. 要点：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 二、旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 (3)对应线 段相等，对应角相等； (4)旋转前、后的图形的形状与大小不变. 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 三、 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. Ⅲ、中心对称 简单的图案设计 一、中心对称和中心对称图形 1.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.如图3- 20,△ABC与△A'B'C 成中心对称，点O是它们的对称中心. 要点：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 二、中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. 三、 中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 例 如图3-21,点0是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形. 解 ：如图3 - 22,连接BO并延长至B',使得OB'=OB; 连接CO并延长至C,使得OC=OC; 连接DO并延长至D,使得OD'=OD; 顺次连接E',B',C',D',A. 图形E'B'C'D'A就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形. 四、关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立. 五、简单的图案设计 1.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 2.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 03 题型归纳 题型一　图形的变换辨析（含概念） 例题 1．下列图案不能由基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．解决本题的关键是掌握平移的性质．根据平移的性质即可进行判断． 【解析】解：A，B，D选项中的图形都能由基本图形通过平移得到， C选项中的图形不能由基本图形通过平移得到． 故选：C． 巩固训练 2．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   【答案】C 【解析】略 3．下列图案中，中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，明确一个图形绕一个点旋转能和原图形完全重合是中心对称图形来判断即可． 【解析】解：A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形， 故选：B． 4．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【解析】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 5．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【解析】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解析】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 7．下列说法中错误的是（    ） A．成中心对称的两个图形全等 B．中心对称图形绕对称中心旋转后，都能与自身重合 C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点 D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称轴平分 【答案】D 【分析】依据中心对称图形的定义和性质解答即可． 【解析】A．成中心对称的两个图形全等，正确，故本选项不合题意； B．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合，正确，故本选项不合题意； C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点，正确，故本选项不合题意； D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称中心平分，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的定义和性质，掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 题型二　图形变换的性质 例题 8．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【解析】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确； C、由平移的性质可知，故C正确； D、由平移的性质可知不一定等于，故D不一定正确， 故选：D． 巩固训练 9．如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角是 C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D．旋转角是 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和直角三角形的性质即可解答． 【解析】解：A、△ABC通过旋转可得到△DCE，它的旋转中心是点C，错误； B、AC⊥CD旋转的旋转角为90°，错误； C、既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转，正确； D、旋转角是∠ACD或者是360°−∠ACD，错误． 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 10．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称的性质，全等三角形的判定；根据与成中心对称，点是对称中心，再逐一分析判断即可． 【解析】解：①∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： 点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意； ②由中心对称的性质可得：，，， ∴，原说法正确，故符合题意； ③∵与成中心对称，点是对称中心， ∴线段与关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意． 故选：D． 题型三 根据图形变换的性质求解 例题 11．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【答案】4 【分析】根据四边形ABED是平行四边形得出，再根据，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案． 【解析】设四边形ABFD的周长为 得 ∵根据平移的性质得AB=DE，且AB//DE ∴四边形ABED是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查图形平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的相关知识． 巩固训练 12．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出是旋转角，即可求解． 【解析】是由绕点旋转得到的， 是旋转角， ，， 旋转角的度数为． 故选：A． 13．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 度． 【答案】130 【分析】由旋转角可求得，再利用角的和差可求得． 【解析】解：旋转角为， ， ， 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键． 14．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【解析】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 题型四 作图题 例题 15．在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； (2)在图2中作出与关于点对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—旋转变换、中心对称，结合题意正确作出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作出图形即可； （2）根据中心对称的性质作出图形即可． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： 巩固训练 16．如图，绕点旋转，顶点的对应点为，请作出旋转后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画旋转图形，将的三个顶点绕点O旋转，顶点A的对应点为，则旋转角是，其它两点也是点A的旋转角度，找到另两点的对应点后，顺次连接画出旋转后的图形． 【解析】解：如答图所示，就是所要求作的三角形． 17．在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请画出； (2)画出绕点逆时针旋转之后得到的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了作图：作图形的平移及旋转，旋转的性质，求网格中三角形面积等知识； （1）分别画出A、B、C三点平移后的对应点，再依次连接即可； （2）分别画出三点旋转后的对应点，再依次连接即可； （3）由于旋转不改变图形的大小，只要求出的面积即得的面积． 【解析】（1）解：平移后的图形如图所示： （2）解：旋转后的图形如图所示： （3）解：． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】坐标与图形变换—旋转和平移： （1）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （2）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质解答即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：因为将绕点旋转可以得到， 所以旋转中心的坐标为． 故答案为： 题型五 求旋转中心、对称中心，旋转角等 例题 19．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等，根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【解析】解： ∴旋转角是的整数倍， ∴这个角的度数可以是 故选：． 巩固训练 20．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【解析】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 21．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ） A．   B．    C．   D．   【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可． 【解析】解：A选项：最小旋转角度； B选项：最小旋转角度； C选项：最小旋转角度； D选项：最小旋转角度； 综上可得：旋转的角度最小的是D． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 22．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【解析】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 23．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【解析】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 24．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等即可解决问题． 【解析】解：由图可得， 令正方形网格的边长为1， 则， ， ， 所以点F为旋转中心． 故选：C． 题型六 图形变换的坐标应用 例题 25．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【解析】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 巩固训练 26．已知，点，关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出x、y的值即可得到答案． 【解析】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【解析】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 28．点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律． 由移动到，点向右移动1个单位，依此观察图形即可求解． 【解析】解：∵由移动到， ∴点向右移动1个单位， 观察图形可得坐标对应的点可能是点D． 故选：D． 29．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，点作轴于点，设，根据等边对等角可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理可得，得到，根据旋转的性质可得， ，然后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半和根据勾股定理可得，，据此即可求解．本题考查了坐标与图形变化旋转，等边对等角，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【解析】解：过点作轴于点，点作轴于点， 设， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵绕原点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 题型七 简单的图案设计 例题 30．如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤ 【答案】B 【解析】试题分析：根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 解：如图所示：图案甲是由左面的五种基本图形中的两种拼接而成的， 这两种基本图形是①③． 故选B． 点评：此题考查了平面图形的分割与组成，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 巩固训练 31．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断； 观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答； 【解析】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 32．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． 【解析】（1）解：轴对称图形如图1所示； （2）解：轴对称图形如图2所示． 题型八　图形变换的实际应用 例题 33．小明打算从福州长乐机场坐飞机去北京，登机时他想为飞机的舷梯铺上地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买 平方米的地毯． 【答案】9 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积即可． 【解析】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长宽分别为3.3米，2.7米， ∴地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（平方米）． 故答案为：9． 巩固训练 34．某酒店准备给每层楼的过道铺设地毯，已知地毯的批发价是每平方米60元，过道的位置和尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】3045.6 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【解析】解：如图，将过道平移到一边，可得过道的总面积为（平方米）， ∴购买地毯至少需要（元）． 故答案为：3045.6． 35．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的性质和图形的特点解答即可． 【解析】解：每个叶片的面积为，因而图形的面积是． ∵图案绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为． 故答案为：10． 36．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　) A．时针不动，分针旋转了6° B．时针不动，分针旋转了30° C．时针和分针都没有旋转 D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小 【答案】D 【分析】根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小． 【解析】时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×＝3°，时针旋转的角度很小．故选D. 【点睛】本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算． 题型九 图形变换在第1章的应用（基础） 例题 37．如图，将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上，则 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得∴，由三角形内角和定理可得，由即可求解． 【解析】解：将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角新内角和定理的运用，掌握旋转的性质，等边对等角的性质是解题的关键． 巩固训练 38．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的图形的性质、三角形全等的性质、勾股定理，由题意得出，从而得出，，，求出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【解析】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 39．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．由，，可得，由旋转得，即得为等边三角形，得到，再根据角的和差即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 40．如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中的对应点分别是，如何确定旋转中心的位置？ (1)请你使用直尺和圆规，作出旋转中心位置； (2)参考作图过程，完成下面推理，写出处的依据： ∵是绕点旋转而成的， ∴，依据是： ； ∴点在线段的垂直平分线上，依据是 ； 同理可得，点在线段BB'的垂直平分线上 ∴点为两条垂直平分线的交点． 【答案】(1)作图见详解； (2)一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了旋转的性质、垂直平分线的性质和尺规作图，熟悉旋转的性质、垂直平分线的性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，、的交点即为点； （2）根据旋转的性质，即可得到结论． 【解析】（1）解：连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，、的交点即为点，如图： （2）解：∵是绕点旋转而成的， ∴，依据是：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； ∴点在线段的垂直平分线上，依据是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 同理可得，点在线段的垂直平分线上， ∴点为两条垂直平分线的交点． 故答案为：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 题型十　图形变换在第1章的应用（提高） 例题 41．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【解析】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，故选项A，B不成立 ∵点B的对应点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∴；故选项C成立； 条件不足，无法得到，故选项D不成立； 故选C． 巩固训练 42．如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 由旋转性质得，，在中由三角形内角和求得，便可求得结果． 【解析】解：∵， ∴ ∵绕点B顺时针旋转一个角度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 43．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由旋转的性质即可判定①③结论错误，通过等角转换即可判定④正确，利用逆推的方法判定②． 【解析】解：由旋转的性质，得，，故①错误； 由旋转的性质，得，，故③错误； 由旋转的性质，得， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故④正确； 若， ∴，而， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②错误； 故选：A． 44．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（    ） A．可以由绕点逆时针旋转得到 B．点与的距离为5 C． D． 【答案】B 【分析】先由旋转性质以及等边三角形的性质证明，即可得出A选项是正确的；由旋转，得是等边三角形，则，故点与的距离为4，则选项B错误；结合全等三角形的性质以及，故是直角三角形，则，故选项C正确；将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为，证明是等边三角形，再得出是直角三角形．接着得，运用勾股定理算出，结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【解析】解：如图1，连接，过点作，垂足为． 由旋转，得，． 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故选项A正确； 由旋转，得，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4，故选项B错误； 是等边三角形， ． ， ， ， 是直角三角形，， ， 故选项C正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为， 则，，， 是等边三角形， ，． ， ， 是直角三角形． 在中，， ． 由勾股定理得，， 故选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十一 解答综合题 例题 45．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画出线段； (2)在图2中，线段绕点旋转后可得到线段，画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图，找旋转中心，熟练掌握旋转的定义和性质是解题的关键． （1）根据格点的特点，过点B作即可； （2）连接、，则与的交点即为所求． 【解析】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求．    巩固训练 46．如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【解析】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 47．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出将绕原点顺时针旋转得到的； (3)画出关于原点的对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—旋转变换，轴对称变换，中心对称变换，解答本题的关键是掌握以上知识点． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；． 【解析】（1）解：如图，即为所求： ； （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，即为所求： ． 48．如图，是等边内一点，连接、、，得，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为13 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，再证明即可得出结论； （2）先求出，根据勾股定理求出，进而求出结论； 【解析】（1）证明：连接，如图， 为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 为等边三角形， ， 在中，，， ， 的长为13． 49．【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上．    【问题初控】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，平行线的性质等，正确作出啨线是解答本题的关键． （1）连接，分别证明和即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，连接，证明，，得出，得出，证明，，即可得出结论； （3）如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接，，解题思路同（2） 【解析】（1）证明：如图，连接    答图1 当，点E与点C重合时，， 由旋转可得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 证明：如图，过点D作，交于点M，连接    ∴ ∵当，点E在线段上时，， ∴， ∴ ∴，， 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴ （3）成立 证明：如图，在线段上取点M，使，取中点N，连接，    ∴， ∴ ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、图形的平移 一、 图形的平移 1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 如图3 - 1,△ABC经过平移得到△DEF, 点 A,B,C 分别平移到了点 D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE 是一组对应线段，∠BAC 与 ∠EDF是一组对应角. 思考：你还能从图3- 1中找出其他的对应点、 对应线段和对应角吗? 要点：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2） 图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 二、平移的性质 平移的性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行（或在一条直线上）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等； （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变. 要点：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 三、 平移作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”－定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 四、平移有关的坐标变换 设(x,y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a个单位长度(a>0)、沿y轴方向平移b个单位长度(b>0)后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系： Ⅱ、图形的旋转 一、图形的旋转 1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 . 旋转不改变图形的形状和大小.下列图片反映的是日常生活中物体旋转的一些场景. 2.旋转的有关概念：如图3-10,△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD,∠BOE,∠COF都是旋转角. 要点：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 二、旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 (3)对应线 段相等，对应角相等； (4)旋转前、后的图形的形状与大小不变. 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 三、 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. Ⅲ、中心对称 简单的图案设计 一、中心对称和中心对称图形 1.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.如图3- 20,△ABC与△A'B'C 成中心对称，点O是它们的对称中心. 要点：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 二、中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. 三、 中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 例 如图3-21,点0是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形. 解 ：如图3 - 22,连接BO并延长至B',使得OB'=OB; 连接CO并延长至C,使得OC=OC; 连接DO并延长至D,使得OD'=OD; 顺次连接E',B',C',D',A. 图形E'B'C'D'A就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形. 四、关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立. 五、简单的图案设计 1.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 2.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 03 题型归纳 题型一　图形的变换辨析（含概念） 例题 1．下列图案不能由基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   3．下列图案中，中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 5．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 7．下列说法中错误的是（    ） A．成中心对称的两个图形全等 B．中心对称图形绕对称中心旋转后，都能与自身重合 C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点 D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称轴平分 题型二　图形变换的性质 例题 8．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 巩固训练 9．如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角是 C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D．旋转角是 10．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型三 根据图形变换的性质求解 例题 11．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 巩固训练 12．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 13．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 度． 14．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型四 作图题 例题 15．在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； (2)在图2中作出与关于点对称的． 巩固训练 16．如图，绕点旋转，顶点的对应点为，请作出旋转后的图形． 17．在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请画出； (2)画出绕点逆时针旋转之后得到的； (3)求的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 题型五 求旋转中心、对称中心，旋转角等 例题 19．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 巩固训练 20．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 21．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ） A．  B．   C．   D．   22．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 23．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 24．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型六 图形变换的坐标应用 例题 25．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 26．已知，点，关于原点对称，则的值为 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 28．点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 29．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型七 简单的图案设计 例题 30．如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤ 巩固训练 31．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 32．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形． 题型八　图形变换的实际应用 例题 33．小明打算从福州长乐机场坐飞机去北京，登机时他想为飞机的舷梯铺上地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买 平方米的地毯． 巩固训练 34．某酒店准备给每层楼的过道铺设地毯，已知地毯的批发价是每平方米60元，过道的位置和尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 元． 35．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，，则图中阴影部分的面积之和为 ． 36．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　) A．时针不动，分针旋转了6° B．时针不动，分针旋转了30° C．时针和分针都没有旋转 D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小 题型九 图形变换在第1章的应用（基础） 例题 37．如图，将绕点逆时针旋转得到、若点恰好落在线段的延长线上，则 ． 巩固训练 38．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 39．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 40．如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中的对应点分别是，如何确定旋转中心的位置？ (1)请你使用直尺和圆规，作出旋转中心位置； (2)参考作图过程，完成下面推理，写出处的依据： ∵是绕点旋转而成的， ∴，依据是： ； ∴点在线段的垂直平分线上，依据是 ； 同理可得，点在线段BB'的垂直平分线上 ∴点为两条垂直平分线的交点． 题型十　图形变换在第1章的应用（提高） 例题 41．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 42．如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 43．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 44．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（    ） A．可以由绕点逆时针旋转得到 B．点与的距离为5 C． D． 题型十一 解答综合题 例题 45．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画出线段； (2)在图2中，线段绕点旋转后可得到线段，画出点． 巩固训练 46．如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 47．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出将绕原点顺时针旋转得到的； (3)画出关于原点的对称图形． 48．如图，是等边内一点，连接、、，得，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 49．【问题背景】 在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上．    【问题初控】 （1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：； 【问题提升】 （2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明； 【问题拓展】 （3）如图3，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$