精品解析：浙江省金华十校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

金华十校2024-2025学年第一学期期末调研考试 高三数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上. 2.选择题的答案须用铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，或， 而，所以. 故选：A 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算求解即可； 【详解】. 故选：A 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，“任意”改“存在”并否定原结论，即得答案. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为：，. 故选：B. 4. 以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱体体积公式计算即可. 【详解】以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱体. 并且是底面半径和高都是正方形边长的圆柱体，即，， 根据圆柱体体积公式：，可得圆柱体体积为. 故选：B. 5. 已知向量与向量垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的数量积为零得到，再由向量模长的运算结合同角的三角函数关系求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 6. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的性质和特殊值可得. 【详解】的定义域为，， 则为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC， 又，排除B，只有D符合， 故选：D. 7. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件的概率公式即可求解； 【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为， 甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜， 则甲获胜的概率， 故选：B. 8. 已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解. 【详解】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则， 则， 令，则， 则， 当时，的，开口向上，恒大于零，所以为递增函数，为递减函数， 因为，所以在上无解； 当时，必须成立，若，会出现蓝色图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为红色，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又， 所以的范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够将问题转化为函数图象交点问题，构造函数，利用导数分析函数单调性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意求出，再根据二项分布分别求出，和判断即可 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 10. 已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（ ） A. 若且，则 B. 若，则最大值为 C. 是圆的切线 D. 若为线段的中点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用几何图形的性质结合椭圆的离心率的定义求解即可判断；对于B，由离心率求得的值，再在焦点三角形中，通过余弦定理结合椭圆的定义及基本不等式求得的最小值，从而得到最大值即可判断B；对于C，利用圆的性质证得≌，得到，即可判断C；对于D，由为线段的中点，结合图形性质得到与的关系，求得离心率即可判断D. 【详解】对于A，设，因为且，则， ，故A正确； 对于B，由椭圆的定义可得，由得， 由余弦定理可得 ，当且仅当时等号成立. 所以，最大值为，故B不正确； 对于C，由圆与轴相切于点，得，因为直线（为坐标原点）垂直于直线， 由圆的性质知为的垂直平分线，得，所以≌， 所以，所以是圆的切线，故C正确； 对于D，因为为线段的中点，所以，又， 所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义域是的函数不恒为0，满足，且则（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AB，结合可判断C，利用周期可判断D. 【详解】令时，，A正确； 令时，，解得或， 若，令，得， 因为不恒为0，所以，B正确； 令，可得， 所以关于点对称，C不正确； 因为，所以， 令，可得，， ， ， 可以发现函数周期为，且一个周期内 ， 因为， 所以，D正确. 故选：ABD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义求解即可； 【详解】由题意可得， 由三角函数的定义可得， 所以. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的切线，则的值可以是______.（写出一个值即可） 【答案】或（写出其中一个） 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数以及切线列方程，由此求得的值. 【详解】设切点为， ， 所以切线方程为， 整理得， 由得， 所以， 消去并化简得， 解得或， 则或， 所以的值为或. 故答案为：或（写出其中一个） 14. 已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据球的截面图可得，，设利用空间向量法，求出平面和平面的法向量分别为令，，，根据平面平面，得，进而得，再结合，可得，进而可得. 【详解】 如图为过球、圆柱的上下底面圆心、与的截面， 因球的半径等于4，，故， 故圆柱底面半径为, 因为的中点，故，， 如图，以为坐标原点，以平行于,的线为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 由题意，则，故， ， 设平面和平面的法向量分别为， 则， 令，得，故， 令，得，故， 因平面平面，故，得， 又，故，故 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据圆柱和球的位置关系，得到的位置和圆柱底面的半径，设后，在圆柱中利用空间直角坐标系，根据平面平面，可得，即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的的部分图象如图，且经过点，. （1）求函数的解析式； （2）的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解； （2）由确定，得到，再结合余弦定理得到，代入求解即可； 【小问1详解】 因为图像经过，， 所以得周期，由得. 又得，，又因， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，又， 结合图像可知：，， 又，，由余弦定理可得. 在中，易求得， 由平方关系可得：. 所以. 16. 在斜三棱柱中，，，且. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接、，即可得到，，从而得到平面，即，从而得证； （2）取的中点，的中点，连接、、，即可证明平面，过做的垂线，垂足为，证明平面，连接，从而得到就直线与平面所成角，再求出，，最后由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 连接，，，是等边三角形， 取的中点，连接、，， ，，又，平面，平面， 又平面， ，又，. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接、、， ，， 又，，，平面，平面， 过做的垂线，垂足为，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，连接， 所以就是直线与平面所成角， 依题意三棱锥为棱长为的正四面体， 所以， 所以，又四棱锥的所有棱长均为， 底面为菱形且，所以底面为正方形，所以， 又，所以， 又， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 （1）求双曲线的方程； （2）点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，结合，即可确定、、从而求得双曲线方程； （2）设，由题意得，且，结合弦长公式得到关于的方程，解出方程即可求解. 【小问1详解】 因为渐近线方程是，得，， 又，，即，整理得， 解得：，，故双曲线方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立，可得，根据题意， 解得点纵坐标为，代入，解得， 所以， 设线段的中点为，依题意，则点的坐标为， 设点，因为是正三角形，所以有， ，，则由得，， 即，整理有：，所以①. 在正三角形中，有，由结合弦长公式得， ，化简得. 代入①可得，所以点或. 18. 已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，记数列的前项和为， （1）求； （2）求数列前项和； （3）记，若恒成立，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列是等比数列及，且成等差数列列方程即可； （2）根据条件求数列，再由错位相减求数列的前项和； （3）计算，构造函数，通过导数判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 因为数列是等比数列，设首项是，公比是， 由，， 解得， 所以. 【小问2详解】 由于① 则，② 由①②得， 当时，，满足上式，因此， 所以. ，接下去求的前项和， 记的前项和是. ① ②. 由①②得， 整理得：. 【小问3详解】 由（2）可知，，则， 所以，要求的最大项， 可以设函数， 则. 令 则， 分析可得，，，使得 所以在单调递增，单调递减， ，， ，使得 当时，， 当时，， 时， 因此在单调递减，在，单调递增，在，单调递减. 只要比较，，的大小，，，. 所以第五项是最大项，. 19. 设集合.若集合中元素与满足，则称为在集合中的“友好元”.对于整数，若存在一个子集满足： （i）集合中元素个数为； （ii），在集合中都至少有个“友好元”，则称是“好数”. （1）当且时，直接写出在集合中的“友好元”； （2）当时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且对均有，求证：是“好数”. 【答案】（1）或或或 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可写出满足条件的“友好元”； （2）设，，此时，结合“友好元”的定义可知集合中至少有个“友好元”，从而可证得结论成立； （3）当时，设，令，分两种情况论证：①在每一个中至多有一个“友好元”；②不能在和中均有“友好元”.可推导出在中至少有2023个“友好元”，进而可证得结论成立. 【小问1详解】 或或或. 此时，显然中的每一个元素都恰有10个“友好元”. 【小问2详解】 设，，此时. 对中的任意元素，在集合中至多存在一个满足， 从而在集合中至少有9个“友好元”，所以是“好数”. 【小问3详解】 当时，集合中的每个元素均有2024个“友好元”. 设， 则中含有个元素， 设， 则含有个元素，. 此时令. 对于，我们有： 在每一个中至多有一个“友好元”. 设，，且均是的“友好元”. 由于，从而与不同的元素在前位且后位相同. 又因为，的前位相同，后位至少一位不相同， 因此. ②不能在和中均有“友好元”. 由于对于，中的元素第，，…，都是1， 而中，，…，都是0，且， 从而和之间至少有3位元素不同，所以不存在，且均是的“友好元”. 从而在中至少有2023个“友好元”，所以是“好数”. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华十校2024-2025学年第一学期期末调研考试 高三数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上. 2.选择题的答案须用铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与向量垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 函数的部分图象是（ ） A B. C. D. 7. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，且，则（ ） A B. C. D. 10. 已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（ ） A. 若且，则 B. 若，则最大值为 C. 是圆的切线 D. 若为线段的中点，则 11. 已知定义域是的函数不恒为0，满足，且则（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则______. 13. 若直线是曲线的切线，则的值可以是______.（写出一个值即可） 14. 已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的部分图象如图，且经过点，. （1）求函数的解析式； （2）的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 16. 在斜三棱柱中，，，且. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线一个焦点是，渐近线方程是 （1）求双曲线的方程； （2）点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 18. 已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，记数列的前项和为， （1）求； （2）求数列的前项和； （3）记，若恒成立，求的值. 19. 设集合.若集合中元素与满足，则称为在集合中的“友好元”.对于整数，若存在一个子集满足： （i）集合中元素个数为； （ii），在集合中都至少有个“友好元”，则称是“好数”. （1）当且时，直接写出在集合中的“友好元”； （2）当时，求证：是“好数”； （3）当时，若整数满足，且对均有，求证：是“好数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $