专题2.8 相交线与平行线（5大知识点4大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.8 相交线与平行线（5大知识点4大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】余角、补角、对顶角的定义及性质 1.余角；如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余。 2.补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补。 3.余角和补角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 4.余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1）则（同角的余角（或补角）相等）。 （2）且则（等角的余角（或补角）相等）。 5.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 6.对顶角的性质：对顶角相等。 7.对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 【知识点2】垂直及其性质 8.垂直：直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”）,读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 9.垂线的性质： 性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称：垂线段最短。 10.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 【知识点3】三线八角 11.同一平面内,两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。 12.两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。 同位角：两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫做同位角。 内错角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的两旁,这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫同旁内角。 【知识点4】平行线及平行公理与推论 13.平行线：在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 注意：（1）平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交；（2）当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。 14.平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 【知识点5】平行线的判定 15.平行线的判定方法 （1）同位角相等,两直线平行。 （2）内错角相等,两直线平行。 （3）同旁内角互补,两直线平行。 （4）在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。 （5）在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。 16.平行线的性质 （1）两直线平行,同位角相等。 （2）两直线平行,内错角相等。 （3）两直线平行,同旁内角互补。 考点与题型目录 【考点一】概念定义的理解 【题型1】对顶角与邻补角......................................................3 【题型2】余角与补角..........................................................4 【题型3】垂直与垂线段........................................................4 【题型4】同位角、内错角、同旁内角............................................5 【考点二】性质与判定的巩固 【题型5】对顶角的性质+角平分线...............................................6 【题型6】余角与补角的性质....................................................6 【题型7】平行线的性质与判定求值...............................................7 【题型8】平行线的性质与判定证明...............................................8 【考点三】性质与判定的探究 【题型9】平行线的性质与判定探究角的关系.......................................9 【题型10】平行线的性质与判定探究折叠问题.....................................10 【题型11】平行线的性质与判定探究旋转问题.....................................11 【题型12】利用垂线段最短求最值...............................................12 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型13】直通中考...........................................................12 【题型14】拓展延伸...........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念定义的理解 【题型1】对顶角与邻补角 【例1】如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（   ）    A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【变式1】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）下列说法正确的是（    ） A．锐角的补角一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．锐角和钝角互补 D．一个角的余角一定大于这个角 【变式2】如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【题型2】余角与补角 【例2】（24-25七年级上·河南濮阳·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①； ②如果两个角和同一个角互余，那么这两个角相等； ③一个角的补角大于这个角； ④一个角的补角是，这个角的余角是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（21-22七年级上·全国·课后作业）四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角． 【变式2】（23-24七年级上·河北承德·期末）已知，则的余角为 ，的补角为 ． 【题型3】垂直与垂线段 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D．且 【变式2】（21-22七年级下·广西·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．两条直线相交，只有一个交点 B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．直线外一点到直线的距离就是这点到直线的垂线段 【题型4】同位角、内错角、同旁内角 【例4】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列判断错误的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子看起来变弯了，这是光的折射现象，光从空气射入水中，传播方向发生了改变．与是同旁内角的是 ，与是内错角的是 ． 【考点二】性质与判定的巩固 【题型5】对顶角的性质+角平分线 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【题型6】余角与补角的性质 【例6】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【变式1】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且． （1）若在的内部，与互余，求的度数； （2）若平分，且与互补，求的度数． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，与互为余角． （1）若，求的大小； （2）若、分别平分、，求的大小． 【题型7】平行线的性质与判定求值 【例7】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，将为的直角三角板ABC的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D．不确定 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，，，点在射线上．若，请求出的度数． 【题型8】平行线的性质与判定证明 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点在直线上，点为直线之间的一点，连接，直线交于点，，，，则的度数为 ．（用含的式子表示）． 【变式2】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）如图，已知，且，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【考点三】性质与判定的探究 【题型9】平行线的性质与判定探究角的关系 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）【实践】 （1）画，在内任取一点P，过点P作直线，再过点P作直线； （2）分别测量，的度数； 【探究】 （3）这些角的边与的边有何关系？ （4）这些角的度数与的度数之间存在什么关系？ 【发现】 （5）把你的发现用一句话概括出来． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【题型10】平行线的性质与判定探究折叠问题 【例10】（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． （1）如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； （2）如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【题型11】平行线的性质与判定探究旋转问题 【例11】（2024·山东聊城·三模）将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，点E在直线的上方，旋转三角尺，当三角尺有一条边与斜边平行时，的度数为 ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，射线在平面内． （1）若射线在的内部，且垂直，平分，则的度数为 ； （2）若与互补，求的大小； （3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【题型12】利用垂线段最短求最值 【例12】（18-19七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． （1）线段_______的长度表示点到的距离； （2）_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； （3）若，求的度数． 【变式2】（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）直角三角形中，，，，，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为（    ） A． B． C． D． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型13】链接中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 相交线与平行线（5大知识点4大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】余角、补角、对顶角的定义及性质 1.余角；如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余。 2.补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补。 3.余角和补角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 4.余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1）则（同角的余角（或补角）相等）。 （2）且则（等角的余角（或补角）相等）。 5.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 6.对顶角的性质：对顶角相等。 7.对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 【知识点2】垂直及其性质 8.垂直：直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”）,读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 9.垂线的性质： 性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称：垂线段最短。 10.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 【知识点3】三线八角 11.同一平面内,两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。 12.两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。 同位角：两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫做同位角。 内错角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的两旁,这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫同旁内角。 【知识点4】平行线及平行公理与推论 13.平行线：在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 注意：（1）平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交；（2）当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。 14.平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 【知识点5】平行线的判定 15.平行线的判定方法 （1）同位角相等,两直线平行。 （2）内错角相等,两直线平行。 （3）同旁内角互补,两直线平行。 （4）在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。 （5）在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。 16.平行线的性质 （1）两直线平行,同位角相等。 （2）两直线平行,内错角相等。 （3）两直线平行,同旁内角互补。 考点与题型目录 【考点一】概念定义的理解 【题型1】对顶角与邻补角......................................................3 【题型2】余角与补角..........................................................4 【题型3】垂直与垂线段........................................................6 【题型4】同位角、内错角、同旁内角............................................8 【考点二】性质与判定的巩固 【题型5】对顶角的性质+角平分线..............................................10 【题型6】余角与补角的性质...................................................12 【题型7】平行线的性质与判定求值..............................................14 【题型8】平行线的性质与判定证明..............................................17 【考点三】性质与判定的探究 【题型9】平行线的性质与判定探究角的关系......................................20 【题型10】平行线的性质与判定探究折叠问题.....................................22 【题型11】平行线的性质与判定探究旋转问题.....................................24 【题型12】利用垂线段最短求最值...............................................30 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型13】直通中考...........................................................32 【题型14】拓展延伸...........................................................33 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念定义的理解 【题型1】对顶角与邻补角 【例1】如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（   ）    A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义，可判断A，根据对顶角的定义，可判断B，根据同位角的定义，可判断C，根据内错角的定义，可判断D 解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，故A正确； B、与的两边互为反向延长线，故B正确； C、与的位置相同，故C正确； D、与是同旁内角．故D错误； 故选：D． 【变式1】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）下列说法正确的是（    ） A．锐角的补角一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．锐角和钝角互补 D．一个角的余角一定大于这个角 【答案】A 【分析】首先根据余角与补角的定义，即可作出判断． 解：∵锐角的补角一定是钝角，∴A正确； ∵如角的补角的度数是，∴说一个角的补角一定大于这个角错误，∴B错误； ∵如，，则两角不互补，∴说锐角和钝角互补错误，∴C错误； ∵如，则其余角，那么它们相等，∴D错误． 故选：A． 【点拨】本题考查了补角和余角的定义，理解定义，举反例是解决问题的关键． 【变式2】如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 【题型2】余角与补角 【例2】（24-25七年级上·河南濮阳·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①； ②如果两个角和同一个角互余，那么这两个角相等； ③一个角的补角大于这个角； ④一个角的补角是，这个角的余角是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．根据余角和补角的概念和性质解答即可． 解：①， ，故①错误； ②如果两个角和同一个角互余，那么这两个角相等，故②正确； ③钝角的补角小于这个角，故③错误； ④一个角的补角是，这个角是，所以，它的余角是，故④正确． 所以，正确的结论有2个， 故选：B． 【变式1】（21-22七年级上·全国·课后作业）四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角． 【答案】 12 24 【分析】根据对顶角、邻补角的定义得到4×3＝12对对项角，6×4＝24对邻补角． 解：∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠AOH与∠BOG互为对顶角，∠AOF与∠BOE互为对顶角； ∠COH与∠DOG互为对顶角，∠COF与∠DOE互为对顶角，∠COB与∠DOA互为对顶角； ∠HOF与∠GOE互为对顶角，∠HOB与∠GOA互为对顶角，∠HOD与∠GOC互为对顶角； ∠FOB与∠EOA互为对顶角，∠FOD与∠EOC互为对顶角，∠FOG与∠EOH互为对顶角， ∴对顶角共有12对； ∠AOC与∠BOC互为邻补角，∠AOH与∠BOH互为邻补角，∠AOF与∠BOF互为邻补角，∠AOE与∠BOE互为邻补角，∠AOG与∠BOG互为邻补角，∠AOD与∠BOD互为邻补角； ∠COH与∠DOH互为邻补角，∠COF与∠DOF互为邻补角，∠COB与∠DOB互为邻补角，∠COA与∠DOA互为邻补角，∠COE与∠DOE互为邻补角，∠COG与∠DOG互为邻补角； ∠GOE与∠HOE互为邻补角，∠GOA与∠HOA互为邻补角，∠GOC与∠HOC互为邻补角，∠GOD与∠HOD互为邻补角，∠GOB与∠HOB互为邻补角，∠GOF与∠HOF互为邻补角； ∠EOA与∠FOA互为邻补角，∠EOC与∠FOC互为邻补角，∠EOH与∠FOH互为邻补角，∠EOG与∠FOG互为邻补角，∠EOD与∠FOD互为邻补角，∠EOB与∠FOB互为邻补角， ∴邻补角共有24对， 故答案为：12；24． 【点拨】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·河北承德·期末）已知，则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 求一个角的补角，角的单位与角度制等知识点，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 根据余角和补角的定义直接列式计算即可． 解：， 的余角， 的补角， 故答案为：，． 【题型3】垂直与垂线段 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 【答案】/149度 【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项不符合题意； B、和是邻补角，邻补角的和是，所以不能得到，不能判定垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，而，则，可以判定两直线垂直，故此选项符合题意； D、且无法判定两直线垂直，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（21-22七年级下·广西·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．两条直线相交，只有一个交点 B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．直线外一点到直线的距离就是这点到直线的垂线段 【答案】D 【分析】根据相交直线的定义，垂线段的性质，垂线的性质，垂线段的定义解答即可． 解：A．两条直线相交，只有一个交点，原说法正确，故本选项不符合题意； B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法正确，故本选项不符合题意； C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法正确，故本选项不符合题意； D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这个点到这条直线的距离，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了垂线的定义，点到直线的距离的定义，垂线段最短等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 【题型4】同位角、内错角、同旁内角 【例4】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列判断错误的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是同旁内角，故此选项符合题意； D、与是同位角，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三线八角，根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 解：①与是内错角，说法正确； ②与是同位角，说法正确； ③与是同旁内角，说法正确； ④与是内错角，说法正确； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子看起来变弯了，这是光的折射现象，光从空气射入水中，传播方向发生了改变．与是同旁内角的是 ，与是内错角的是 ． 【答案】 【分析】本题考查同旁内角，内错角，关键是掌握同旁内角，内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 解：与是同旁内角的是，与是内错角的是， 故答案为：；． 【考点二】性质与判定的巩固 【题型5】对顶角的性质+角平分线 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角的和差及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，再根据余角的定义求出． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 解：将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∴选项不正确； C、∵， ∴选项正确； D、∵, ∴选项正确． 故选：B． 【题型6】余角与补角的性质 【例6】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，余角的性质：同角或等角的余角相等．根据同角的余角相等是解此题的关键．根据分别与互余，与互余即可求解． 解：， ， 即与互余，与互余， ， ， 故答案为： 【变式1】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且． （1）若在的内部，与互余，求的度数； （2）若平分，且与互补，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角平分线定义，余角、补角定义，角的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，即可得； （2）根据角平分线定义得，根据、都与互补，得，得，根据，即得． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，与互为余角． （1）若，求的大小； （2）若、分别平分、，求的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义，余角的定义，正确理解题意是解题的关键： （1）根据余角可得，根据对顶角相等得出，进而可得出答案； （2）根据角平分线的定义得出，，进而得出，代入计算即可得出答案． 解：（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 【题型7】平行线的性质与判定求值 【例7】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，将为的直角三角板ABC的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的性质，平行线的判定和性质，过点作直线，进而得到，根据平行线的性质结合对顶角相等，进行求解即可． 解：如图，过点作直线， 由题意，得：， 则：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 【答案】110 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，，，点在射线上．若，请求出的度数． 【答案】或． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，根据平行公理推论可得，求出，，然后分当点在直线的上方时和当点在直线的下方时两种情况求解即可，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 解：点可在直线的上方或下方，如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， 当点在直线的上方时， 如图，； 当点在直线的下方时， 如图，； 综上所述，的度数为或． 【题型8】平行线的性质与判定证明 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    【变式1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点在直线上，点为直线之间的一点，连接，直线交于点，，，，则的度数为 ．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定．过点E作交于点P，延长交于点Q，设，则， 根据，可得，再由，可得，，从而得到，即可求解． 解：如图，过点E作交于点P，延长交于点Q， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）如图，已知，且，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系． 过点作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而与的数量关系即可求解． 解：过点作，如图：    因为 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 【考点三】性质与判定的探究 【题型9】平行线的性质与判定探究角的关系 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）【实践】 （1）画，在内任取一点P，过点P作直线，再过点P作直线； （2）分别测量，的度数； 【探究】 （3）这些角的边与的边有何关系？ （4）这些角的度数与的度数之间存在什么关系？ 【发现】 （5）把你的发现用一句话概括出来． 【答案】（1）见详解；（2），，；（3）这些角的边与的边分别平行；（4）这些角的度数与的度数相等或互补；（5）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的性质定理是解题的关键． （1）先画出，再在内部取一点，过点作直线，过点作直线，即可得出符合题意的图形； （2）使用量角器进行各角度的测量，即可得出所求各角的角度； （3）通过观察图形，及量出的各角度数，即可得出这些角的边与的边的关系． （4）通过量出的各角度数，即可得出这些角的边与的边的关系． （5）总结边与边，角与角的关系，即可总结概括出本题结论． 解：（1）如图所示： （2）用量角器测得； （3）由图可知，这些角的两边分别与的两边平行， （4）由角的度数可知，这些角的度数与的度数相等或和为； （5）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 解：， ，， ， ， ， ． 【题型10】平行线的性质与判定探究折叠问题 【例10】（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据矩形纸片得到，得到，，则，根据折叠的性质，得，列式计算即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，长方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：设， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 解得． 故选B． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案． 解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． （1）如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； （2）如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）由折叠的性质，可知．因为点落在上，所以，所以，所以．因为，所以； （2）由折叠的性质，可知，所以，即的度数为． 【题型11】平行线的性质与判定探究旋转问题 【例11】（2024·山东聊城·三模）将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，点E在直线的上方，旋转三角尺，当三角尺有一条边与斜边平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分，，，三种情况进行讨论求解即可． 解：①当时，如图： 则：， ∴， ∴； ②当时，如图： 则：， ∴； ③当时： 则：， ∴； 综上：的度数为或或； 故答案为：或或． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，射线在平面内． （1）若射线在的内部，且垂直，平分，则的度数为 ； （2）若与互补，求的大小； （3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间 ． 【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）15或120或或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的相关计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据题意画出图形，根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 解：（1）解：如图1， 垂直， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）如图2﹣1，当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2﹣2，当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）如图，（已停止），为的平分线时， 由题意可知，，或， 解得或120； 如图3﹣3，为的平分线时，， 解得； 如图3﹣4，为的平分线时，， 解得； 故答案为：15或120或或． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒， 故选：C． 【点拨】本题考查角平分线的定义，周角的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角的和差运算，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 【题型12】利用垂线段最短求最值 【例12】（18-19七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小是解题关键．先根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小，再利用三角形的面积公式求解即可得． 解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 则此时，即， 解得， 所以线段的最短距离是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，相交于点平分． （1）线段_______的长度表示点到的距离； （2）_______（填“＞”“>”或“＝”），理由：_______； （3）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）＞；垂线段最短；（3） 【分析】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键 （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 解：（1）解：线段的长度表示点M到的距离； 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，理由是：垂线段最短； 故答案为：>；垂线段最短； （3）解：平分， ， ． 【变式2】（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）直角三角形中，，，，，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短解决此题． 解：如图，过点B作于点D． ∵， ∴． ∴根据垂线段最短，点B到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为． 故选：C． 【点拨】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型13】链接中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 【例2】（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$