精品解析：辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（调研卷）数学（三）

辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（调研卷） 数学（三） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对数据排序，然后根据百分位数的求解步骤直接求解即可. 【详解】将样本数据从小到大排列为， 因为，所以该样本数据的第百分位数是. 故选：D 2. 已知 为抛物线：的焦点，上一点 到 轴的距离为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的方程得准线方程，再利用抛物线的定义即可求解. 【详解】易知抛物线：的准线方程为， 由上一点 到 轴的距离为，得点 到直线的距离为， 由抛物线的定义可知. 故选：A. 3. 在正方体中，下列结论错误的是（ ） A. ∥平面 B. 平面 C. 存在过 的平面，使得 D. 存在过 的平面，使得 【答案】D 【解析】 【分析】由根据线面平行的判定定理可判断A；由 平面根据线面垂直的性质定理可得，同理，再根据线面垂直的判定定理可判断B；由根据线面平行的判定定理可得平面，即可判断C；假设，则，又，根据线面垂直的判定定理可得平面，这明显错误，所以假设不成立，从而可判断D. 【详解】对于A，因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，故A项正确； 对于B，易证 平面，又平面，所以， 同理可得，又， 平面 ，， 所以平面 ，故B项正确； 对于C，由，平面，平面，得平面， 所以平面即为平面，故C项正确； 对于D，假设，因为，所以， 又， ， 平面，， 所以平面，这明显错误，所以假设不成立，故D项错误. 故选：D. 4. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和 两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【详解】由题意可知当时，,故，满足题意； 当 时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C 5. 从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是 ， ， ，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生 与男生甲不同列，则不同的排法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】先求出排法总数及女生 与男生甲同列时的排法为，做差得出女生 与男生甲不同列排法即可. 【详解】由题意得第1排和第2排任意排的排法总数为， 当女生 与男生甲同列时，排法总数为， 所以女生 与男生甲不同列排法总数为. 故选：C. 6. 已知点，，过点作直线交圆 ：于 ， 两点， 的中点为 ，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，则点 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【详解】因为 为 的中点，所以，设，因为， 所以点 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 7. 在 中，，为 的中点， 为 上一点，且，，则（ ） A. 0或 B. C. D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，令，求出的表达式，在 中使用余弦定理求出 . 【详解】因为， 所以，令， 则， 即，在 中，由余弦定理得，即，解得或. 故选：A. 8. 设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由和得，进而得，故的周期为.由函数的图象关于直线对称得的对称轴为，赋值后根据周期性可得. 【详解】由，得， 两式相加得， 两边取导数得，即， 则，所以是以6为一个周期的周期函数， 由函数的图象关于直线对称，得， 则，所以直线是图象的一条对称轴， 由，两边取导数得， 则， 令，得，又，所以； 令，得；令，得； 令，得；令，得. 所以， 因为， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，至少一个为 【答案】BC 【解析】 【分析】设，结合共轭复数定义和复数运算即可判断选项A，利用复数运算即可判断选项B，设，，结合共轭复数与复数的模的概念和复数运算即可判断选项C，以特例利用排除法即可判断选项D. 【详解】对于A项，设， 则，，所以， 当时，，A项错误； 对于B项，由，得， 即，所以，B项正确； 对于C项，设，， 由，得，即， 所以，又，所以，C项正确； 对于D项，取，， 满足，但，均不为 ，D项错误. 故选：BC 10. 甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“ 单位招到丙或丁”，事件“ 单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件相互独立 B. 事件相互独立 C. 事件相互独立 D. 事件相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式验证即可. 【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个， 所以，因为，所以为独立事件，故A项正确； ，同理得，故B项错误； ，同理得，故C项错误； 因为为对立事件，所以，故D项错误. 故选：BCD 11. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，且与交于另一点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的离心率的取值范围为 B. 若，，则 C. 若，，则的最小值为4 D. 若，，则恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由点在渐近线的下方得到，推理即得离心率范围；对于B，利用双曲线的定义和焦半径的范围即得；对于C，根据点在双曲线的左右支分别求得最短弦长即可判断；对于D，根据点是否与双曲线的左顶点重合，分别推理计算，利用双曲线定义和余弦定理即可证得. 【详解】对于A，因点在的一条渐近线的下方，则，即， 故离心率，故A正确； 对于B，由，，得， 由双曲线的定义可知，则， 于是， 因为，所以，故B正确； 对于C，因，，则， 当在的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中， 最短弦的弦长为实轴长，故； 当在的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中， 当轴时，最小，此时，， 故的最小值为1，故C错误； 对于D，由，，可知，则，， 当点为双曲线的左顶点时， ； 当点不在双曲线的左顶点时， 因，则， 由余弦定理得， 又，所以， 因 则，即. 综上，恒为定值，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查双曲线的定义，性质的应用，解题思路在于解决与焦点有关的线段时，常考虑定义式或焦半径、焦点弦有关结论的应用，有时还要考虑双曲线的渐近线，通经，以及三角形中正余弦定理的运用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据和，可得，进而结合韦达定理即可求出结果. 【详解】由题意得集合， 因为，，所以， 则，，解得 ，，所以. 故答案为： 13. 已知函数的图象与直线在区间上恰有4个交点，从左向右依次为 ， ，， ，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用周期性来研究交点得到的线段长，再与总区间长度进行比较分析即可得到范围，再利用与直线的交点坐标可解得. 【详解】 由题意得，又， 所以，， 所以，且， 解得， 又因为，由三角函数的图象变换可得过点，所以， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 设表示数集 中最小的数，若，则的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则，，讨论、、依次对应、、，结合基本不等式求对应范围，即可得其最大值. 【详解】令，则，， 所以 ， 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时； 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时（时取等号）； 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时（时取等号）； 综上，时，有的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆台中， ， ，是下底面圆周上的三点， 为下底面圆的直径，为 的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以，因为 为下底面圆的直径，所以， 因为为 的中点，所以， 所以，又， ，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由圆台的性质知底面，从而得；再由 为下底面圆的直径结合为 的中点可证，由线线垂直即可证得线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，按照求直线与平面夹角的公式，按步骤求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为坐标原点，，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，， 则，，. 设平面的一个法向量为， 则取，得. 设直线 与平面所成角为 ， 则， 故直线 与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数的图象的一条切线方程是. （1）求 ； （2）若关于 的不等式有解，求 的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【小问1详解】 设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. 【小问2详解】 由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即 ，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上， 的取值范围为. 17. 第12届世界运动会将于2025年在中国四川成都举行，其中棍网球比赛被同学们关注：甲、乙两名同学进行棍网球攻防3次训练，甲进攻乙防守，根据以往训练结果，在乙的防守下，甲每次能够射门的概率为，射门一次进球的概率为，射门两次进球的概率为，射门三次进球的概率为，且每次射门进球与否互不影响. （1）设 表示甲能够射门的次数，求 的分布列与数学期望； （2）求甲射门进球的概率. 【答案】（1） 的分布列为 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）求出 的可能取值，判断 服从的分布，求出 各值的概率，求出 的分布列与数学期望； （2）利用全概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知 的可能取值为0，1，2，3，且， 所以， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ； 【小问2详解】 记甲射门 次为事件， 则由（1）可知，，， 记甲射门进球为事件 ，则，，， 由全概率公式可知， 故甲射门进球的概率为. 18. 已知，，动点 满足，作轴于点 ， 为直线上一点，且满足，记点 的轨迹为曲线 . （1）求 的方程； （2）若是 上的动点，过作椭圆：的两条切线，切点分别为 ， ， 为坐标原点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设，，根据向量关系得到，由得到方程，得到，将代入，求出轨迹方程； （2）设，切线斜率存在时，，设切线方程，与椭圆联立，利用根的判别式为0得到方程，设关于 的方程的两根为，，得到两根之和，两根之积，得到两点坐标，结合，表达出，由，求出，当切线斜率不存在时，求出的坐标，求出，综上，的取值范围是. 【小问1详解】 设，，则， 因为，所以， 故，则 由，得，化简得， 将代入得， 故 的方程为； 【小问2详解】 设，过作椭圆的切线，当切线斜率存在时，， 设斜率为 ，切线方程为， 联立整理得，① 则， 即，② 设②中关于 的方程的两根为，， 则， ①式中，当 取时，得， ， 将换成，得， 故 ，③ 其中 ， 又，所以， ， 故， 因为， 所以； 当切线斜率不存在时，中，令，此时， 由对称性不妨设，此时设，则， 此时. 综上，的取值范围是. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 对于给定的正项数列，定义：，其中，为数列中的第 项（）.若存在非零常数 ，使得数列满足，则称数列为“ 数列. （1）写出首项为2的“2数列”的前4项； （2）若数列是首项为1的“ 数列”，数列为等比数列，且.求数列的前 项和； （3）设数列为“ 数列”，，，记为的前 项和，为数列的前 项和；证明：（为自然对数的底数）. 【答案】（1） ，，， （2） （3）证明：令，则， 所以在区间内单调递减，且. 当 时，，即， 又，，所以， 则，依次迭代可知， 所以，即， 所以，，…，， 将这 个式子相加得 所以，即， 故. 【解析】 【分析】（1）根据 ，，即可逐一代入求解， （2）根据，得，即可作差得恒成立，进而代入和 求解，，即可利用裂项相消法求解， （3）构造函数，求导判断函数的单调性，即可得，累加即可求证. 【小问1详解】 由 ，， 得，则， ，则， ，则. 【小问2详解】 设等比数列的公比为，， 由，得， 两式相减得， 由，得， 整理得恒成立. 又是首项为1的“ 数列”，所以，，， 则解得，. 又，，所以， 所以. 又， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷（调研卷） 数学（三） 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为抛物线 ：的焦点， 上一点到轴的距离为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 在正方体中，下列结论错误的是（ ） A. ∥平面 B. 平面 C. 存在过 的平面，使得 D. 存在过 的平面，使得 4. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是 ， ， ，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生 与男生甲不同列，则不同的排法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 6. 已知点，，过点作直线交圆 ：于 ， 两点， 的中点为 ，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在 中，，为 的中点，为 上一点，且，，则（ ） A. 0或 B. C. D. 0或 8. 设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，至少一个为 10. 甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“ 单位招到丙或丁”，事件“ 单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件相互独立 B. 事件相互独立 C. 事件相互独立 D. 事件相互独立 11. 已知，分别为双曲线 ：的左、右焦点，点在 的左支上，且与 交于另一点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则 的离心率的取值范围为 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则的最小值为4 D. 若，，则恒为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，若，，则______. 13. 已知函数的图象与直线在区间上恰有4个交点，从左向右依次为 ， ， ，，且，则的取值范围是______. 14. 设表示数集中最小的数，若，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆台中， ， ， 是下底面圆周上的三点， 为下底面圆的直径，为 的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数的图象的一条切线方程是. （1）求 ； （2）若关于的不等式有解，求 的取值范围. 17. 第12届世界运动会将于2025年在中国四川成都举行，其中棍网球比赛被同学们关注：甲、乙两名同学进行棍网球攻防3次训练，甲进攻乙防守，根据以往训练结果，在乙的防守下，甲每次能够射门的概率为，射门一次进球的概率为，射门两次进球的概率为，射门三次进球的概率为，且每次射门进球与否互不影响. （1）设 表示甲能够射门的次数，求 的分布列与数学期望； （2）求甲射门进球的概率. 18. 已知，，动点 满足，作轴于点 ， 为直线上一点，且满足，记点 的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若是上的动点，过作椭圆 ：的两条切线，切点分别为， ， 为坐标原点，求的取值范围. 19. 对于给定的正项数列，定义：，其中，为数列中的第项（）.若存在非零常数 ，使得数列满足，则称数列为“ 数列. （1）写出首项为2的“2数列”的前4项； （2）若数列是首项为1的“ 数列”，数列为等比数列，且.求数列的前 项和； （3）设数列为“ 数列”，，，记为的前 项和，为数列的前 项和；证明：（为自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $