专题01 数与式的相关运算（讲练，5考点+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题01 数与式的相关运算 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 实数的混合运算 考点二 整式的混合运算及其化简求值 考点三 因式分解的运算及应用 考点四 分式的混合运算及化简求值 考点五 二次根式的混合运算及应用 01考情透视·目标导航 中考考点 新课标要求 命题预测 数与式的相关运算 理解数与式的相关概念；数与式的混合运算； 中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 实数的混合运算 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）计算： 4．（2024·江苏连云港·中考真题）计算． 1）常见实数的运算： 运算 法则 特殊计算 乘方 ①（-a）n= an n为偶数 ②（-a）n= -an n为奇数 ①（-1）n = 1 n为偶数 ②（-1）n = -1 n为奇数 零次幂 a0=1 （a≠0） 负整数的指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0） 去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b 去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a<b 2）特殊三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° 1 3)实数运算的“两个关键”： ①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． ②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）计算：． 2．（2024·江苏盐城·二模）计算：． 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）计算：． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）计算：． 5．（2024·江苏苏州·模拟预测）计算： 考点二 整式的混合运算及其化简求值 1．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ． 2．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 4．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 1．（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中． 2．（2024·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中． 3．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2）化简：． 4．（2024·江苏无锡·三模）（1）计算：； （2）化简：． 5．（2024·江苏南京·三模）先化简，再求值：，其中． 6．（2024·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 考点三 因式分解的运算及应用 1．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 2．（2023·江苏南京·中考真题）分解因式的结果是 ． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形. 基本 方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． ② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 进阶 方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 【特殊】因式分解：ax2+bx+c ①若a+b+c=0，则必有因式x-1 ②若a-b+c=0，则必有因式x+1 分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 换元法 如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替. 例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t 则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1) 一般 步骤 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式； ②为三项时，考虑完全平方公式； ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”. 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止. 3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解∶ ． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）分解因式 ． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ． 4．（2024·江苏扬州·三模）分解因式： ． 5．（2024·江苏常州·二模）实数满足方程组，那么 ． 6．（2024·江苏苏州·一模）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 考点四 分式的混合运算及化简求值 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 分式运算 说明 分式的加减法 1）同分母：分母不变，分子相加减，即： . 2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即： . 分式的乘除法 1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即： 2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即： 分式的乘方 把分子、分母分别乘方，即： 分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 1．（2024·江苏连云港·三模）化简求值：，其中． 2．（2024·江苏盐城·一模）先化简，再求值： ，其中． 3．（2024·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中． 4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）先化简，再求值：．其中． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）先化简，再求值：，其中，请从的范围中选入一个你喜欢的值代入，求此分式的值． 6．（2024·江苏泰州·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，且为整数，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： ①甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是________；（填序号） A、等式的基本性质， B、分式的基本性质， C、乘法分配律， D、乘法交换律． ②请选择一种解法，写出完整的解答过程 考点五 二次根式的混合运算及应用 1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 2．（2024·江苏常州·中考真题）若二次根式有意义，则可取的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．（2024·江苏苏州·一模）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 5．（2024·江苏宿迁·二模）已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（    ） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 $$专题01 数与式的相关运算 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 实数的混合运算 考点二 整式的混合运算及其化简求值 考点三 因式分解的运算及应用 考点四 分式的混合运算及化简求值 考点五 二次根式的混合运算及应用 01考情透视·目标导航 中考考点 新课标要求 命题预测 数与式的相关运算 理解数与式的相关概念；数与式的混合运算； 中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 实数的混合运算 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可． 【详解】 ． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幂、代入特殊角三角函数值，再进行混合运算即可. 【详解】解： 4．（2024·江苏连云港·中考真题）计算． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 1）常见实数的运算： 运算 法则 特殊计算 乘方 ①（-a）n= an n为偶数 ②（-a）n= -an n为奇数 ①（-1）n = 1 n为偶数 ②（-1）n = -1 n为奇数 零次幂 a0=1 （a≠0） 负整数的指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0） 去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b 去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a<b 2）特殊三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° 1 3)实数运算的“两个关键”： ①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． ②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）计算：． 【答案】2 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别化简计算零指数指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．（2024·江苏盐城·二模）计算：． 【答案】1 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题关键．先分别化简负整数指数幂，零指数幂，锐角三角函数和二次根式，然后再进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先去绝对值，去括号，计算特殊角的三角函数值，化简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整指数幂、实数混合运算法则是解题的关键． 先计算乘方和开方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式   5．（2024·江苏苏州·模拟预测）计算： 【答案】7 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了二次根式的运算、绝对值、零指数幂，解决本题的关键是掌握相应的运算法则即可． 利用绝对值、二次根式和零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 考点二 整式的混合运算及其化简求值 1．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 2．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】实数的混合运算、运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可． 【详解】 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开． 4．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的加减中的化简求值 【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案． 【详解】原式 ． 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键． 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 1．（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去掉中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2024·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【知识点】整式的混合运算、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算与求值法则的应用，主要考查计算与化简能力．根据乘法公式与单项式乘多项式法则先去括号，后合并同类项化简，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、整式的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算， （1）先根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂及算术平方根的意义将原式化简，再进行加减运算； （2）先根据平方差公式，单项式与多项式的乘法法则将原式展开，再进行合并即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．（2024·江苏无锡·三模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】零指数幂、计算多项式乘多项式、特殊角三角函数值的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了零指数幂运算法则，二次根式运算法则，熟记特殊角三角函数值，完全平方公式运算法则，多项式乘多项式运算法则进行运算等，熟练掌握这些法则是进行实数混合运算的基础． （1）根据零指数幂运算法则，二次根式运算法则，特殊角三角函数值进行混合运算即可； （2）根据完全平方公式运算法则，多项式乘多项式运算法则进行运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 5．（2024·江苏南京·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．先计算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项，化简后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 6．（2024·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】去括号，合并同类项，后变形，整体代入求值即可． 本题考查了整式的化简求值，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， 故原式． 考点三 因式分解的运算及应用 1．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 2．（2023·江苏南京·中考真题）分解因式的结果是 ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形. 基本 方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． ② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 进阶 方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 【特殊】因式分解：ax2+bx+c ①若a+b+c=0，则必有因式x-1 ②若a-b+c=0，则必有因式x+1 分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 换元法 如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替. 例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t 则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1) 一般 步骤 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式； ②为三项时，考虑完全平方公式； ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”. 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止. 3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解∶ ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）分解因式 ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式、公式法因式分解成为解题的关键． 先提取公因式，然后再运用平方差公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解． 先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；完全平方公式：． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2024·江苏扬州·三模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，先化简，再运用公式法进行因式分解．熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（2024·江苏常州·二模）实数满足方程组，那么 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式因式分解，先由平方差公式将所求代数式因式分解，再将代入即可得到答案，熟记平方差公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 6．（2024·江苏苏州·一模）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解的应用．先将原式变形为，再将，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 考点四 分式的混合运算及化简求值 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、分式化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先计算分式的除法运算，然后计算加减法，最后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 分式运算 说明 分式的加减法 1）同分母：分母不变，分子相加减，即： . 2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即： . 分式的乘除法 1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即： 2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即： 分式的乘方 把分子、分母分别乘方，即： 分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 1．（2024·江苏连云港·三模）化简求值：，其中． 【答案】，0 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．根据分式的运算法则进行计算即可，再代数求值． 【详解】解：原式 ， 故当时，原式值为0． 2．（2024·江苏盐城·一模）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再将分子和分母分解因式，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： 当时， 原式． 3．（2024·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内得，再运算除法，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 当 时， 则． 4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）先化简，再求值：．其中． 【答案】，3 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后计算分式乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即原式． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）先化简，再求值：，其中，请从的范围中选入一个你喜欢的值代入，求此分式的值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件代入合适的值进行计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵，，，， ∴当时，原式． 6．（2024·江苏泰州·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，且为整数，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： ①甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是________；（填序号） A、等式的基本性质， B、分式的基本性质， C、乘法分配律， D、乘法交换律． ②请选择一种解法，写出完整的解答过程 【答案】（1）；（2）①B，C；②见解析． 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查实数的运算法则，分式的化简计算，掌握锐角三角函数的计算，负指数幂的运算法则，分式的性质，乘法分配律的计算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，余弦函数的计算，负指数幂的计算方法先计算，再根据实数的混合运算法则即可求解； （2）①根据分式的性质，乘法分配律的计算方法进行判定；②选择甲同学运用分式的性质进行化简；选择乙同学运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）①甲同学先计算括号，根据异分母分式的运算法则先通分，再计算，运用的是分式的性质，乙同学根据乘法分配律去括号，再根据分式的乘法运算进行计算， ∴甲同学计算的依据是：分式的性质；乙同学计算的依据是：乘法分配律； 故选：B，C； ②选择甲同学的计算方法： 原式 ， ∵，且为整数， ∴， ∵根据分式的性质得，， ∴， ∴原式； 选择乙同学的计算方法： ， 同理，， ∴． 考点五 二次根式的混合运算及应用 1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B． 2．（2024·江苏常州·中考真题）若二次根式有意义，则可取的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 在四个选项中符合的是2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．（2024·江苏苏州·一模）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查无理数估算，涉及二次根式性质等知识，根据题意，利用二次根式性质及无理数估算即可得到答案，熟记二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，，整数满足， ，即，则整数的值为， 故选：C． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算，根据题中的二次根式的运算，有理数的乘方逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、当时，，， 不成立，不符合题意； 、当时，，， 成立，符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、当时，，，成立，当时，无意义，不符合题意； 故选：． 3．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 4．（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·江苏宿迁·二模）已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（    ） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意可知，，，代入，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵、是两个连续的偶数（）， ∴， ∵，， ∴ ， ∴c是偶数， 故选：B． $$