(19)概率、随机变量及其分布-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 8.一质子从原点出爱，每次等可能地向左，向右、向上或向下移动个单位长世，则移动 6次后质子料到原点的概率为 (十九)概率、随机变量及其分布 (考试时间120分钟，满分10分) A品 B器 e嘉 器 二，选择题（本题共3小盟，每小题8分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 圆目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 一、选择题〈本思共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 .某学生想在物理.化学，生物，攻治，历史，地理、技术这七门课程中选三门作为选考到 项是符合题目要求的) 日，下列说法情误的是 L,设随机变量X的分布列为P(X-)一(2】 ,i-1,2,3,期a A,若任意遗择三门课程，用达法总数为A A.1S B后 c D B,若物印和北学至少选一门，则选法总数为以C C,若物理和历史不同时选，期达法总数为C一C 2.小明准脊将新买的（看子），（论语），（诗经3本书随机地立致在书架上，期《论语》， D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时法，划选甚总数为CC一C 《诗经》不相邻的氧率为 c n 10,已知甲授蓝一次，投中的概率为一·且每次投蔻是香投中相互独立，若甲连续投蓝( 生，某班从甲，乙等6名学生中选出器名酸加学校组织的一次公益活动，在乙被选中的情 次，期 况下，甲也被选中的概率为 B号 c 入甲全部投中的数率为高 :甲投中2次的概率为嘉 D若 C甲授中次数的数学期望为1 4,在某市的一次教学质量检测中，甲、乙。丙三科考试成被的正整密度商线如图两 D甲授中次数的方差为子 示（由于人数非常多，成续的顿率分布直方图可混为正态密度曲线》，下列说法正 确的是 月人5非 1山.若随机变量X~B8,Y~B8,),则下列说法正确的是 A.甲科成绩的标准差最小 B,丙科成靖的平均数最小 AX,Y膜从正态分布 P>6)-号 ,乙科被續的标准差及平均数都居中 C.E(X)E(Y).D(X)=D(Y) D背且仪当=8时，P(Y=)取最大值 )甲、乙：丙三科成锁的平均数不相同 1什 班城 姓名 分数 5,在0,1.2,3,4,5,8这7个数中任取4个数，组成无重复数字的四位数，则能被5整群 号1 丝84 7 10 且比451大的数共有 A.54个 B62个 C.74个 D.82个 等军 6,加强学生心用M康工作已经上升为个国家战蜂，某心理协会藏遭具有社会心理工 作究格的3位专家去定点帮聘5名学生，若每名学生只雷一位专家负责，每位专家至 三，镇空题（本题共3小题，每小题5分，共15分》 多帮助2名学生，期不同安排方法的种数为 A.00 .125 C.180 .243 12.已知随机变量X~N(1d.且P(X≤0)-P(X≥4.则(3，G+工一)的展开式 7.泊松分布是一种描述机现象的概率分布，在经济生活，事放预测，生物学，物理学等 中各项系数的和为 领域有着广泛的应用，泊脸分布的气率分布列为PX==新e(=,12 13,某推麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%。一、二第麦种种植后所结麦福含有 50粒以上麦粒的概率分别为D,6,0.2,则这批麦种种怕后所站麦随含有0粒以上 其中为自然对数的底数.2是自松分布的均值.若随机变量X一B(m,P),戏r很大 麦粒的餐率为 且户很小啡，二项分布近拟于泊松分布，其中=，则P(X=)=。心（和∈ 14.一个不透明的盒子里装有2个红球，3个黑球（隆颜色外完全相同），从盒子中随机 ).已知某种元件的次品率为0,01，现抽怜100个这种元件，则正品率大于97%的概 取出1个球，若取出的是红球，明不放同盒子中：若取出的是黑球，划放网盒子中，划 取了3次后，取出红球的个数的数学期算为 取了#=2,3,4，…)次后， 南约为（参考数据：。0,3679） 红球刚好全部取出的概草为 .(本圆第一空2分，第二室3分) A.0.99 &6.7 C.0.92 D0.74 数举第1质【共页」 衡水全卷·先享赠·高三一轮复习单元检测卷十九 数学第2页（共4页） HN 四、解答题（本图共5小圆，共77分。解答应写山必要的文学说明，证明过程或演算少最） (「)若全年级有2000名学生，横估高一结束进行桃远测试时，跳远距离在18263m 15.(本小题横分13分) 以上的人数（四合五人保留整数） 某班为庆祝中秋节设计了一个小等建：在一个不透明的箱子中装有4个黑球，3个 〔目若在全年级所有学生中随机选取人，记高一结束进行跳逐测试时，这3人中 红球.1个黄球（除颜色外完全相制），每位学生从箱子中一次性随机地核出3个球， 果远矩离在195m以上的人数为，求的分布列和数学期里， 观察顾色后收同，若复出的球中有X个红球，用分得X个月饼：若摸出的球中有黄 附：若随机变量X一N(a),期P(H一aX≤u+a)0,6827,P(-2a≤X6杜+ 球，期雷要表演…个节目. 2x》a09315.P(a一3≤X6r+3g)0.973.12.37T153.2.37产a5,62 (1)求一位学生既分得月鲜又要表演节目的摄率： (2)求每位学生分得月饼数的分布列和数学期吸. 18.(木小题满分17分) 某中学有A,用两个餐厅为老师和学生们是供午管与晚管服务，王学，张老师两人 16,(本小题满分15分) 每天的午餐和晚餐都在学校效管.近一个月(30天)选择餐厅就餐情况绕计如下： 近年来，中国航天事业取得了巨大的成就.为爱扬并传承中国航天韩神，某学校组氨 透桥管厅情况（午餐，晚餐）《A,A)A,B) (B.A) (B.8 了“航天知识"擂台赛，每场擂台赛共5局，每局胜者得1分，负者得0分，先得3分 王同学 天 目天 12天 3天 者为获胜者，分出雕负后比赛立即结束，现甲，乙两名参赛者进行比赛，设甲在每喝 张老蜂 6天 天 天 13天 中获胜的概率为（合<<小且各局胜负相互独立，若第三局比赛结束分出胜负 假设王同学.张老卸选择餐厅相互独立，用期率估计餐率， (1)估计天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概事 的数率为学 (2)记X为王同学，张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望： (I)求P (3)段设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐“，V表示事件“某学生去A餐厅就餐“ (2)设比蓬结束时的比赛局数为X,求X的分布列和数学期型， P(M)>0,一般来说，在椎出优事套餐的情说下学生去该餐厅就餐的概率会比不推 出优事套管的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证勇：P(MN>P(MN). 17.(本小题博分15分) 某学校将学生的立定践远作为体有能康监测项目之一，该校高一年缓上学期开始时 19,(本小题满分17分)》 要掌全年级学生立定选近的情况，随杭抽取了1©名学生进行测试并统计了洗延 第十四届全国冬季运动会（斋称冬运会）于2024年2月17日至2川27日在内蒙古 距高，得到如图所示的频率分布直方图（同一组的数据取区间中点值作代表），且计 自治区举办，这是历届全国冬运会中规模量大，项目最多，标在最高的一届，也是内 分规用如表， 蒙古自的区首次承办全国踪合性运动公.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学维织 大学生举办了一次主题为“喜泡冬运会，当好东道主“的冬运会知以竟赛，该大学的 学院为此举办了一场透拔券，达找赛分为初赛和决孝，初赛通过后才能加决靠， 决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛， (1)初赛采用远一圈答一圈的方式，每位参赛大学生最多有？次答题机会，累计答对 4道圈或答带道题即终止比赛，答对4道题期进入决赛，答错道题划被南社.已 5316375183195252L5流物m 知大学生甲答对每道题的概率均为，，且回答各题的结果相红祛立 耗意距离(m》 155,1661 [165,1731 [175,185) (「)求甲至多回答了5道题就进入决套的魔率： (了)设甲在初赛中答题的道数为X,求X的分布列和数学期里 得分 17 1 19 (2)决赛共答3道题.若答对题目数量不少于2道，难鞋出，代表学院参加学校比赛： (1J呢从样本的100名学生中，随机选取2人，求2人得分之和不大于5分的数率： 否则被润汰.已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的：率相等，均为 (2)若该校高一年线所有学生的跳远距离X(单位：m)散从正态分布N(),井 用并本数据的平均值和方差估计总体的平均值和方差，且竿木方整一13，根据往 x《0<工<1,3道随全答对的概率为。，且可答各题的结果相互独立，设地能参加学 年经险，该校高一年级学生经过一年的训练后，每名学生的跳远都有明显进步，很设 校比赛的复率为)，求f)的最小值 高一结束进行跳远测试时，每名学生的跳远距离比高一上学期开始时增加10c 数学第3贾{共4项) 衡水金卷·先享题·离三一轮复习单元检测隆十九 数学第页〔共4页 H网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十九） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 门.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直规想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③ ① 档次系数 1 选择题 由分布列求参 易 0.80 选择题 5 古典概型 √ 易 0.75 3 选择题 5 条件慨率 公 0.70 选择题 5 正态曲线 中0.65 5 选择题 5 排数问题 中 0.55 6 选择题 分组分配问题 √ 中 0.45 与二项分布有关的数 7 选择题 5 / 中 0.40 学文化题 独立重复试验中的概 8 选择题 难 0.30 率计算 9 利用排列组合解决抽 选择题 6 公 0.60 取问题 二项分布的期望与 10 选择题 6 中 0.45 方差 二项分布的期望与方 11 选择题 6 中 0.35 差，概亭最大问题 由正态分布的对称性 12 填空题 5 求参，二项展开式的系 中 0.65 数和 13 填空题 5 全概率公式的应用 / 中 0.45 数学期望，概率与数列 14 填空题 5 难 0.25 的综合 ·111· ·数学· 参考答案及解析 超几何分布的分布列 15 解答题 13 公 0.60 与期望 相互独立事件的分布 16 解答题 15 0.50 列与数学期望 17 解答题 15 正态分布的综合应用 中 0.45 分布列、数学期望与条 18 解答题 17 难 0.28 件概率的综合 独立重复试验中的概 解答题 17 难 0.25 率与导数的综合 香考答案及解析 一、选择题 5整除且比4351大的数共有2十4十8+20十40=74 1.D【解析】由题意得（侵+子+言）a=1,解得a 个.故选C 6.A【解析】根据题意可知将5名学生分为3组，人数 号故选D 分别为2,2,1，然后分配给3位专家，所以不同安排 2.B【解析】3本书随机地立放在书架上，有A=6种 方法销种数为CN=0故建入 放法，其中《论语》、《诗经》不相邻的放法有A=2种， 7.C【解析】设抽检的100个元件中次品的个数为X, 所以（论语.诗经）不相邻的概率为P-号一名故 则X~B(100,0.01),二项分布近似于泊松分布，则 选B. 100X0,01=1,所以P(X=k)三 3.B【解析】记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被 选，则PB-号-子：PAB)=晋=古，所以 (6=01.2.100).所以P(X=0)= 在乙被选中的情况下，甲也被选中的概率为 P(X-1)-=PX-2)-=云所以正 品率大于97%的概率P=P(X=0)+P(X=1)十 P(AB)= P(AB) 5 P(B) 1 .故选B. 5 P(X=2)=++品≈092.放选C e 2 8.C【解析】①6次移动中，3次向左，3次向右，则回 4,A【解析】由题意知考试成绩服从正态分布N(:, G),由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确 到原点的概率户=×（仔）厂×（仔）广-=： 定，。越大，曲线越矮胖：σ越小，曲线越瘦高，且G为 ②6次移动中，2次向左、2次向右、1次向上、1次向 标准差，：为平均数，x=以为正态曲线的对称轴，由 所给图象可知，甲科成绩的标准差最小，乙科成绩的 下，则回到原点的概率P=C×()）×C× 标准差居中，丙科成绩的标准差最大，甲、乙、丙三科 成绩的平均数相同，故A正确，BCD错误.故选A (仔）广×C××寸0=铝：@6次移动中，1次 5.C【解析】由题意知个位数为0或5，若千位数为4， 向左，1次向右、2次向上，2次向下，则回到原点的概 百位数为3，则满足条件的数可以是4360,4365，有2 率P,=C××C××C×(于)×() 个：若千位数为4，百位数为5，则个位数只能是0，则 满足条件的数有C=4个：若千位数为4，百位数为 号：④6次移动中，3次向上，3次向下，则阿到原点的 6,则满足条件的数有CC=8个：若千位数为5，则 个位数只能是0，则满足条件的数有A=20个：若千 概率P=C心×（于）×（于）=是，故所求概率为 位数为6，则满足条件的数有C以A=40个，所以能被 ·112· 高三一轮复习HN ·数学· P+R+R+R,-计65+5-器放选C 则P(A1)=0.9,P(A2)=0.1,P(BA)=0.6, 4 P(BA:)=0.2,所以由全概率公式得P(B)= 二、选择题 P(A:B)+P (A:B)=P (A)P (BA)+ 9,ABD【解析】若任意选择三门课程，则选法总数为 P(A)P(B1A2)=0.9×0.6+0.1×0.2=0.56. C,故A错误：若物理和化学至少选一门，则选法总 数为CC十C号C,故B错误：若物理和历史不同时 14号×()广-9×（倍） 【解析】设取出 选，则选法总数为C一CC,故C正确：若只选物理， 红球的个数为X,则X的可能取值为0,1,2，则 不选化学和历史，则有C一6种选法，若只选化学，不 选物理，则有C=10种选法：若物理和化学同时选， PX=0)=号×号×号=器P(X=D=号× 不选历史，则有C=4种选法，所以物理和化学至少 选一门·且物理和历史不同时选的选法总数为20≠ ()广+号××+号×是×号-8： CC-C=15,故D错误.故选ABD PX=2)=×号×+号×是×+号× 5 4 10,ACD【解析】甲全部投中的概率为()'=高 ×1=品.所以E(X)=0X器+1×8+2× 故A正确：甲投中2次的概率为C×(什)广× 品-8品取了？次后，红球刷好全部取出表示最 (子)一贸，故B错误：设甲投中的次数为X,则 后一次取出的是红球，侧前(n一1)次中有一次取出 X~B(4,),所以E(X)=4×=1,D(X)=4× 红球，所以卫=[号×（得）厂+号×号× 子×(1-)=三，放CD正确，故选ACD, ()+(》×号×(）+…+() 11.BC【解析】因为随机变量X~B(8,令)，y~ ×]×-品×（停）”×（信》】 -8× 1- 9 B(8,兰)，所以X,Y服从二项分布，故A错误： P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=C×(号)× (）-9×(是) 号+×（号）广=号放B正确：因为E(X)=8× 四、解答题 15.解：(1)记“一位学生既分得月饼又要表演节目”为事 吉=号E(Y)=8×号=9，D(x)=8x寸× 件A, 则P(A)=CC+CCC-15 (1-3）-9DY)=8×号×(1-号)=9所 C 6 (4分) (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3， 以E(X)<E(Y),D(X)=D(Y),故C正确：由 则P(X=0)-是=最P(X-D-e-是， C5 PY=k)≥P(Y=k+1).且2≤k≤1.得 C281 P(Y=k)≥P(Y=k-1)1 P(X=2)= (号广(1-)c(号)）·(1-号) 9-0pX-)-是-动： C (8分) c(号）(1-)（号）·(-) 所以X的分布列为 解得5≤k≤6，所以当k=5或6时，P(Y=k)取最大 + 0 值，故D错误.故选BC 三、填空题 28 器 56 12.256【解析】因为XN(1,a2),且P(X≤0) P(X≥a,所以4=0十4-1，解得a=2,所以 2 则E(X)-0X0+1×最+2×+3 56=8 (3+-兰)广=(3G+r-是广.令x=1,得 (13分) 16.解：(1)若甲连胜三局或乙连胜三局，则第三局比赛 展开式中各项系数的和为(3+1一2)=256. 结束能分出胜负， 13,0.56【解析】记种植一等麦种、二等麦种分别为事 件A:,A:,所结麦德含有50粒以上麦粒为事件B, 所以公十1一p)=弓，解得=号或p=子， ·113· ·数学· 参考答案及解析 又号<<1， 则E()=3×0.5=1.5. (15分) 18.解：(1)设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择 所以P子 (5分) 不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐 (2)由题意得X的所有可能取值为3,4,5， 的天数为6+12=18， 则P(X=3)= 3 所以P(C)=8=06, (4分) P(x=4)=C×号×（号）广+C×号×（侵） (2)由题可得X的所有可能取值为1,2， 所以P(X=1)=0.3×0.2+0.1×0.4=0.1, P(X=2)=1-P(X=1)=0.9, P(X=)=C×(行)》×（号）=品 则X的分布列为 (10分) 2 所以X的分布列为 X 0.1 0.9 5 E(X)=1×0.1+2×0.9=1.9. (10分) P 1 3 27 27 (3)由题可知P(N|M)>P(NIM), 则EX)=8x写+×号+5×员-兴 所以- 1-P(M) (15分) 所以P(NM)>P(N)·P(M), (13分) 17,解：(1)若2人得分之和不大于35分，则2人得分均 所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N)·P(M) 为17分或1人17分，1人18分， -P(N)P(NM) 由频率分布直方图可得，得分为17分的有100×10 即P(NM)·P(N)>P(N)·P(NM), ×0.006=6人， 得分为18分的有100×10×0.012=12人， 所以PNM>PNM 所以2人得分之和不大于35分的概率P P(N)P(N) EtCe-品 即P(MN)>P(MIN). (17分) (5分) Cioo 19.解：(1)(1)由题可得甲回答了4道题进入决赛的概 (2)由频率分布直方图可得，X=160×0.06+170× 0.12+180×0.34+190×0.3+200×0.1+210× 率为（受）广-6 0.08=185 (7分) 甲回答了5道题进入决赛的概率为C×(号)）× 所以高一结束进行测试时·4=195。 又02=x=153,所以a≈12.37. (9分) (i)因为P(X>182.63)=P(X>r-a) 所以甲至多回答了5道题就进人决赛的概率为 =1-1-P(4-a≤X≤4+a2≈1-1-0.6821 2 (4分) =0.84135, (Ⅱ)由题可知X的可能取值为4,5,6,7， 所以跳远距离在182.63cm以上的人数为0.84135 X2000=1682.7≈1683. (11分) 则P(X=4)=2×(分)广=8 (”)由正态分布模型可知在全年级所有学生中任选 1人，跳远距离在195cm以上的概率为0.5， P(X=5)=2xC×()'×× 故-B(3,0.5), 所以P(=0)=(1-0.5)1=0.125, P(X=6)=2xC×(号)×(2)×号- P(5=1)=Cg×0.5×(1-0.5)2=0.375, P(x=)=c×(3)广×（合）'=6 (8分) P(6=2)=C×0.52×(1-0.5)=0.375, P(-3)=0.5=0.125, (13分) 所以X的分布列为 所以的分布列为 6 7 1 3 5 5 0.1250.3750.3750.125 16 16 ·114· 高三一轮复习HN ·数学· 则E(X)=4X言+5x+6x是+7×亮-器 所以当0C<2时(r)<0: (10分) 当号<r<1时(x)>0, (2)设乙答对第3道题的概*为y,则xy=8: 所以f(x)=xy+x2(1-y)+Cx(1-x)y 所以f)在(0，三)上单调递诚在（号，1）上单调 =-2r+r+2w=r+0<<1, 递增。 则了)-2红-- 所以f)m=(安)=+号-=之11分) =(2x-1)(4x2+2r+1) 4x2 (14分) ·115·