(18)计数原理-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十八） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心索养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ① ③ ④ ⑤ 0 档次系数 1 选择题 5 求两平行线间的距离 易 0.80 2 求三项展开式特定项 选择题 的系数 多 0.75 二项展开式的整除 选样题 √ 0.70 问题 % 4 选择题 5 由椭圆性质求其方程 中 0.65 5 选择题 5 排列问题 0.55 6 选择题 5 涂色问题 中 0.45 7 选择题 5 分组分配问题 中 0.40 8 选择题 5 排数问题 中 0.35 排列组合数公式的 9 选择题 6 应用 公 0.60 展开式的系数及系数 10 选择题 6 华 0.40 和问题 杨辉三角（数学文 11 选择题 6 中 0.30 化题) 双曲线的渐近线与离 12 填空题 5 中 0.60 心率 13 填空题 5 多面手问题 中 0.50 二项式定理与导数的 14 填空题 0.28 综合 香 15 解客答题 13 几何中的计数问题 0.60 16 解答题 15 分组分配问题 中 0.50 ·105· ·数学· 参考答案及解析 17 解答题 15 等比数列与数列求和 中 0.40 18 二项展开式中的有理 解答题 17 % 0.35 项及系数最大项 直线与椭圆的位置关 19 解答题 17 0.25 系，对称问题 香 善考答桌及解析 一、选择题 E摆放与C相同颜色的鲜花，有A!=24种摆放方 1.C【解析】由平行直线间的距离公式得d 案：②A,B,C,E摆放4种不同颜色的鲜花，B摆放与 +-部=子做选C D相同颜色的鲜花，有A:=24种摆放方案，所以不 /6+8 同的摆放方案共有24十24=48种.故选A. 2.D【解析】法一：(x+y十2)=[2+(x+y)]3= 7,B【解析】根据题意，需将5名同学分为三组，有两 Cg·2+C·2(x+y)+Cg·2(x+y)2+C· 种情况：01，，3，此时有CCCA=60种报名方 2(x+y)+Cg·2(x+y)1+C(x+y),只有C· A 2(x+y)中含有xy2项，故含xy2的项为C·2· 法：@2,2.1，此时有CCCA=90种报名方法，所 A Cxy2=40.ry,所以xy的系数为40.故选D. 以不同的报名方法共有60十90=150种.故选B. 法二：(x+y+2)=(r+y+2)(r+y+2)(r+y+ 8.C【解析】当首位数字为7时，剩余三位数分别为0， 2)(x+y+2)(.x+y+2),xy的来源为从其中一个因 0,0,此时有1个好运数：当首位数字为6时，剩余三 式中取x,其余3个因式中均取y,最后一个因式中取 位数分别为1,0,0，此时有3个好运数：当首位数字 常数2相乘，故xy的系数为CC×2=40.故选D. 为5时.剩余三位数分别为1,1,0或2,0,0.此时有 3.A【解析】Cx十Cx2十…+Cx=(1十x)"-1, 3十3=6个好运数：当首位数字为4时，剩余三位数 当x=4,n=6时，(1+x)”一1=5一1= 分别为3,0,0或2,1,0或1,1,1，此时有3+A+1= (5-1)(5+1)=124×126=124×18×7能被7 10个好运数：当首位数字为3时，剩余三位数分别为 整除：当x=4,n=8时，(1+x)一1=5-1= 4,0,0或3,1,0或2,2,0或2,1,1，此时有3十A十3 (5-1)(5+1)(5+1)=24×26×626不能被7 +3=15个好运数：当首位数字为2时，剩余三位数 整除：当x=5,n=7时，(1十x)一1=6一1= 分别为5,0,0或4,1,0或3,2,0或3,1,1或2,2,1 (7一1)7一1不能被7整除：当x=6,n=9时， 此时有3十A十A十3十3=21个好运数：当首位数 (1十x)”一1=7一1不能被7整除.故选A 字为1时，剩余三位数分别为6,0,0或，1,0或4,2， 4.D【解析】由题可知△ABF:的周长为AB|+ 0或4,1,1或3,3,0或3,2,1或2,2,2，此时行3+A IAF+BFI=AF:+AF+BF+ +A+3+3+A+1=28个好运数，所以共有1+3 |BF1|=4a=12,则a=3,因为椭圆C的焦距2c=2, 十6十10十15+21十28=84个好运数.故选C, 所以c=1,则=a2一c2=8,所以椭圆C的方程为 二、选择题 号+苦-1故选D 9.BCD【解析】A+A+A+A=4+4×3+4×3× 2+4×3×2×1=64,故A错误：C+C+C十C= 5.D【解析】根据题意，先将甲，丁拥绑起来看作一个 整体，再与除乙，丙之外的2人进行全排列，最后乙、 1+4+10+20-35,放B正确：C-n1m 丙插空排列，所以不同的站法共有AAA=144种. (n一m)！[n一(n-m)刀=C“,故C正确：因为 n! 故选D n! 6.A【解析】①A,B,C,D摆放4种不同颜色的鲜花， mC=m‘m!(n-m1(m-1！(n-m ·106 高三一轮复习HN ·数学· (n-1)1 选人方案共有60+80=140种 C=·(m-11(n-1)-(m-1D正 14.15 【解析】因为(x)=一士，所以了()=r, =(m-1)！(n-m刀，所以mC=nC(m,n∈ (x)=-2x3,fm(x)=6x,f(x） N',n>≥m,n≥2)，故D正确.故选BCD. -24.x-3,f(x）=120x,所以子(-1)=1 10.BC【解析】对于(3x-2)(1+x)"=aa十41x十 11,2(-1)=2=2!,(-1)=6=31, ar十a1x3+…+ax2,令r=1,得ao十a1十a2十… "(-1)=24=4!,m(-1)=120=5!,又 +a:=25=64①.令x=0.得aa=一2，所以a1+ f(-1)=1,所以T(x)=1+(x+1)+(x十1) ag十…十a;=66,A错误：令r=-1.得4o一a1十 十(x十1)十(x十1)十(x十1)，故x2的系数为 a:-…-ar=0②，①+②得2(au十a十a:十a6) C+C+C=15. =64,所以au十a:十4：十as=32,B正确：①一②得 四、解答题 2(a1+a十a+a?)=64,所以a1+as+a+a,= 15.解：(1)由抛物线开口向上，得a>0,b,c可任选， 32,C正确：对(3.x一2)(1十x)=a十a1x十a2x2+ 所以开口向上的抛物线有CA=36条. (4分) ax十…十ax两边同时求导，得(21r一9)(1+ (2)由抛物线开口向上且不过原点，得a>0且c≠0， x)=a1十2a2x十3ax2十…+7ax,令x=1,得 所以开口向上且不过原点的抛物线有CCC=27 a1+2a2+3a+…十7a=12×23-384,D错误.故 条 (8分) 选BC (3)由抛物线与x轴的正，负半轴各有一个交点，得 11.BCD【解析】由题意得ag=C,对于A,at4 ac<0, 即为第2024行第2个数，则a:22=C=2023, 当a>0,c<0时，抛物线有CCC=9条： 故A错误：对于B,(10+x)的展开式的通项为 当a<0,r>0时，抛物线有CCCg=9条， T+1=C$102-x(k=0,1,2,3),其中C=a1, 所以与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有 C=4.,C=a.a,C8=a,所以∑a10=C 9+9=18条. (13分) 16.解：(1)由题意可知，每个盒子中有且只有一个小球， ·103+C·102+C·10N+C·10=(10+1)= 则有A=24种不同的放法. (3分) 1331.故B正确：对于C,S=S:=1,S=2,S,=3, (2)先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2,1， S=5,,则S.+-S+1=Sm,即S+g=S,+t+Sw, 1,然后分配给4个盒子中的3个盒子 所以S.=S.十S:=5+3=8,S,=S.+S.=8+5= 则有CA=144种不同的放法. (6分) 13,S=S,+S=13十8=21，故C正确：对于D (3)由题意可知只有一个小球放入对应编号的盒子， A55+5-S+S5+士 其他3个小球均未放入对应编号的盒子， 设1号小球放入1号盒子，则编号为2,3,4的盒子 S2m=S224-S,所以S:4- -8-1所 中放入小球的编号可以依次为3,4.2或4,2,3，共2 种放法， 以人场码为13311，故D正确.故选BCD. 所以每个盒子中放一个小球，且恰好有一个小球的 三、填空题 编号与盒子的编号相同的不同放法有2×4=8种. 12.10 3 【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y (11分) (4)由题意可知空盒的编号有4种情况， 土2，直线3一y十1=0的斜率为3，所以-吕× 将4个完全相同的小球放入其他3个盒子中，没有 3=一1，解得a=3,所以双曲线C的离心率为e= 空盒· a十B=+=0 则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不 3 3 包括两端)中插入2块板， 13,140【解析】若从只会韩语的志愿者中选3人，则 所以共有4C一12种不同的放法。 (15分) 有CC=80种选人方案：若从只会韩语的志愿者中 17.解：(1)，2。=a.十1， 选2人，则有CCC=60种选人方案，所以不同的 ∴.h=log(a.+1),b=log2(3+1)=2, ·107 ·数学· 参考答案及解析 a-ai=2a. =r,T=C(-)x-,m=c(-)》x .a+1=a+2a, .a+1+1=a2+2an+1=(a,+1)2, (2分) 256r (8分) ∴.log(a.+1十1)=2log(a.+1), ∴.h+i=2bn, (2)令a=C(2）广k=01.2…,8. ,数列{山}是以2为首项，2为公比的等比数列 当1≤k≤7时，令 a≥d (5分) at≥a+t (2)由(1)可得6，=2"， c(号)≥c'(侵) c-2+1=是+1 (6分) 得 (11分) c()广≥c(侵) 设d,=票，其前n项和为S., 即 则8=安++是+…++ 8 8 81 81 2 2+· 两式相减得5=十安十 品 2 2 即 ,解得2≤k≤3， -()门 1- 2”-1-+2 2 所以k=2或k=3, (15分) 所以展开式中系数绝对值最大的项为T= 5.=2-+2 2 (10分) c(-）t=,r=c(-)广 六T,=5,+n=m十2-+2， 2 (11分) -7r. (17分) 当n=1时，2<n+2: 当m=2时，2=n十2： 19解：1因为圆C的离心率e=台=号，长轴长 当n≥3时，2"=(1+1)">C%+C1+C=n+2. 2a=4. 0实2. 所以a=2,c=1. (13分) 则=3， ÷m十1<n+2-n-2<n十2. (5分) 2 所以箱调C的方程为号+号-1 令n十2≤100，得n≤98， (2)由题可知直线1的斜率存在， .满足T。<100的最大正整数n的值为98.(15分) 设直线1的方程为y-k(一)小A(y,B(, 18.解：因为n∈N,且展开式中第5项的二项式系数最 y》, 大 当k=0时，直线l:y=0, 所以号+1=5，解得n=8, (2分) 椭圆C上存在点A,B关于直线y=0对称：(8分) 所以(G-2广 的展开式的通项为T+1= 当0时，如产=一 设线段AB中点的坐标为(xa,%), c(）广x(k=01,8. (4分) += 1)当4-是k为整数时，k=0,4.8, 由 +号- 所以展开式中的所有有理项为T=心（一）。 得3(x1十x)(x-x:)=-4(y十y)(y一y), ·108· 高三一轮复习HN ·数学· 则3k.x。=4%, 解得2<4， 又%=(。-子)） 又≠0， 所以一2<k<0或0<k<2. (15分) 解得=1，%= 4 (12分) 综上，直线1的斜率k的取值范围为（一2,2）. 因为线段AB的中点在椭圆C的内部， (17分) 所以子+号<1.即+装<1， ·109高三一轮复习单元检测卷/数学 二，选择题（本题共3小圈，每小题行分，共18分，在每小愿的出的选现中，有多项符合 题川要求。全部透对的得6分，部分进对的得部分分，有近错的得0分) (十八)计数原理 ,下列排列组合数中，正确的是 (考试时间120分钟，满分10分) A.A+A十A:+A-8利 B.G+C+C+?=35 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 C,C=C:"(四。nEN“,n3m) 项是符合题目要求的) D.wC-nC(m,程∈N”,n3M,n2》 1.两条平行直线3.r十4y一12=0与6r十8y+11=0之间的距离为 10.设3x一2)(1十)=+0x十4：x十4x+…+x.则 A器 : D.7 Am1十红十d1十r十r=61 Bc十十m,十d=32 2.(+y+2)的展开式中y的系数为 C.1十十5十a1=32 A.24 线32 C.36 ,.40 D.a十2a:十34十m+7a1=576 3,若C+C十4十C*能敲7整除，则，w的一粗值可能为 11.为引导醇客体会传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学 A.x=4,w=6 且x=4+1=8 .x三5，为=7 )x=6,对=0 题获取名鞋古连人场码的活动.活动规划如下：如游，将畅辉三角第户行第？个数 .已知椭周C后+芳-1>6>0)的左，右斯点分别为F,:挑距为2，过点片的直 记为“，(P:4∈N,并从左腰上的各数出发，引一粗平行的斜线，记第a条斜线上 线/交C于A,B两点，若△ABF的周长为12，期C的方程为 所有数字之和为S,(S一S,一1,8一2)，人场码由两段数字组成，前段数字是 +y= c+苦- n若+- ∑410一的值，后段数字是5a一】 五.甲，乙，丙，丁等6人站域一样拍朋相念，若甲、丁相邻，乙，丙不相邻，则不同的结法 上第条算收 共有 包虹条料线前3线斜线 十2泥5条相拉 A.36种 72种 C.6钟 ).144种 前4在到性【3方1克？第料线 6,如图所示，某广场将一个圈形区城分成A,B,C,D,E五部分，需要用4种不同颜色的 解花遗行装粉，要求轲部分只能有一种顾色，且相邻部分解色不同，划不同的买数方 第s第科线1女10051 61520156【 案共有 A.urm=2 024 B∑410=131 C.8=21 D人场码为13311 肝规 性名 分数 题号 1 2 7 8 1 A.8肿 :36种 C.24钟 D.12钟 答湖 7.为落实这能树人的根本任务，践行五有并举，某学校开设了A,B,C三门劳动教有校 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 本课程，现有甲，乙，丙，丁，戊5名制学报名该校木谋程，若每名同学仅报一门，且每 门至少有一名同学报名，胡不同的报名方法共有 12.着双曲线C,号y=1a>0)的一条新迈线与直线3y十1=0垂直.则C的离花 A.60种 150种 C.180种 D.300种 率为 8,定义：各位数字之和为7的四位数国好运数，比知1006,2203，则所有好运数的个 13.杭州亚运会期间，主办方对志愿者进行分配.已知财篱场馆雷装6名志驱者，要求3 数为 名会说韩请，3名会说日语，目的可低选择的赵愿着中有4人只合韩语，5人只会 A.82 E83 C.84 D.85 语，1人既会韩语又会日语，期不同的选人方案共有种，〔用数字作容) 数举第1页（共页1 衡水全海·先享赠·高三一轮复习单元检测卷十八四 数学第2页（共4页） HN 14.记(x)为漏数fx)的N阶导漏数，了x)=广(x)且(x)=[(x)]了 17.(本小题端分15分》 (m∈N”,若(x)存在，期际x)n阶可导.英何数学家参勒发现：若f(z)在x 已知数判{a,1裤足da=3,41一2=2.，数列{（虏足2“=a4十1. 期近+1阶可特，测可将造工)-+：一+，一 (1)证明：点是等比数列 21 十+"工一r(释为m次奉勒多项式)来通近f红)在工。附近的函数值， (2若6一后+1，数列c的前n项和为T,求精是.<100的最大正整数m的值 例如：/x)-心在=0处的名次泰制多项式为T-fo)++ 0+巴0-1++营+若期-在-1经的 2 3! 5次泰而多项式中，x的系数为 四，解答题（本题共5小题，共7？分。解答应写出必要的文字说明，正明过程或演算步景） 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分) 巴知在，丘-左广a)的展开式中，第8项的二项式系数最大 在一1,0,1,2,3这五个数中进三个不同的数组成抛物线y一x十x十c的系数. 〔1)求展开式中的所有有理项： (1)开口向上的抛物线有儿条？ (2)开口向上且不过原点的抛物线有儿条： (2)求展开式中系数绝对值最大的项， (?)与：轴的正，负半轴各有一个交点的抛物线有几条？ 19.(本小题满分17分》 15.(本小题满分15分) 已知嘴圆C,后+景=11u>>0)的左，右焦点分器为F,F肉心率为号长轴 将编号分别为1,2,3,4的4个小球（质地大小均相同）全部放人编号分划为1,2,3,4 长为4 的4个盒子中. (1)求C的方程： 1)若每个盒子中至少有一个小球，期有多少种不同的收法？ 〔2)若恰好有一个空盒，期有多少种不同的放法？ 〔2直线1过点（仔0小，若C上存在两点A,B关于1对称，求1的斜率专的取面 (3若每个盒子中放一个小球，且恰好有一个小球的策号与盒子的编号相同，用有多 意围 少种不同的款法？ (4)将4个小球换成4个完全相同无编号的小球，其余条件不变，若恰有一个空盒， 则有多少种不同的做法 数学第3夏{共4质) 衡水金整·先享题·离三一轮复习单元检测蜂十人 数学第4页〔共4页 H网